7.山西省2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题.docx

山西省2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
2．直线的倾斜角为（    ）．
A． B． C． D．
3．已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ）
A． B． C． D．
5．直线与圆交于A，B两点，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
6．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．圆与圆的位置关系可能是（    ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．内切

三、单选题
8．设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点．则的最小值为（    ）
A． B． C． D．27

四、多选题
9．在平行六面体中，为的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（    ）
A． B．
C． D．
11．若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（    ）
A． B． C． D．2
12．已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与另一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为（    ）
A． B． C． D．

五、填空题
13．已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为 ．
14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为 ．
15．已知P是抛物线上的一动点，点M的坐标为，PQ垂直于x轴，垂足为Q，则的最小值为 ．
16．已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为 .

六、解答题
17．已知的顶点，BC边上的高所在直线的方程为．
(1)求直线BC的一般式方程；
(2)若AC边上的中线所在直线的方程为，求顶点A的坐标．

18．如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．

(1)求到直线EF的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

19．已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点．
(1)求圆M的圆心坐标和半径；
(2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值．

20．如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.

(1)证明：平面.
(2)延长至点，使得，求点到平面的距离.

21．已知椭圆过点，且短轴长为．
(1)求C的长轴长；
(2)若，分别是C的左、右焦点，过点的直线交C于M，N两点，过点的直线交C于A，B两点，且，A，B，M，N四点围成的四边形的面积为，求的斜率．

22．已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．A
2．B
3．D
4．C
5．A
6．B
7．ABD
8．C
9．ABC
10．BCD
11．AC
12．AC
13．
14．
15．/
16．
17．(1);
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出即得.
（2）设出点的坐标，结合中点坐标公式及点所在位置求解即得.
【解析】（1）依题意，边BC上的高所在直线的斜率为1，则直线BC的斜率为，
所以直线BC的方程为，即．
（2）设，因为AC边上的中线所在直线的方程为，且，
所以，则，因为BC边上高所在的直线经过点A，
所以，则，故A的坐标为.
18．(1)
(2)

【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出到直线EF的距离;
（2）知平面的法向量，再把平面的法向量表示出来，平面与平面夹角的余弦值为，计算即可求出答案.
【解析】（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，
所以到直线EF的距离为．
（2）由（1）得，，则．
易得平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，得，
取，则，，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19．(1)圆心坐标为，半径为
(2)

【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出圆的标准方程，即可得解；
（2）求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得解.
【解析】（1）因为圆M的圆心在y轴上，
所以可设圆M的方程为，
又圆M经过，两点，
所以，解得，
所以圆M的方程为，
故圆M的圆心坐标为，半径为，
（2）由题意得圆心M到直线的距离为，
故直线与圆相离，
所以P到直线的距离的最小值为．
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由点到平面的距离公式求解即可.
【解析】（1）证明：因为，所以.
因为底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.
设平面的法向量为，
则，即令，得.
因为，所以点到平面的距离.

21．(1)4
(2)

【分析】（1）根据椭圆的几何性质得b，再将点代入椭圆方程可解；
（2）根据三角形与四边形的面积关系，结合图形分析可知，设直线代入椭圆方程，利用韦达定理即可求解.
【解析】（1）由，得．
将代入C的方程，得，得．
故椭圆C的长轴长．
（2）由（1）可知椭圆C的方程为．
易得的面积是四边形面积的，即，
由题意得，的斜率不为0，，，
设，．
由，得，
则，，
因为异号，
所以
，

化简得，解得或（舍去），
所以．
故的斜率为．
22．(1)
(2)过定点，定点为

【分析】（1）根据抛物线上点的坐标特点，确定的最小值即可得，从而得抛物线方程；
（2）根据直线的斜率公式结合点共线得到A、C纵坐标的关系，点斜式得到直线，从而确定定点.
【解析】（1）由题意可设，则
所以
则的最小值为，则，得.
所以的方程为.
（2）因为A，C不重合，所以直线，，的斜率必然存在.

设，，.
直线的斜率，
得.
直线的斜率.
得.
由，可得.
直线的斜率.
所以直线的方程.
故直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键是利用三点共线得到A、C纵坐标的关系，再结合点斜式方程写出直线AC的方程可得解.

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