辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题.docx

辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，，则（   ）
A． B． C． D．
2．如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ）

A． B．1 C． D．
3．若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ）
A． B． C．或 D．或
5．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（　　）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
6．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
7．若，则被8整除的余数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（    ）

A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
10．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中.下列说法正确的是（    ）
A．共有种放法
B．每个盒子都有球，有种放法
C．恰好有一个空盒，有种放法
D．每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有种放法
11．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（    ）

A．与所成角为
B．平面截正方体所得截面的面积为
C．平面
D．若，则三棱锥的体积最大值是
12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（    ）
A．曲线C围成的图形的面积是
B．曲线C围成的图形的周长是
C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D．若是曲线C上任意一点，则的最小值是

三、填空题
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .

14．已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，直线与直线l的交点恰好为线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
15．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 种不同的选法．
16．已知椭圆，点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 .

四、解答题
17．如图，一个正方形花圃被分成5份.

（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?
（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?
18．已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
20．已知是正整数，的展开式中的系数为17.
(1)当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
(2)已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
21．在三棱柱中，四边形为菱形，，点､分别为线段的中点.

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，点为的中点，，则在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
22．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D
9．ABD 10．BC 11．BCD 12．ABD
13． 14．/0.5 15．60 16．/0.2
17．【详解】（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①C若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种；
②C若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有种.
综上，共有96种种植方法.
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2-2-1-1-1的5组，有种分法；
②若分成3-1-1-1-1的5组，有种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，
则一共有种放法.
18．【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，
可得，解得，
则抛物线方程为．
（2）因为，直线与抛物线相交于不同的、两点，
所以直线不与x轴平行，
可设，与联立，得，
设，，∴，．
由

，解得，
∴过定点．
19．【详解】（1）平面底面，平面底面，
又平面，
底面，
又底面，，
又底面为正方形，则，
平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）由（1）知，底面，
如图以点为原点建立空间直角坐标系，

不妨设，可得，
由为棱的中点，得，
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
20．【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式通项为，
根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为
，
故当或时，的系数的最小值为64，
此时，的系数为.
（2）由（1）知，则，
二项式展开式的通项为，
所以可得，再根据，即，求得，
此时，所以.
21．【详解】（1）连接，因为为的中点，所以为的中点，
所以在中，由是中点可得，
因为平面，面，
所以平面；

（2）连接，由，点为的中点，可得，且，
又因为，所以，且，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设，则，
所以，
设是平面的一个法向量，则，
得，取，
又是平面的法向量，
所以，即，所以(负值舍去)，
所以，所以，
故存在点，且.
22．【详解】（1）由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，即，化简得，故曲线的方程为；
（2）由题意可得，直线的方程分别为，设.
由直线与圆相切可得.
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以，，
因为是曲线上的一动点，所以，
则有，
联立方程，所以，
所以，同理
所以，
因为，所以，
所以.

答案第5页，共5页