中考数学——几何压轴突破（四）几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型(3种类型7种题型详解+专题训练)(含答案).docx

第四章 三角形
重难点16几何压轴突破四 几何最值问题之
胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型
（3种类型7种题型详解+专题训练）
【题型汇总】

类型一 胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.
【模型详解】
条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.
图示：
解题步骤：
1） 作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.
2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.
3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的
解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.
模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段
注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.
【模型拓展】
对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.
题型01 已有相关角直接作垂线
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．

3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为 ．

4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是 ．

5．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A−D−C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．

6．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OB=3，点M在线段AC上，且AM=2．点P为线段OB上的一个动点．

（1）∠OBC= °；
（2）MP+12PB的最小值为 ．  
7．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x−4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y=518x2+bx+c恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是0,6，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点P的坐标．
8．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接BD，点 E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=BF，连接DE，DF，EF．

(1)如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；
(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；
(3)若点P是线段BD上的一个动点，连接PF，求PF+32DP的最小值．
9．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+2ax−3a与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为23．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿CP运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿PA运动到点A停止，则时间最短为 秒．

题型02 构造相关角再作垂线
10．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12
11．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，C(−3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．若P为y轴上一个动点，连接AP，则22BP+AP的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．22 D．4
12．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．

13．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，则OD+12CD的最小值为 ．

14．（2020九年级·新疆·学业考试）如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．

15．（2021九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE＋CE的最小值为 ．

16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线y=k8x+2x−4（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=−33x+b与抛物线的另一交点为D．

(1)若点D的横坐标为−5，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?
17．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A，B两点，若AB=m，函数y=ax2−2ax−3a的最小值为n，且m+n=0．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果将该抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G．当函数y1=kx−1+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求k的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当k取最大值时，函数y1=kx−1+2k的图象与图形G的对称轴交于点P，若过P作平行于x轴的直线交图形G于点Q，过点Q作y轴的平行线交函数y1=kx+1−2k的图象于点R，D为线段RQ上的一点，动点C从点R出发，沿RD→DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为5单位长度每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒．求当点C运动的时间最短时，对应的点D的坐标．
18．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【尝试初探】
（1）如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，∠BAD=120°，求AC的长；
【深入探究】
（2）如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=82，求BD的长；
【拓展延伸】
（3）如图③，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=23，延长DA,CB相交于点E，DE⊥CE，P是线段AC上一动点，连接PD，求2DP+CP的最小值．

19．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，C3,0，点A2,m、Bn,1在反比例函数y=kx的图象上．

(1)求反比例函数的解析式，并证明△ABC为直角三角形；
(2)在x轴上求作一点 P ，使 PB+12PC的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值．
类型二 阿氏圆模型
使用场景
已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值
类型
点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)
点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)
图示

解题策略
第一步:在OB上取点D，使得OD=kr；
第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;
第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.
第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr;
第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;
第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值
大招结论
AD的长即为PA+kPB的最小值
【模型总结】
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
题型01 两点在圆外：向内取点（系数小于1）
20．（2024·山东泰安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（    ）

A．8 B．263 C．233 D．9
22．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+12CF的最小值为（   ）

A．92 B．132 C．4 D．3132
23．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是 ．

24．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是 ．

25．（2021九年级·全国·专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：

①AP+12BP，
②2AP+BP，
③13AP+BP，
④AP+3BP的最小值．
26．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．

(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+12PA的最小值．
27．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E为BC，AC上的动点，且DE=4，P为DE的中点．

(1)若DE∥AB，求CD的长．
(2)在线段DE的运动过程中，CD的长由2到23，求这一变化过程中，点 P运动的路程．
(3)连结PA，PB，求PA+14PB的最小值．
28．（2021九年级·全国·专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD

（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋22AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋22AD的最小值．
29．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC2=PA×PB．

(1)求证：①∠PCA=∠PBC；
②直线PC是⊙O的切线；
(2)如图2，作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；
(3)如图3，若⊙O的半径为2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+22QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．  
题型02 两点在圆内：向外取点（系数大于1）
30．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．

31．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+12BP的最小值．

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，则CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以PDBP=CDCP=12．所以PD=12PB，所以AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为 ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP+BP的最小值；
(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是CD上一点，求2PA＋PB的最小值．
32．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．

33．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为

34．（2022·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋32EF 的最小值为 ．

题型03 一内一外提系数
35．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为 ．

题型04 隐圆+阿氏圆
36．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则PC+14PD的最小值为 ．

37．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM=2，N为边BC上一动点．连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．

38．如图，在RtΔABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为 ．

39．（2021·广西南宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是 ．

40．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，A2,0、B0,2、C5,2、D4,4，点P在第一象限，且∠APB=135°，则2PD+4PC的最小值为 ．

类型三 梯子滑行模型
模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型。

图1 图2
【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。
模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，
AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB
最大值。
即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。
模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在
边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保
持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时
线段OD 取最大值。
即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值。
41．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）

A．2+1 B．2+12 C．22+1 D．22−12
42．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，OA=8，点B在x轴上，OB=6．点M是平面内的一点，AM=6．将线段AM绕点A按顺时针方向旋转一周，连接BM，取BM的中点N，连接ON，则线段ON长的最大值为（    ）

A．2 B．12 C．210+3 D．8
43．（2023·广西南宁·一模）如图，已知∠MON=90°，线段AB长为6，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．则OC的最大值为（　　）

A．6+35 B．8 C．3+35 D．9
44．（2024·江苏扬州·三模）如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B为x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限内作△ABC使得∠BAC=90°，S△ABC=8，连结OC，则OC长的最大值为 ．

45．（22-23九年级上·全国·期末）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，若等边△ABC的边长为2，则线段OC长的最大值是 ．

46．（2022·安徽淮北·模拟预测）请解答下列各题：

(1)已知边长为a的正方形ABCD，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C、点D在第一象限，点E为正方形ABCD的对称中心，连接OE，则OE的长的最大值是　 　；
(2)已知m，n是方程x2+2016x+7=0的两根，则m2+2015m+6n2+2017n+8=　 　．

第四章 三角形
重难点16几何压轴突破四 几何最值问题之
胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型
（3种类型7种题型详解+专题训练）
【题型汇总】

类型一 胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.
【模型详解】
条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.
图示：
解题步骤：
2） 作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.
2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.
3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的
解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.
模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段
注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.
【模型拓展】
对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.
题型01 已有相关角直接作垂线
1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6，然后利用CP+12BP=CP+PD≤CF代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA=∠OAB=30°
∴∠OAE=∠OAB=12∠BAC=30°
∵BE⊥AC
∴OE=12OA=2
∴BE=BO+EO=6
∵PD⊥AB，∠ABE=30°
∴PD=12PB
∴CP+12BP=CP+PD≤CF
∴CP+12BP的最小值为CF的长度
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB
∴CF=BE=6
∴CP+12BP的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．

【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证ΔABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝12AC，则2BC＋AC=2B'C+CH，即当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点B0，−3，
∴AO＝3，BO=3，
∴AB=OA2+OB2=32+32=23，
作点B关于OA的对称点B'，连接 AB'，B'C，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：

∴OB=OB'=3，
∴BB'=23，AB=AB'=23
∴AB=AB'=BB'，
∴ΔABB'是等边三角形，
∵AO⊥BB'，
∴∠BAO=12∠BAB'=30°，
∵CH⊥AB，
∴CH=12AC，
∴2BC+AC=2BC+12AC=2B'C+CH，
∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，B'H⊥AB，ΔABB'是等边三角形，
∴BH＝AH=3，∠BB'H=30°，
∴B'H=B'A2−AH2=232−32=3，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为 ．

【答案】43
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝12BM，
∴AM+12BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝43，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥43，
∴AM+12BM≥43，
∴AM+12BM的最小值为43，
故答案为：43．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是 ．

【答案】23
【分析】过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF=30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ=12AP，则CP+12AP=CP+PQ≥CH，当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+12AP最小，CP+12AP最小值为CH，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB，BC，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，

由题意知：AF平分∠BAC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAF=12∠BAC=30°，
∴PQ=12AP，
∴CP+12AP=CP+PQ≥CH，
∴当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+12AP最小，CP+12AP最小值为CH，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
∴BC=AB2−AC2=43，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴CH=AC⋅BCAB=4×438=23，
即CP+12AP最小值为23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
5．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A−D−C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．

【答案】0,1515
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB，推出DH=14AD，可得14AD+CD=CD+DH，推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短．
【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'．

∵运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=OC=1，
∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，AO⊥BC，
∴AB=AC=OA2+OB2=15+1=4，
∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，
∴△AHD∽△AOB，
∴ADAB=DHOB，
∴DH=14AD，
∴14AD+CD=CD+DH，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
∴12BC⋅AO=12AB⋅CM，
∴CM=152，
∴AM=AC2−CM2=42−1522=72，
∵AD'=4MD'，设MD'=m，则AD'=4m，
则有：16m2−m2=494
∴m=71530或−71530（舍去），
∴AD'=141515
∴D0,1515，
故答案为0,1515．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
6．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OB=3，点M在线段AC上，且AM=2．点P为线段OB上的一个动点．

（1）∠OBC= °；
（2）MP+12PB的最小值为 ．
【答案】 30 2
【分析】（1）由矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，又由AB=OB得到△OAB是等边三角形，则∠ABO=60°，即可得到答案；
（2）过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，证明MP+12PB=MP+PE≥MF，进一求解MF即可得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，
∵AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=90°−60°=30°，
故答案为：30．
（2）过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，

在Rt△BPE中，
由（1）知：∠PBE=30°，
∴PE=12PB，
∴MP+12PB=MP+PE≥MF，
在矩形ABCD中，
AC=2OA=2OB=6，
∵AM=2，
∴CM=AC−AM=6−2=4，
在Rt△CMF中，∠MCF=∠OBC=30°，
∴MF=12CM=2，
∴MP+12PB的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含30°的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
7．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x−4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y=518x2+bx+c恰好经过这两点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是0,6，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)y=518x2−12x−4
(2)①点E在抛物线上；②P（0，−32）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，sin∠ABO=AOAB=HPBP=35，则HP=35BP，得35BP＋EP＝HP＋PE，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，−43x−4=0，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线y=518x2+bx+c，
得518×(−3)2−3b+c=0c=−4，
∴b=−12c=−4，
∴抛物线解析式为y=518x2−12x−4．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，y=518×62−12×6−4=3，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，

∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO=AOAB=HPBP=35，
∴HP=35BP，
∴35BP＋EP＝HP＋PE，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴PGEG=AOBO，
∴PG6=34，
∴PG＝92，
∴OP＝92−3＝32，
∴P（0，−32）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键．
8．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接BD，点 E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=BF，连接DE，DF，EF．

(1)如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；
(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；
(3)若点P是线段BD上的一个动点，连接PF，求PF+32DP的最小值．
【答案】(1)60°
(2)不改变，见解析
(3)33
【分析】（1）由菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD=6，