中考数学——分式方程及应用(含2种解题技巧))(含答案).docx

第二章 方程与不等式
第06讲 分式方程及应用
（思维导图+2考点+3命题点11种题型（含2种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 分式方程及其解法
考点二 分式方程的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 解分式方程
►题型01 解分式方程
►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程
►题型03 与解分式方程有关的新定义问题
命题点二 分式方程含参问题
►题型01 由分式方程的解求参数
►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数
►题型03 由分式方程解的取值范围求参数
命题点三 分式方程与实际应用
►题型01 列分式方程
►题型02 利用分式方程解决实际问题
►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用
►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用

001考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
分式方程及其解法
★★★
能解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的实际应用
★★
【考情分析2】本专题包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值两种类型的题目，解分式方程的出题形式多样，难度较低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答题中出现，难度一般。分式方程之所以特殊是因为其分母中含有未知数,故在解题过程中一定要注意检验.
【考情分析2】应用分式方程解决实际问题是中考中的常考题型，多以解答题形式出现，难度一般.解决该类问题的关键是确定题目中的等量关系，从而利用等量关系列分式方程，解题过程中要注意检验所求解是否满足分式方程及是否满足该题目的实际意义.
02知识导图·思

03考点突破·考法探究
考点一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.

1．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程3x+1=32x的解为 ．
2．（2024·陕西·中考真题）解方程：2x2-1+xx-1=1．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程1x-2-3=22-x的解是（    ）
A．x=-73 B．x=-1 C．x=53 D．x=3
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程1x-mx+1=0的解是负数，那么实数m的取值范围是（    ）
A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠-1
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解，则k的值为（    ）
A．k=2或k=-1 B．k=-2 C．k=2或k=1 D．k=-1
考点二 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.

1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（    ）
A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h
2．（2024·山西·中考真题）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（    ）
A．4000x=2×3200x+3 B．2×4000x=3200x+3
C．4000x-3=2×3200x D．2×4000x-3=3200x
3．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．
4．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
5．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d，c=2a，求四周边衬的宽度．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 解分式方程
►题型01 解分式方程
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1-13x-1=-52-6x时，去分母变形正确的是（    ）
A．2-6x+2=-5 B．6x-2-2=-5
C．2-6x-1=5 D．6x-2+1=5
2．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果代数式
2
n
3x+1
7
b
2x+1x
a
1

3．（2024·福建·中考真题）解方程：3x+2+1=xx-2．
4．（2023·山西·中考真题）解方程：1x-1+1=32x-2．
►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程
1．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
先化简，再求值：3-xx-4+1，其中x=解：原式=3-xx-4⋅(x-4)+(x-4)
=3-x+x-4
=-1
2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：
小丁：
解：去分母，得x-(x-3)=x-2
去括号，得x-x+3=x-2
合并同类项，得3=x-2
解得x=5
∴原方程的解是x=5
小迪：
解：去分母，得x+(x-3)=1
去括号得x+x-3=1
合并同类项得2x-3=1
解得x=2
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程1x-1=2x+1-4x2-1．
解：x+1=2x-1-4……第一步
x+1=2x-1-4……第二步
x-2x=-1-1-4……第三步
-x=-6……第四步
x=6……第五步
检验：当x=6时，x2-1=35≠0
所以，x=6是原方程的根．
问题一：
①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的；
A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质
②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　；
问题二：该方程的正确解是　　　；
问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
4．（2024·陕西渭南·一模）以下是小明同学解方程1-xx-3=13-x-2的过程．
【解析】方程两边同时乘x-3，得1-x=-1-2…第一步
x=4…第二步
检验：当x=4时，x-3=4-3=1≠0…第三步
所以，原分式方程的解为x=4…第四步
①小明的解法从第______步开始出现错误；出错的原因是______；
②解分式方程的思想是利用______的数学思想，把分式方程化为整式方程．
A．数形结合　B．特殊到一般　C．转化　D．类比
③写出解方程1-xx-3=13-x-2的正确过程．
►题型03 与解分式方程有关的新定义问题
1．（2020·山东枣庄·中考真题）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗-2=2x-4-1的解是（    ）
A．x=7 B．x=6 C．x=5 D．x=4
2．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义a★b=1a-b2，已知分式方程x★-1=x3-3x的解满足不等式2-ax-3>0，则a的取值范围是（    ）
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
3．（2024·四川广元·中考真题）若点Qx,y满足1x+1y=1xy，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标 ．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
5．（2024·四川泸州·二模）对于a、b定义a*b=1a-b2，已知分式方程x*-1=x3-3x的解满足不等式2-ax-3>0，则a的取值范围为 ．
命题点二 分式方程含参问题
►题型01 由分式方程的解求参数
1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3的解，那么实数m的值为（    ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
2．（2024·江苏盐城·三模）已知关于x的方程ax+1=1的解是x=2，求关于y的不等式(a-5)y<-6的解集．
►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数
解题思路：
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根.
3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；
③特殊解大于0或小于0
4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
1．（2021·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程m+x2-x-3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
2．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程m3-x=1有解，且关于y的方程y2-2y+m=0有实数根，则m的范围是 ．
3．（2024·四川达州·中考真题）若关于x的方程3x-2-kx-1x-2=1无解，则k的值为 ．
4．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m为常数）有增根，则增根是 ．
5．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx-2+12-x=3有增根，则m= ．
6．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
7．（2024西昌市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x-2+3=12-x．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
►题型03 由分式方程解的取值范围求参数
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程xx-1=3-mx1-x的解为正整数，则整数m的值为 ．
2．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程x+mx-2-1=x-12-x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程xx-3=2-m3-x有一个正数解，则m的取值范围 ．
4．（2023·重庆·中考真题）若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a<x-1的解集为x<-2，且关于y的分式方程a+2y-1+y+21-y=2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）字母a从-2,-1,0,1,2,3这6个数中选出使关于x的不等式组2x-16≥-122x-1<2a有解，且使关于x的方程xx-3-2=ax-3有唯一的解的数，a有 ．
6（2024·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x+13≤34x-2<3x+a的解集为x≤4，且关于y的分式方程a-8y+2-yy+2=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
7．（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组2x-7≥x-8a-6x4>-2有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程ay-4-34-y=-1的解满足y>-6，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ）
A．15 B．11 C．10 D．18
命题点三 分式方程与实际应用
►题型01 列分式方程
1．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（    ）
A．67503x-50=3000x B．30003x-50=6750x
C．67503x+50=3000x D．30003x+50=6750x
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（    ）
A．240x-240x+2=1 B．240x-240x-2=10 C．240x-2-240x=10 D．240x+2-240x=10
3．（2023·山东东营·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ）
A．96001.5x-6000x=0.4 B．9600x-60001.5x=0.4 C．60001.5x-9600x=0.4 D．6000x-96001.5x=0.4
4．（2023·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）
A．10x-71+40%x=1060 B．10x-71+40%x=10
C．71+40%x-10x=1060 D．71+40%x-10x=10
►题型02 利用分式方程解决实际问题
1．（2024·黑龙江大庆·一模）从2007年到2024年，经过17年的冲刺，中国高铁技术迅疾跨入世界领先行列．2024年某“G”次等级列车行驶420km的里程，它的平均速度是2007年普通“Z”等级列车的73倍，所用的时间比2007年普通“Z”等级列车少2小时．求某次“G”等级列车2024年的平均速度．
2．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的45．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的12，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
3．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队
每天施工面积（单位：m2）
每天施工费用（单位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
4．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：5201.6x=175x+30，解得x=5，经检验x=5是原方程的解．
乙：520x=1.6×175x-30，解得x=65，经检验x=65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；
(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用
1．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．

2．（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
3．（2023·四川凉山·一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．
(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
4．（2024河源市一模）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间ymin与装载速度x（吨/min）之间的函数关系如图．

(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)这批货的质量是多少？
(3)轮船到达目的地后开始卸货，因任务紧需加快卸货速度，这样比原定卸货速度每分钟提高了50%，结果提前了40分钟完成卸货，求原定速度每分钟卸货多少吨？
5．（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
6．（2021·河南三门峡·二模）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1:1.5:2．如图，折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x（m3）之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．
（1）写出点B的实际意义；
（2）求线段AB所在直线的表达式；
（3）某户5月份缴水费108元，求相应用水量为多少立方米？

►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中国·哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，是由黑龙江省哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在准备冰雪大世界的建造时，需要取冰，现安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天．
(1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？
(2)如需40天采冰1840立方米．甲乙共同工作队若干天后，甲另有任务，剩下的由乙队独立完成，为了能在规定的时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？
2．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
3．（2024·河南开封·一模）为践行环保理念，守护绿水青山，某餐厅计划从“2024中国国际生物降解材料展览会（生物降解展）”采购甲、乙两种可降解的一次性餐具．已知甲种餐具的单价是乙种餐具单价的25，用1000元采购的甲种餐具套数比乙种餐具的套数多3000套．
(1)求甲、乙两种餐具的单价．
(2)如果采购甲、乙两种可降解的一次性餐具共20000套，其中甲种m套，乙种的套数不少于甲种的一半，一共需要w元，那么采购甲种多少套时需要的采购款最少？
4．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的23．
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价13m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用
1．（22-23八年级上·河北邢台·期末）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ）
A．3x-1=6210x-1 B．3x-1=6210 C．3x-1=6210x D．6210x-1=3x
2．（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“do，mi，so”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为15个单位长，最短弦为10个单位长，求中间弦的长度．
3．（2024·湖北恩施·模拟预测）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．
4．（2022·吉林·二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．

第二章 方程与不等式
第06讲 分式方程及应用
（思维导图+2考点+3命题点11种题型（含2种解题技巧））

75
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 分式方程及其解法
考点二 分式方程的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 解分式方程
►题型01 解分式方程
►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程
►题型03 与解分式方程有关的新定义问题
命题点二 分式方程含参问题
►题型01 由分式方程的解求参数
►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数
►题型03 由分式方程解的取值范围求参数
命题点三 分式方程与实际应用
►题型01 列分式方程
►题型02 利用分式方程解决实际问题
►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用
►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
分式方程及其解法
★★★
能解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的实际应用
★★
【考情分析1】本专题包含解分式方程及已知分式方程的解求未知字母的值两种类型的题目，解分式方程的出题形式多样，难度较低；由分式方程的解求未知字母的值一般在非解答题中出现，难度一般。分式方程之所以特殊是因为其分母中含有未知数,故在解题过程中一定要注意检验.
【考情分析2】应用分式方程解决实际问题是中考中的常考题型，多以解答题形式出现，难度一般.解决该类问题的关键是确定题目中的等量关系，从而利用等量关系列分式方程，解题过程中要注意检验所求解是否满足分式方程及是否满足该题目的实际意义.

002知识导图·思维引航

003考点突破·考法探究
考点一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.

1．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程3x+1=32x的解为 ．
【答案】x=1
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即6x=3x+3
解得：x=1，
检验：当x=1时，2xx+1≠0，
故原方程的解为x=1，
故答案为：x=1．
2．（2024·陕西·中考真题）解方程：2x2-1+xx-1=1．
【答案】x=-3
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：2x2-1+xx-1=1，
去分母得：2+xx+1=x2-1，
去括号得：2+x2+x=x2-1，
移项，合并同类项得：x=-3，
检验：把x=-3代入x+1x-1得：-3+1-3-1=8≠0，
∴x=-3是原方程的解．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程1x-2-3=22-x的解是（    ）
A．x=-73 B．x=-1 C．x=53 D．x=3
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：1x-2-3=22-x，
1x-2-3=-2x-2，
1-3x-2=-2，
1-3x+6=-2，
-3x=-9，
x=3，
经检验x=3是该方程的解，
故选：D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程1x-mx+1=0的解是负数，那么实数m的取值范围是（    ）
A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠-1
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到m-1<0，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以xx+1得，x+1-mx=0，
解得x=1m-1，
∵分式方程的解是负数，
∴m-1<0，
∴m<1，
又∵xx+1≠0，
∴x+1≠0，
∴1m-1≠-1，
∴m≠0，
∴m<1且m≠0，
故选：A．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解，则k的值为（    ）
A．k=2或k=-1 B．k=-2 C．k=2或k=1 D．k=-1
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，kx-2(x-3)=-3，
整理得，(k-2)x=-9，
当k=2时，方程无解，
当k≠2时，令x=3，
解得k=-1，
所以关于x的分式方程kxx-3-2=33-x无解时，k=2或k=-1．
故选：A．
考点二 分式方程的实际应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.

1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（    ）
A．5km/h B．6km/h C．7km/h D．8km/h
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速=静水速+水速，逆水速