中考数学——二次函数的最值问题(2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法)(含答案).docx

第三章 函数
重难点03 二次函数的最值问题
（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）
【题型汇总】

类型一 代数最值
题型01 定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=−b2a时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤−b2a≤n，n+b2a＞−b2a−m时，如图②，当，当
3) 若m≤−b2a≤n，n+b2a＜−b2a−m时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜−b2a时，如图④，当，当
5) 若−b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当

1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（    ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2−6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a的值为 ．
3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax−22+aa<0，当−4≤x≤1时，y的最小值为−74，则a的值为 ．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A−1，0、B3，0、C4，5三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当−2<x<2时，求函数值y的范围；
题型02 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=ax2−2ax−3aa≠0.
（1）若a=−1,则函数y的最大值为 ．
（2）若当−1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为 ．
6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=a(x−2)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（    ）
A．12或4 B．4或−12 C．−43或4 D．−12或43
7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型03 定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）
解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=−b2a，相对于区间m≤x≤n的位置:
1）轴在区间左侧：如图①，当−b2a＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值.
2）轴在区间中间：如图②③，当m≤−b2a≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=−b2a时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值.
3）轴在区间右侧：如图④，当−b2a＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值.

8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=−1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a−b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(−1,2)，当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为−2，此时m的取值范围是−3≤m≤−1．其中正确结论的个数是(   )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m<x≤0时，函数y值的最大值为−4，则m的取值范围 ．
10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
题型04 定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）
12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是(    )
A．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤2
13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数y=−x2+6x−5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．
14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为1,−4，且图象经过点3,0，0,−3．
(1)求二次函数的表达式
(2)将二次函数的图象向右平移mm>0个单位，图象经过点1,−154，求m 的值；
(3)在由（2）平移后的图象上，当n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，求n的值．
15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线y=2a−3x2+4a+2x+a−5（实数a为常数）的对称轴为直线x=3．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当t≤x≤t+3时，则m−n=3t，求t的值．
题型05 动轴定区间
16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数y=−x2+2mx+9．
（1）当m=3时，该二次函数图象的顶点坐标为 ；
（2）当−1≤x≤3时，函数有最小值m2，则m的值为 ．
17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ）
A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2
18．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0，c<0），当−5≤x≤0时，−11≤y≤5，则c的值为 ．
题型06 动轴动区间的最值问题
19．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数y=−x2+2mx+n（m，n为常数）．
(1)若m+n=1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
(2)若m−1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p，最小值为q，且p−q=3k，求k的值．
20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m（m为常数，m<0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m= ．
题型07 动轴动区间参数取值范围问题
21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，点Px1,y1,Qx2,y2为抛物线y=ax2−2aℎx+aℎ2+1a≠0上的两点．
(1)当ℎ=1时，求抛物线的对称轴；
(2)若对于0≤x1≤2，ℎ+4≤x2≤ℎ+5都有y1≥y2，求h的取值范围．
22．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2nx−n2−n．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含n的代数式表示）；
(2)点Px1,y1，Qx2,y2在抛物线上，其中n−2≤x1≤n+1，x2=3−n．
①若y1的最大值是2，求y1的最小值；
②若对于x1，x2，都有y1≥y2，直接写出n的取值范围．
类型二 几何最值问题
题型01 二次函数中的线段最值问题
平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：
①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；
当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；
②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.
注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.
1）铅垂线段的求法-横坐标相同
23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；
(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．
25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2）水平相等的求法-纵坐标相同
26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=−12x+m2+1与二次函数y=−x−m2+m2+1（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．

(1)当 m=0时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当PQ∥y轴时，求PQ 的最小值；
②当PQ∥x轴时，求 PQ的最小值．
27．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）过点A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式：
(2)点P为第四象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于E，F为直线BC上一点，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此时点P的坐标：
(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点M，使∠BMP的度数最大，若存在，请写出M点的坐标，并做详细解答．
28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3，点P是直线AC上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
3）斜线段的求法-化斜为直

29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C，连接AC，已知抛物线的对称轴为直线x=34，OA=3．

(1)求a，b的值．
(2)若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y=ax2+bx+3于点E，求线段DE的最大值．
(3)若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，E，C为平行四边形的四个顶点时，求点D的坐标．
30．（2024·山东日照·二模）如图，抛物线y=ax2+bx−4a≠0与x轴交于点A，B−1,0，与y轴交于点C，且OA=OC，点Dm,0是线段OA上一动点，过点D作DP⊥x轴交直线AC于点E，交抛物线于点P，连接CP．

(1)求抛物线的解析式：
(2)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求出PQ的最大值；
(3)试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，作直线BC．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN=2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
4）距离最值问题
32．（2024·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过A−2,0，B0,4两点，直线x=3与x轴交于点C，与抛物线交于点G．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段OC上是否存在点F，使得∠BFG是直角？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)点Pm,n为抛物线上的动点，0<m<3，过P作x轴的垂线交直线BC于点D，求当P点到直线BC的距离最大时m的值．
33．（2024·山西晋中·二模）综合与探究
如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一个交点为点A．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点P，使点P到直线BC的距离最大，求出点P的坐标及点P到直线BC的距离最大值；
(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点Q，使得以点Q、B、C为顶点的三角形与△PBC面积相等？若存在，请直接写出符合的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5）线段比最值问题
34．（2022·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A−2,0、B6,0两点，与y轴交于点C0,4，顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接AP交BC于点M．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
(2)当PMAM的值最大时，求点P的坐标及PMAM的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．
35．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−2,0，B6,0两点，与y轴交于点C0,−3．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，请直接写出点P的坐标．
题型02 二次函数线段和、差最值
1）线段和最小问题
图形

条件
如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论
当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长.
当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
36．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A−1,0，C0,3两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接AH、DH，求AH+DH的最小值．
37．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B，C−2，0两点，与y轴交于点A，顶点坐标为1，−94．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Q是抛物线对称轴l上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；
(3)如图2，若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求12PK+PD的最大值及此时点P的坐标．
38．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2）线段差最大问题
图形

条件
如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值.
如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m
上一动点,求|AD-BD|的最大值.
结论
当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长
当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线 y=ax²+2x+c交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且A(−1，0)，B(3，0)．
(1)求抛物线与直线AC的解析式；
(2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得PA−PC的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点 D是线段AC上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点 F，求线段DF的最小值．
40．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段OA=OB．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a）

(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM−CM的值最大，求点M的坐标．
41．（2023·湖北恩施·二模）如图，已知直线y=−2x+4分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1)若抛物线的顶点M的坐标为12,92，其对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式．
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使AQ−BQ的值最大，试求出点Q的坐标．
③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数周长最值问题
无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.
42．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1，0，B3，0两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点M的坐标.
43．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y=ax2+c交于A8,6，B两点，点B的横坐标为−2．

(1)求直线AB和抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m；
①若点P在x轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形；
②若点P在x轴下方，设△POC的周长为p，求p关于m的函数关系式，当m为何值时，△POC的周长最大，最大值是多少？
44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB交于点A0,−4，B4，0．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P的坐标．
45．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线y=−x2+px+q的对称轴为直线x=−3，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线y=ax+t与该抛物线的另一个交点为N−1,1．

(1)求抛物线的解析式．
(2)求△QMN的面积．
(3)在x轴上确定一点P，使△PMN的周长最小，并求出此时△PMN的面积．
题型04 二次函数面积最值问题
解题思路：
1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；
2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；

3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.
46．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数y=−x+5的图像与二次函数y=x2+bx+c的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y=x2+bx+c的图像上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．

(1)求b、c的值；
(2)求△PAB的面积的最大值．
47．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A−4,0、B1,0，交y轴于点C0,4，点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为−2,6时，求四边形AOCP的面积；
(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．
48．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，点C的坐标为0,−3，连接BC．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．
49．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线y=−13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
题型05 将军饮马最值问题
图示
如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.
如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.

解题策略
做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离.
做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.
做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.
1）单对称
50．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+2x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若点P是x轴上一个动点，则CP+DP的最小值为 ．

51．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线y=−x2−3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点D为抛物线上一点且横坐标为−3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值 ．

2）多对称
52．（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．

53．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=−2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
（3）点C3,m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q的坐标．
3）将军遛马
54．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD=2，则四边形ABCD周长的最小值为 ．

55．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=−1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BM+CN的最小值是 ．

56．（2021·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点C(0,3)，与x轴交于点A(−1,0)和点B（点B在点A的右边），且OB=OC．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

第三章 函数
重难点03 二次函数的最值问题
（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）
【题型汇总】

类型一 代数最值
题型01 定轴定区间最值问题
解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中 a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.
1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=-b2a时，取到最小值，无最大值.
2）若m≤-b2a≤n，n+b2a＞-b2a-m时，如图②，当，当
3) 若m≤-b2a≤n，n+b2a＜-b2a-m时，如图③，当，当
4) 若m≤x≤n＜-b2a时，如图④，当，当
5) 若-b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当

1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（    ）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线y=x2-2x-1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，再分别求出x=0和x=3时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵y=x2-2x-1=x-12-2，
∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，
当x=0时，y=x2-2x-1=-1，当x=3时，y=32-2×3-1=2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2-6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a的值为 ．
【答案】3或-1/-1或3
【分析】本题考查二次函数的最值问题，分a>0,a<0，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=ax2-6ax+6a，
∴对称轴为直线x=--6a2a=3，
当a>0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵2≤x≤5，
∴当x=5时，函数值最大为：25a-30a+6a=3，
∴a=3，
当a<0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵2≤x≤5，
∴当x=3时，函数有最大值为：9a-18a+6a=3，
∴a=-1；
故答案为：3或-1．
3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax-22+aa<0，当-4≤x≤1时，y的最小值为-74，则a的值为 ．
【答案】-2
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当x=-4时，y=-74，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=ax-22+aa<0，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵当-4≤x≤1时，y的最小值为-74，
∴当x=-4时，y=-74，
∴a-4-22+a--74，
解得a=-2，
故答案为：-2．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A-1，0、B3，0、C4，5三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当-2<x<2时，求函数值y的范围；
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5
【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x的范围得到y的最值．
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，
∴0=a-b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：a=1b=-2c=-3，
∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；
（2）抛物线的对称轴为直线x=--22×1=1，
1＞0，则开口向上，
又∵-2<x<2，
∴当x=1时，y取最小值，即ymin=-4；
当x=-2时，y取最大值，即ymax=5，
∴y的范围是-4≤y＜5．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
题型02 利用对称轴与图像解决图系关系问题
解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;
1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;
2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。
5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=ax2-2ax-3aa≠0.
（1）若a=-1,则函数y的最大值为 ．
（2）若当-1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为 ．
【答案】 4 1或-54
【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）由题意可知此时二次函数为y=-x2+2x+3a≠0.，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线x=1，再分类讨论当a>0时和当a<0时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：（1）当a=-1时，该二次函数为y=-x2+2x+3=-x-12+4，
∵a=-1<0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为4．
故答案为：4；
（2）∵y=ax2-2ax-3a=ax-12-4a，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1．
当a>0时，抛物线开口向上，
∴当-1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1<x≤4时，y随x的增大而增大．
∵x轴上x=4到x=1的距离比x=-1到x=1的距离大，
∴当x=4时，y有最大值，
∴5=a4-12-4a，
解得：a=1；
当a<0时，抛物线开口向下，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为-4a，
∴5=-4a，
解得：a=-54．
综上可知a的值为1或-54．
故答案为：1或-54．
6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=a(x-2)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为（    ）
A．12或4 B．4或-12 C．-43或4 D．-12或43
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
分两种情况讨论：当a>0时，-a=-4，解得a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，9a-a=-4，解得a=-12．
【详解】解：y=a(x-2)2-a的对称轴为直线x=2，
顶点坐标为(2,-a)，
当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值-a，
∵y的最小值为-4，
∴-a=-4，
∴a=4；
当a<0时，在-1≤x≤4，当x=-1时，函数有最小值，
∴9a-a=-4，
解得a=-12；
综上所述：a的值为4或-12，
故选：B．
7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上