7.河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题.docx

河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
2．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
3．周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．且
5．椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ）
A． B． C． D．
7．若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
8．已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知双曲线：，则（    ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为
C．双曲线的实半轴长为 D．双曲线的渐近线方程为
10．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ）
A． B． C． D．
11．已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（    ）
A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆
C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线
D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线
12．数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ）
A．是数列中的项
B．数列是首项为，公比为的等比数列
C．数列的前项和
D．数列的前项和

三、填空题
13．已知直线：与：平行，则 ．
14．已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上（点在第一象限），若，则 ．
15．已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为 ．
16．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ．

四、解答题
17．已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为的等比数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．已知圆：．
(1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程；
(2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
19．如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
21．已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．
22．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．A
3．C
4．A
5．B
6．D
7．D
8．B
9．AB
10．BC
11．ABC
12．BCD
13．/0.2
14．
15．
16．.
17．(1)；
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，，
可得，，
解得，，
则；
数列是公比为的等比数列，且，
可得，
即有；
（2）由（1）知，

18．(1)或
(2)或
【解析】（1）由圆：得圆心，半径，
当直线斜率存在时，设：，即，
所以，解得，
所以切线为，即，
当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线，
所以直线的方程为：或；
（2）设，则，
解得，；或，，
故所求圆的方程为或.
19．(1)
(2)
【解析】（1）取的中点，连接，，
由正三棱柱性质可知平面，又，
平面，
可得，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系，

则，
所以，
由于，
所以异面直线与所成角的余弦值为
（2）因为平面，
所以平面的一个法向量为，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)
(2)
【解析】（1）由得，，即，
又，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由（1）知，，，
则，
，
数列的前项和．
21．(1)
(2)
【解析】（1）由短轴长为，可得，即，
将代入可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）显然直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，
联立，整理得：，得，，且，
因为，所以，所以，
即，即，
所以，整理可得：，解得，
所以直线的方程为：，即

22．(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，
即，又因为，即点到点的距离与到直线的距离相等，
设，则，化简得，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，设点，，

联立，得，显然，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，
将代入，可得，即点，
所以，
因为，则，
所以直线的方程为，
联立，得，则，
故，，
故G，，三点纵坐标相同，即三点共线．

答案第5页，共5页