辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷.docx

辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．
2．若命题p：“，”，则为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
3．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，
4．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
5．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（    ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（    ）
A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5
C．这组数据的第70%分位数是7 D．这组数据的方差是3.5
10．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ）
A． B． C． D．
11．生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示．下列结论错误的是（    ）
A．若，则函数有最小值 B．若，则函数为偶函数
C．若，则函数存在零点 D．若，则函数为增函数
12．有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（    ）
A．甲与乙互斥 B．丙与丁互斥
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立

三、填空题
13．若向量，，且，则实数x的值为 ．
14．若幂函数的图象经过点，则的值是 ．
15．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
16．若函数存在唯一的零点，且不等式的解集为，则实数m的值是 ．

四、解答题
17．已知，全集，集合，函数的定义域为B．
(1)当时，求；
(2)若是成立的必要条件，求a的取值范围．
18．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．

(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此时，的值．
19．甲、乙两名学生想代表学校参加某项学科竞赛，根据以往20次的测试，将测试成绩分成，，，，五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75．

(1)若依据甲、乙测试成绩的平均数作为选拔标准，应该选派甲、乙中的哪位同学代表学校参赛？（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；
(2)从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率．
20．已知函数．
(1)当时，判断的单调性，并用定义加以证明；
(2)当是偶函数时，函数的图像在函数图像下方，求b的取值范围．
21．用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用1个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．
(1)求实数k和m的值；
(2)现用a（）个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由．
22．若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值在上的取值范围是（m是常数），则称函数具有性质M．
(1)当时，函数是否具有性质M？若具有，求出区间；若不具有，说明理由；
(2)若定义在上的函数具有性质M，求m的取值范围．
（本题中函数的单调性不必给出证明）

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．D
9．ACD 10．ABD 11．ABD 12．BC
13．/ 14． 15． 16．
17．【详解】（1）由得，则，
解得，即；
由得，解得，即；
当时，则，
可得，所以．
（2）由是成立的必要条件，可知，
则，解得，
所以a的取值范围是．
18．【详解】（1）如图所示，

因为G为重心，所以，
所以，
因为M，G，N三点共线，所以，即．
（2）由题意可知，且，
所以
当且仅当，即时取等号，
又∵，∴，时，取得最小值为．
19．【详解】（1）∵，∴
∵甲测试成绩的中位数为75，∴，
解得，．
甲的平均分为．
乙的平均分为．
则
所以学校应该选派甲代表学校参赛．
（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为，设为A，B．
乙测试成绩不足60分的试卷数为，设为a，b，c，
从中抽3份的情况有，，，，，，，，，共10种情况．
恰有2份来自乙的有，，，，，，共6种情况，
故恰有2份来自乙的概率为．
20．【详解】（1）当时，在上是增函数.
证明：任取，，且，
则，
∵，∴，
∴，则，
∴，
所以当时，在上是增函数.
（2）由，得，
整理得，
则对任意恒成立，所以．
因为函数的图像在图像下方，
所以，即对于恒成立．
所以，，
由（1）可知，在上是增函数，
又，
∵，则，
∴，
∴，则，
所以，即b的取值范围是．
21．【详解】（1）由题意，即，解得．
（2）由（1）可知，设清洗前残留的农药量为t（），
若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为，
则，（，），
若把水平均分成两份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量为，
，（，），
所以，（，），
①当，即时，，
把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；
②当，即时，，
两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；
③当，即时，，
清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．
综述：①当时，把水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少；
②当时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多；
③当时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少．
22．【详解】（1）因为在上单调递增，
所以在上函数值的取值范围是，
若函数具有性质M，应有
因为，所以，
故时，函数在区间上具有性质M．
（2），
①当时，在上单调递减，
∴，即，
两式相除，得，整理得，
∵与矛盾，∴当时，不合题意．
②当时，在上单调递增，
∴，即
所以方程在上有两个不相等的实根，
即在上有两个不相等的实根，
令，
∵在上单调递增，在上单调递减，
且，，
∴由图可知，实数m的取值范围是．

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