5.甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题.docx

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ）
A．10 B．60 C．243 D．15
2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）
A． B． C．1 D．
3．已知，则双曲线：与：的（　　）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
4．焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
5．关于椭圆有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为3；丙：离心率为；丁：椭圆上的点到焦点的距离最大值为3.若只有一个假命题，则该命题是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ）
A． B．
C． D．
7．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（     ）
A． B． C． D．
8．已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．（多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（    ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1．则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
10．已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（    ）
A． B．
C． D．
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．与之间的距离为4
12．已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（    ）
A．过点与只有一个公共点的直线有2条
B．若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C．过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D．若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则

三、填空题
13．从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．
14．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为 .
15．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 .
16．已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为 ．

四、解答题
17．从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若必须在内，有多少种排法？
(2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？

18．已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

19．已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．

20．已知双曲线的左､右焦点分别为.
(1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.
(2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.

21．已知椭圆的离心率为是上一点.
(1)求椭圆的方程.
(2)是的右顶点，过点的直线与相交于两点(异于点)，直线的斜率分别，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.

22．已知点在抛物线上.
(1)求抛物线E的方程；
(2)直线都过点的斜率之积为，且分别与抛物线E相交于点A，C和点B，D，设M是的中点，N是的中点，求证：直线恒过定点.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C
9．BD 10．ACD 11．ABC 12．BCD
13．25 14．3 15．6 16．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，若必须在内，在其余6人中选出4人，再与全排列，
共有种排法.
（2）解：根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，
将看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有种情况，
所以，共有种不同的排法.
18．(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
又直线倾斜角为，则，故直线的方程为，
设，，
联立，消去，得，
则，，，
由弦长公式得，
又点到直线的距离，
所以．
19．(1)
(2).
【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，
，且，于是，                            
动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，
故，，椭圆方程为                                
又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去，
故动圆圆心M的轨迹C的方程为；
（2）设，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，又Q为线段AB的中点，
则有，代入即得直线l的斜率为，    
直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.
20．(1)
(2).
【详解】（1）依题意，则；渐近线斜率：，
直线与该双曲线的一条渐近线垂直，
，，
而，
，解得，又，
所以；

（2）设.
依题意，解得，
由余弦定理得，
即，得.

21．(1)
(2)是定值，且定值为
【详解】（1）由题可知，解得，
故的方程为.
（2）是定值.理由如下:
依题意可知，直线的斜率存在且不为，
则可设的方程为.
联立方程组，
整理得，
则，
.
因为，所以：

.
故是定值，且该定值为.

22．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴，
∴解得:，
∴抛物线E的方程为：.
（2）由分别与E相交于点A，C和点B，D，且由条件知：两直线的斜率存在且不为零.
∴设
由得：      
设，则，∴，又，即
同理可得：      
∴，
∴
即：，
∵的斜率之积为，
∴，即，
∴，
即直线过定点.

答案第5页，共5页