中考数学——矩形的性质与判定(练习)(含答案).docx

第五章 四边形
第24讲 矩形的性质与判定

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👉题型01 矩形性质的理解
👉题型02 根据矩形的性质求角度
👉题型03 根据矩形的性质求线段长
👉题型04 根据矩形的性质求周长，面积
👉题型05 根据矩形的性质求点的坐标
👉题型06 矩形的折叠问题
👉题型07 利用矩形的性质证明
👉题型08 矩形判定定理的理解
👉题型09 添加一个条件使四边形是矩形
👉题型10 证明四边形是矩形
👉题型11 根据矩形的性质与判定求角度
👉题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
👉题型13 根据矩形的性质与判定求周长，面积
👉题型14 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
👉题型15 与矩形有关的新定义问题
👉题型16 与矩形有关的规律探究问题
👉题型17 与矩形有关的动点问题
👉题型18 与矩形有关的最值问题
👉题型19 矩形与函数综合
👉题型20 与矩形有关的存在性问题
👉题型21 与矩形有关的材料阅读类问题

👉题型01 矩形性质的理解
1．（2024·贵州黔东南·一模）在下列立体图形中，左视图为矩形的是（   ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）正方形具备而矩形不具备的性质是（    ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
3．（2024·辽宁大连·模拟预测）下列图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正六边形
4．（2024·四川广安·中考真题）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．

👉题型02 根据矩形的性质求角度
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为(    )

A．45° B．60° C．65° D．75°
6．（2024·广东惠州·模拟预测）石油的提取物中含有稠环芳香烃，它的同系物的分子结构中有 一种物质叫释迦牟尼分子，它的分子式是CH2（部分结构是正六边形和矩形构成），其中∠1的度数为    

7．（2024·海南海口·模拟预测）如图，把一块等腰直角三角尺EFG的直角顶点G放在矩形纸片ABCD的边BC上，另外两个顶点E、F分别在矩形纸片ABCD的边AD、CD上，若∠GFC=76°，则∠AEG=（   ）

A．106° B．105° C．104° D．102°
8．（2024·河北唐山·一模）如图，直线a∥b，线段AB和矩形CDEF在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上，若∠α=80°，∠β=55°，则∠ABC=（    ）

A．130° B．135° C．140° D．150°
👉题型03 根据矩形的性质求线段长
9．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE交对角线AC于点F．若AC=6，则AF的长为 ．

10．（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为CD的中点，若点P绕AB上的点Q旋转后可以与点B重合，则AQ的长为（    ）

A．6 B．116 C．3 D．4
11．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE=EH时，DH长是 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ．

12．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，BE平分∠ABC，F，G分别是BE，CE的中点，AF=22，DG=5，则FG的值为（    ）

A．5 B．22 C．23 D．3
13．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分别是AD,BC上的点（点E,F分别不与点A,C重合），且EF⊥BD，则BE+EF+DF的最小值为 ．

👉题型04 根据矩形的性质求周长，面积
14．14．（2024·甘肃平凉·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为 ．

15．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，点E是矩形内部一动点，且∠BAE=∠CBE，已知DE的最小值等于2，则矩形ABCD的周长= ．

16．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，点F为BC边上一点，若CF=2BF，连接EF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．

17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4，点P从点B出发沿BC边匀速移动到点C，同时点Q从点 C 出发沿CD、DA、AB边向点 B匀速移动，且点Q移动的速度是点 P移动速度的2倍，设PB的长为x，△PCQ的面积为y，则下列各图中能够正确反映y与x的函数图象的是（    ）.

A． B． C． D．
18．（2024·山东菏泽·二模）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=6，b=4，则矩形ABCD的面积是 ．

19．（2024·广东清远·模拟预测） y=−x+6与y=x+2的图象交于点M，设点M的坐标为(m，n)，求边长分别为 m、n的矩形面积．
👉题型05 根据矩形的性质求点的坐标
20．（2024·江西九江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+4分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．

21．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO两边与坐标轴重合，OA=2，OC=1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ）

A．1,2 B．2,1 C．−2,−1 D．−1,2
22．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A，C分别在y轴、x轴上，且点B4,3，D为边BC上一点，将∠B沿AD所在直线翻折，当点B的对应点B'恰好落在对角线AC上时，点D的坐标为(    )

A．4,43 B．4,53 C．4,95 D．4,75
23．（2022·河北邢台·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为A8，0，C0，6．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．

（1）矩形OABC（不包含边界）内的偶点的个数为 ；
（2）若双曲线L：y=kxx>0将矩形OABC（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有 个．
24．（2024·四川乐山·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上， OC=3，OA=26，D是BC的中点，将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于点E，连接DE，则点G的坐标为（    ）

A．365,35 B．665,35 C．65,35 D．365,65
👉题型06 矩形的折叠问题
25．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=3，则CD的长为 ．

26．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A4,0，C0,42是矩形OABC的顶点，点M,N分别为边AB,OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C'在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k=

27．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD的长BC=15，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，展开后，再将∠C折到∠DFE的位置，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则折痕DE= ．

28．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点B(23,2)．D是边BC上一点（不与点B重合），过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C'．当点C'落在OB上时，点C'的坐标为 ．

👉题型07 利用矩形的性质证明
29．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．

(1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
(2)若AD=AE，AF=1，求DG的长．
30．（2024·吉林长春·模拟预测）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．

(1)求证：四边形AB'C'D是菱形；
(2)四边形ABC'D'的周长为 ；
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．
31．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A'C'D'．

(1)求证：△A'AD'≌△CC'B；
(2)若∠ACB=30°，试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC'D'是菱形，并请说明理由．
👉题型08 矩形判定定理的理解
32．（2024·山东临沂·模拟预测）小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　）
A．度量窗户的两个角是否是90°
B．测量窗户两组对边是否分别相等
C．测量窗户两条对角线是否相等
D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
33．（2024·河南郑州·模拟预测）在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（    ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量各顶点到对角线交点距离是否相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量两组对边是否分别相等
34．（2023·安徽蚌埠·三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（    ）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③
👉题型09 添加一个条件使四边形是矩形
35．（2024·湖南·模拟预测）已知▱ABCD，下列条件能使▱ABCD成为矩形的是（    ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠A=∠C
36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．

(1)求证：BE=DF；
(2)连接DE，BF．请添加一个条件，使四边形DEBF为矩形．（不需要说明理由）
37．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC于点E，点F为AD上一点，连接CF，请你添加一个条件，使得四边形AECF为矩形．（不再添加其他线条和字母）

(1)你添加的条件是__________；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
38．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE=∠CDF．

(1)求证：BE=DF；
(2)连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由．
👉题型10 证明四边形是矩形
39．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD．
求证：四边形ABCD是矩形．

40．（2022·西藏·模拟预测）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．

(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若DE=12BC，试判断四边形BFCE的形状，并说明理由．
41．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.

(1)求证：BE=DF；
(2)设ACBD=k，直接写出k= 时，四边形DEBF是矩形.
42．（2024·湖北·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，尺规作图所得射线AF交BC于点D，且四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形．

👉题型11 根据矩形的性质与判定求角度
43．（2024·福建泉州·一模）“已知∠MON，点A，B是ON边上不重合的两个定点，点C是OM边上的一个动点，当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形ABCD，AD=4，点E是射线AD上一点，点F是射线AB上的一动点．当AE=12时，则∠DFE的值最大为（    ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
44．（2023·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．

(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．
45．（2023·广东梅州·一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数．
👉题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
46．（22-23八年级下·重庆梁平·期末）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）

A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
47．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE的长为 ．

48．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（    ）

A．132 B．6013 C．125 D．3013
👉题型13 根据矩形的性质与判定求周长，面积
49．（2024·山东·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=5，延长DC至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，∠AFC=2∠D．

(1)求证：四边形ABEC是矩形；
(2)求▱ABCD的面积．
50．（2024·甘肃·模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，EF与AC相交于点O，BE=DF，AC=EF．

(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AE=BE，AB=2，sin∠ACB=23，求四边形ABEO的面积．
51．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究

（1）如图1，在▱ABCD中，E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点（不与▱ABCD的顶点重合），连接EG，FH，当EG∥AB，FH∥AD时，求证：S四边形EFGH=12S▱ABCD．
问题解决
（2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置．如图2，设计师通过设计软件画出圆形场地，记作⊙O，主区域△ABC内接于⊙O，AB经过圆心O，M为AB上一点，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分别为E，F，要求AE=BF．观赏区为△AEM与△BMF，已知AB=25m．设AM=xm，观赏区△AEM与△BMF的面积的和为Sm2．
①求S与x之间的函数关系式．
②当S最大时，求△ABC的面积．
52．（2024·贵州遵义·二模）如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图，在凹四边形ABCD中，BC=2,AB=23,∠C=30∘,∠A=15°，则凹四边形ABCD的周长为 ．

53．（2024·四川遂宁·二模）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（　　）

A．19 B．20 C．21 D．22
👉题型14 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
54．（2023·四川达州·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，点E、O、F在另一条直线上．以下结论：①△AEG∽△DGF；②AB=2AD；③S△COF=12S△CDG；④EF=3DF．其中正确结论的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
55．（2024·湖北·模拟预测）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=6，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN,MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=3；③△BMG是等边三角形；④P为线段BM上一个动点，H是线段BN的动点，则PN+PH的最小值是33．其中正确结论的序号是 ．

56．（2024·上海闵行·二模）在矩形ABCD中，AB<BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB=a,BE=CF=b,DE=c,∠BEF=∠DFC，以下两个结论：①(a+b)2+(a−b)2=c2；②a+b>22c．其中判断正确的是（    ）

A．①②都正确 B．①②都错误；
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
57．（2023·山东临沂·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD，DC的距离可能相等；④点G到边DC的距离的最小值为3，其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

👉题型15 与矩形有关的新定义问题
58．（2024·浙江·一模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．

(1)如图1，已知△ABC，AB=AC,AC≠BC，
①用尺规作图作出△ABC的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）
②过点C能作出△ABC的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；
(2)如图2，若MN是矩形ABCD的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将∠ACD用含α的代数式表示为；
(3)如图3，已知四边形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8,CD=5．用尺规作图作出四边形ABCD的“紫金线”PQ．（保留作图痕迹）
59．（2024·河南漯河·一模）定义：若一个三角形的面积是另一个三角形面积的n倍，就说这个三角形是另一个三角形的“n倍三角形”，另一个三角形是这个三角形的“n分之一三角形”．如图1，△ABC的中线AD把三角形分成面积相等的两部分，即△ABD和△ACD的面积都是△ABC面积的一半，所以△ABC是△ABD或△ACD的“2倍三角形”，△ABD和△ACD都是△ABC的“2分之一三角形”．

(1)①如图2，△ACP是△ABP的“2倍三角形”，那么△ABP是△ABC的“________分之一三角形”；
②若点O是△ABC的重心，连接OB，OC，则△ABC是△OBC的“________倍三角形”；
(2)在△ABC中，AB=2BC，分别延长边BA，BC到点M，N，连接MN．已知AM=AB，△BMN是△ABC的“16倍三角形”．求证：△BMN与△ABC是相似三角形；
(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=4，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，点P，Q分别是线段AD，AE上的动点，连接EP，PQ．已知△ABC是△CDE的“4倍三角形”，求EP+PQ的最小值．
60．（2024·辽宁本溪·二模）定义：
在平面直角坐标系中，图象上任意一点Px,y的纵坐标y与横坐标x的差即y−x的值称为点P的“坐标差”；例如：点A3,7的“坐标差”为7−3=4，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”．

理解：
（1）求二次函数y=−x2+7x+1的图象的“特征值”；
运用：
（2）若二次函数y=−x2−bx+cc≠0的“特征值”为−1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴，y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：
（3）如图，矩形ODEF，点E的坐标为7,4，点D在x轴上，点F在y轴上，二次函数y=−x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为3的函数图象l上．
①当二次函数y=−x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
②当二次函数y=−x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出p的取值范围．
参考公式：y=ax2+bx+cc≠0=ax+b2a2+4ac−b24a．
61．（2023·江西上饶·一模）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图，∠B=∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是 ．
①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④等腰梯形
(2)如图，在四边形ABCD中，AB，CD的垂直平分线恰好交于BC边上一点P，连结AC，BD，且AC=BD，求证：四边形ABCD为等邻角四边形．

(3)如图，在等邻角四边形ABCD中，∠B=∠BCD，CE⊥AE，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想PM，PN，CE之间的数量关系？并请说明理由．

👉题型16 与矩形有关的规律探究问题
62．（2020·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到ΔEF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到ΔEF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到ΔEF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则ΔEFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）

63．（2024·安徽阜阳·三模）邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作余下的四边形是正方形，操作停止，这样第n次操作后所得到的余下的正方形则称为原矩形的n阶正方形，如图，相邻两边长分别为3和5的矩形，最后所得到的正方形为原矩形的3阶正方形．

矩形相邻的两边长
操作次数
最后所得到的正方形为
2和1
1
原矩形的1阶正方形
3和2
2
原矩形的____阶正方形
8和3
__________
原矩形的____阶正方形

(1)完成上表：
(2)已知矩形的两相邻边长分别为a,b，满足a=6b+m,b=3m（m为正整数），则最后所得到的正方形是原矩形的_____________阶正方形．
64．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ．

65．（2024·河南郑州·三模）综合实践
【问题】  小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1,F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是什么？
【探究】（1）小张觉得在点E,F运动的过程中，四边形E1E2F1F2的两组对边分别相等，所以四边形E1E2F1F2形状必定为______；
（2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索：
①小王看到四边形E1E2F1F2的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接DE1和DF2，只要能说明∠E1DF2为180°即可，其余三条边都可以用这个方法证明．请你根据小王的说法，证明边E1F2经过点D．
②小王发现，点E,F在点O时，四边形E1E2F1F2为菱形；点E,F分别运动到终点B,D时，四边形E1E2F1F2为菱形；并猜想点E,F在运动过程中，四边形E1E2F1F2能为矩形．请你利用图2判段点E,F在运动过程中，四边形E1E2F1F2否能为矩形？若能请找到点F的位置并证明此时四边形E1E2F1F2为矩形；若不能，也请说明理由．
【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、菱形的结论．如图3，在原题的基础上，将条件∠ABD=60°变为AB=6，AD=8，其余条件不变，小袁发现在点E,F运动过程中，四边形E1E2F1F2依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩形的周长．

👉题型17 与矩形有关的动点问题
66．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形ABCD中，BC=4,E是BC边上的一个动点，AE⊥EF,EF交CD于点F，设BE=x,CF=y，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为（  ）

A．5 B．6 C．7 D．8
67．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是边AD上的动点，连接CE，以CE为边作矩形CEFG (点D、G在CE的同侧)，且CE=2EF，连接BF．

(1)如图1，当点E在AD的中点时，点B、E、F在同一直线上，求BF的长；
(2)如图2，当∠BCE=30°时，求证：线段BF被CE平分．
68．（2024·福建南平·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G．

(1)当E为BC的中点时，求证：EG=EF；
(2)当E为BC边上任意一点时，求EF+EG的值．

69．（2024·湖北武汉·模拟预测）（1）问题导入：  如图1，在正方形ABCD中， AB=2+22，E为线段BC上一动点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，若AB'的延长线恰好经过点C，则BE=__________．
（2）问题探究：  如图2，在矩形ABCD中，E为线段BC上一动点，设AE=mAB，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，延长AB'交CD于点F，若AF=mAE，试说明点E是BC的中点．

（3）问题深挖：  如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E为直线BC上一动点，设AE=mAB，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，在AB'的延长线上找一点F，使得AF=mAE，当△AEC是以AE为腰的等腰三角形时，求出点F到直线BC的距离．
70．（2023·江苏苏州·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，动点E、G分别从点A、C同时出发，均以1cm/s的速度沿AB、CD向终点B、D匀速运动；同时，动点H、F也分别从点A、C出发，均以2cm/s的速度沿AD、CB向终点D、B匀速运动，顺次连接EF、FG、GH、HE．设运动的时间为t s，若四边形EFGH是矩形，则t的值为 ．

👉题型18 与矩形有关的最值问题
71．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是 ．

72．（2024·广东深圳·模拟预测）同学在学习矩形时，发现了矩形的一些神奇性质，如图1，P为矩形ABCD内任意一点，PA、PB、PC、PD之间存在一种特殊的数量关系：PA2+PC2=PB2+PD2，同学们发现勾股定理就可以快速证明出来如图2；

(1)若点P在矩形ABCD外部，以上结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(2)若如图3，点P在正方形ABCD内，若PA=1，PB=2，PC=3，则PD=______；
(3)如图4，△OAB中，E为内部一点，且OA=2，OB=3，OE=1且AE⊥BE，求AB的最小值．
73．（2024·吉林长春·二模）如图，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G，连接FG．

(1)求证：四边形OGEF为矩形．
(2)求GF的最小值．
74．（2024·湖南长沙·一模）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，D是斜边AC上一个动点，过点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接EF．

(1)求证：四边形BEDF是矩形；
(2)在D点的运动过程中，求EF的最小值；
(3)若四边形BEDF为正方形，求ADDC．
75．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，连接BD，M、N分别为边AD、BC上的动点，且MN⊥BD于点P，连接DN、BM，则DN+BM的最小值为 ．

76．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段AB上一点，在线段AB的同侧分别以AE，BE为斜边作等腰Rt△ADE和等腰Rt△BCE，F，M分别是CD，AB的中点．若AB=6，则下列结论错误的是（    ）．

A．FA+FB的最小值为35 B．四边形ABCD面积的最小值为92
C．△CDE周长的最小值为32+3 D．FE+FM的最小值为3
👉题型19 矩形与函数综合
77．（2024·陕西汉中·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+24（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A2，0、B6，0两点．

(1)求抛物线L1的函数表达式；
(2)点C为抛物线L1上一点，连接AC、BC，过点C作CD⊥x轴于点D，点F为x轴上的动点，作抛物线L，关于原点O对称的抛物线L2，当点C在抛物线L₁的对称轴左侧，且△ABC的面积为12时，在抛物线L2上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
78．（2024·江苏镇江·一模）函数y=6x和函数y=−12x的图像如图所示，点A是函数y=6x的图像在第一象限上的一点，它的横坐标为m，过点A分别作AB平行于x轴、AD平行于y轴，分别与函数y=−12x的图像交于点B、D，以AB、AD为邻边作矩形ABCD．

(1)点D的纵坐标为 （用含m的代数式表示）；并求证：点C在函数y=6x的图像上；
(2)若点E在函数y=6x的图像上，CE∥BD，当m＝3时，直接写出点E的坐标为 ．
79．（2024·辽宁大连·模拟预测）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y=−13x2+13x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，D是y轴负半轴上一点，OA=3OD，直线AD与抛物线交于点E．

(1)求直线AD的函数表达式；
(2)如图2．在线段AB上有一条2个单位长度的动线段MN（点M在点N的左侧），过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点P；过点N作x轴的垂线，交抛物线于点G．交直线AD于点Q，连接FG，MQ．设点M的横坐标为m，请解答下列问题：
①线段FM的长为________；（用含m的代数式表示）
②当m=−12时，判断四边形MFGN的形状，并说明理由；
③求当m为何值时，MQ∥FG．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点M在抛物线的对称轴上时．连接AC，试探究；此时在第一象限内是否存在点T．使以T，G，Q为顶点的三角形与△ACD相似？若存在．请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
80．（2022·广东深圳·模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程（Pappus，约300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1xx>0的图象；
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x；
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．

(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；
(2)证明：O、M、E三点共线；
(3)证明：∠EOB=13∠AOB．
👉题型20 与矩形有关的存在性问题
81．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，BD为对角线．点P为线段CD上一动点，点P从点D出发，向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q为BC上一动点，过点Q作BD的垂线，交BD于点M，交AD于点N，点Q从点C向点B运动，速度为1cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动；设运动时间为ts0<t<6．

(1)当t为何值时，PQ∥BD？
(2)设四边形NQPD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形NQPD的面积是矩形ABCD面积的