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甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．设点，点C关于面对称的点为D，则线段的中点P到点D的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
3．在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数（a是常数）在上有最大值3，那么它在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一个法向量
D．点到平面的距离为
11．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．的单调递减区间为
C．的极大值为
D．方程有两个不同的解
三、填空题
12．已知空间中三点，设，若，且，则向量
13．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则 .
14．某商户销售、两种小商品，当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，如果该商户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入 千元
四、解答题
15．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
17．如图，在直三棱柱中，，为的中点．
(1)求点到平面的距离.
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求函数的单调区间，
(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．
19．已知函数，（，为自然对数的底数）.
(1)求函数的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围.
试卷第5页，共5页
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A
9．BD 10．ACD 11．AB
12．或
13．
14．1
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
（2）证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
17．(1).
(2)．
【详解】（1）在中，由余弦定理得:
，，
．
又平面，
以为原点，为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．
，
．
设平面的法向量为，
不妨取，
点到平面的距离．
（2）设平面的法向量为，
.
且
取，则，则平面的法向量为．
设平面的法向量为，
，
且，
取，则．
则，，
平面与平面所成角的余弦值为．
18．(1)单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【详解】（1）由题可得，
由题意得，
解得，
所以，
由得或，
由得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）因为，
由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，经检验，，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，
所以m的取值范围为．
19．(1)极大值为，无极小值
(2)
【详解】（1）定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得：，在上恒成立；
令，则；
令，则，
在上单调递增，又，，
，使得，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，，
，，
则实数的取值范围为.
答案第5页，共5页
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