中考数学——三角形(章节测试)(含答案).docx

章节检测验收卷四 三角形
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　）

A．南偏东60掳方向 B．北偏西60掳方向 C．南偏东50掳方向 D．北偏西50掳方向
2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角，则EF与FG所成锐角的度数为（    ）

A．60掳 B．55掳 C．50掳 D．45掳
3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（    ）

A．8 B．10 C．12 D．13
4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45掳，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53掳，则电子厂AB的高度为（    ）（参考数据：，，）

A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，鈻矨BC中，AB=AC，AE平分鈻矨BC的外角鈭燙AN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴鈭燗BC=鈭?．
∵，鈭燙AN=鈭?+鈭?，鈭?=鈭?，
∴①______．
又∵鈭?=鈭?，MA=MC，
∴（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ）
A．鈭?=鈭?，AAS B．鈭?=鈭?，ASA
C．鈭?=鈭?，AAS D．鈭?=鈭?，ASA
6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在鈻矨BC中，D是AC的中点，，BD与CE交于点O，且BE=CD．下列说法错误的是（    ）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．
C．当E为AB中点时，鈻矨BC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，鈻矱GF是以点G为直角顶点，鈭燛FG为30掳角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（    ）

A．2 B．43−2 C．23 D．4
AI=MHMH鈭燘=60掳MHAIMH=AIBE=8MH=12EM=23=AIAG238．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若，则EF=2；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将鈻矨BG绕点A逆时针旋转90掳得到鈻矨DG'，则BG'的最大值为55+5．其中正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，鈭燗BC=90掳，AB=3cm，BC=2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为ts．下列结论：

①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点P到直线l2的距离等于5cm；
③在点P运动过程中，鈻砅BC的面积随着t的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
10．（2023·辽宁·中考真题）如图，鈭燤AN=60掳，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，鈭燤AN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作交AM于点F，作交射线AD于点G，过点G作于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与鈻矨BC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）

A．  B．    C．     D．  
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在鈻矨BC中，AE1，BE1分别是内角鈭燙AB、外角鈭燙BD的三等分线，且，，在鈻矨BE1中，AE2，BE2分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．

13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，鈯橭是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

14．（2024·河北·中考真题）如图，鈻矨BC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

（1）鈻矨C1D1的面积为 ；
（2）的面积为 ．
15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，鈻矨BC是正三角形，点A在第一象限，点B0,0、C1,0．将线段CA　绕点C按顺时针方向旋转120掳至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120掳至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120掳至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120掳至CP4；……以此类推，则点P99的坐标是 ．

16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在鈻矨BC中，将AB绕点A顺时针旋转伪至AB'，将AC绕点A逆时针旋转尾至，得到鈻矨B'C'，使，我们称鈻矨B'C'是鈻矨BC的“旋补三角形”，鈻矨B'C'的中线AD叫做鈻矨BC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．

①鈻矨BC与鈻矨B'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，AE=BF．
若________，则AB=CD．

请从①；②CE=DF；③鈭燛=鈭燜这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
18．（2024·北京·中考真题）已知，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180掳−2伪得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.

(1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
(2)如图2，当点D在鈭燤AN内部时，作，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明。
19．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角鈭燗CD=18.4掳；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角鈭燦CD=37掳，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，tan18.4???.33)．

20．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知鈻矨BC是等腰三角形，AB=AC，，鈭燤AN在鈭燘AC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当鈭燘AC=90掳时，探究如下：
由鈭燘AC=90掳，AB=AC可知，将鈻矨CN绕点A顺时针旋转90掳，得到鈻矨BP，则CN=BP且鈭燩BM=90掳，连接PM，易证，可得MP=MN，在中，BM2+BP2=MP2，则有BM2+NC2=MN2．
（2）当鈭燘AC=60掳时，如图②：当鈭燘AC=120掳时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
21．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．

(1) 如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”．
(3)如图3，鈻矨BC中，A1,2,B0,−1,C−2,1，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在鈻矨BC中，AB=AC，点D是AC上的一个动点，过点D作于点E，延长ED交BA延长线于点F．

请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：AD=AF；
(2)探究DFDE与ADDC的关系；
某小组探究发现，当ADDC=13时，DFDE=23；当ADDC=45时，DFDE=85．
请你继续探究：
①当ADDC=76时，直接写出DFDE的值；
②当ADDC=mn时，猜想DFDE的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使鈭燗CF=鈭燗CB时，若ADDC=mn，直接写出APAD的值（用含m，n的式子表示）．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在鈻矨BC中，鈭燗=90掳，将线段BC绕点B顺时针旋转90掳得到线段BD，作交AB的延长线于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求鈻矪DF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
24．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．

(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
25．（2024·山东德州·中考真题）在鈻矨BC中，AC=BC，鈭燗CB=120掳，点D是AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段DC顺时针旋转120掳得到线DE．

(1)如图1，当鈭燗CD=15掳时，求鈭燘DE的度数；
(2)如图2，连接BE，当时，鈭燗BE的大小是否发生变化？如果不变求，鈭燗BE的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转120掳得到线段CN，连接EN，若AC=4，求线段EN的取值范围．

章节检测验收卷四 三角形
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　）

A．南偏东60掳方向 B．北偏西60掳方向 C．南偏东50掳方向 D．北偏西50掳方向
【答案】A
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键．
作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案．
【详解】解：如图，作，

则，
鈭粹垹DCE=100掳−50掳=60掳，
，
鈭碈D鈭F，
，
科技馆位于小亮家的南偏东方向，
故答案为：A．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角．顶部支架EF与灯杆CD所成锐角，则EF与FG所成锐角的度数为（    ）

A．60掳 B．55掳 C．50掳 D．45掳
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点E作，可得，即得，，根据鈭犖?45掳求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点E作，

∵，
∴，
∴鈭燘EH=伪=15掳，，
∵，
∴，
∴，
∴EF与FG所成锐角的度数为为，
故选：A．
3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（    ）

A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=x+1，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设BC=x，则BD=BA=x+1，
由题意，得：x+12=52+x2，
解得：x=12，即BC=12，
故选：C．
4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45掳，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53掳，则电子厂AB的高度为（    ）（参考数据：，，）

A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
【答案】A
【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设GM=xm，表示EM=x+5m，然后在以及运用线段和差关系，即MN=AN−AM=43x−x+5=0.3，再求出x=15.9m，即可作答．
【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G，

∵鈭燤EF=鈭燛FB=鈭燙DF=90掳
∴四边形EFDG是矩形
∵鈭燤EF=鈭燛FB=鈭燘=90掳
∴四边形EFBM是矩形
同理得四边形CDBN是矩形
依题意，得，
∴CG=1.8−1.5m=0.3m，FD=EG=5m
∴CG=MN=0.3m
∴设GM=xm，则EM=x+5m
在
∴EM脳1=AM
即AM=x+5m
在
∴CNtan53?=43x=AN
即AN=43xm
∴MN=AN−AM=43x−x+5=0.3
∴x=15.9m
∴AM=15.9+5=20.9m
∴AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7m
故选：A
5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，鈻矨BC中，AB=AC，AE平分鈻矨BC的外角鈭燙AN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴鈭燗BC=鈭?．
∵，鈭燙AN=鈭?+鈭?，鈭?=鈭?，
∴①______．
又∵鈭?=鈭?，MA=MC，
∴（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ）
A．鈭?=鈭?，AAS B．鈭?=鈭?，ASA
C．鈭?=鈭?，AAS D．鈭?=鈭?，ASA
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得鈭?=鈭?，证明，得到MD=MB，再结合中点的定义得出MA=MC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵AB=AC，∴．
∵，，鈭?=鈭?，
∴①．
又∵鈭?=鈭?，MA=MC，
∴（②ASA）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在鈻矨BC中，D是AC的中点，，BD与CE交于点O，且BE=CD．下列说法错误的是（    ）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．
C．当E为AB中点时，鈻矨BC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
【答案】D
【分析】连接DE，根据，点D是AC的中点得DE=AD=CD=12AC，则BE=DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设鈭燗BD=伪，根据BE=DE得，的鈭燗ED=鈭燛DB+鈭燗BD=2伪，再根据DE=AD得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当E为AB中点时，则BE=12AB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC=BC，然后根据BE=12AB，CD=12AC，BE=CD得AB=AC，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO并延长交BC于F，根据是等边三角形得，则OA=OB，进而得OB=2OF，AF=3OF，由此得，，由E为AB中点，则，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：连接DE，如图1所示：
  鈭礐E鈯B，点D是AC的中点，
为斜边上的中线，
，
鈭礏E=CD，
鈭碆E=DE，
点D在线段BD的垂直平分线上，
即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；
设鈭燗BD=伪，
鈭礏E=DE，
，
，
鈭礑E=AD，
，
鈭粹垹BDC=鈭燗+鈭燗BD=3伪，
即鈭燘DC=3鈭燗BD，故选B正确，不符合题意；
当E为AB中点时，则BE=12AB，
鈭礐E鈯B，
是线段AB的垂直平分线，
鈭碅C=BC，
??E=12AB，CD=12AC，BE=CD，
鈭碅B=AC，
，
鈭粹柍ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：

当E为AB中点时，
点D为AC的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，
当E为AB中点时，是等边三角形，
，，AF平分，BD平分，
，
鈭碠A=OB，
在中，OB=2OF，
鈭碠A=OB=2OF，
鈭碅F=OA+OF=3OF，
，，
∵E为AB中点，
∴
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，鈻矱GF是以点G为直角顶点，鈭燛FG为30掳角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（    ）

A．2 B．43−2 C．23 D．4
【答案】C
【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AI=MH，因为，所以求出MH的值即可解答．
【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I，

∵，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴，
∵鈭燘=60掳，
∴，
∴，
∴，

∴四边形MHAI是矩形，
∴MH=AI，
∵BE=8，
∴，
∴MH=12EM=23=AI，
∴，
∴AG最小值是23．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
8．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若，则EF=2；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将鈻矨BG绕点A逆时针旋转90掳得到鈻矨DG'，则BG'的最大值为55+5．其中正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据tan??DF=AFDF=34，设AF=3x，得到DF=4x，进而得到AD=5x=AB=10，求出x的值，判定①，根据的面积是正方形EFGH面积的3倍，求出AG=32BG，进而得到FG=AG−BG=13AG，判断②；旋转得到，进而得到点G'在以AD为直径的半圆上，取AD的中点O，连接BO,OG'，得到，判断③．
【详解】解：在中，tan??DF=AFDF=34，
∴设AF=3x，则：DF=4x，
∴AD=5x=AB=10，
∴x=2，
∴AF=6,DF=8，
∵，
∴DE=AF=6，
∴EF=DF−DE=2；故①正确；
若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则：，
∴，即：，
∴AG=32BG或AG=23BG（舍去），
∴FG=AG−BG=13AG，
∴点F是AG的三等分点；故②正确；
∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴点G'在以AD为直径的半圆上，
取AD的中点O，连接BO,OG'，则：，OG'=OA=12AD=5，

∴BO=OA2+AB2=55，
∴，
即：BG'的最大值为55+5；故③正确；
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，鈭燗BC=90掳，AB=3cm，BC=2cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，，动点P从点A出发沿直线l1以1cm/s的速度向右运动，设运动时间为ts．下列结论：

①当t=2s时，四边形ABCP的周长是10cm；
②当t=4s时，点P到直线l2的距离等于5cm；
③在点P运动过程中，鈻砅BC的面积随着t的增大而增大；
④若点D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当t=2s时，得到四边形ABCP是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断．
【详解】解：①当t=2s时，AP=2cm，
AP=BC，
，，
四边形ABCP是矩形，
AB=PC=3cm，
，四边形ABCP的周长是2?2+3=10cm，故①正确；
② ，，AB=3cm，
直线l1与直线l2之间的距离是3cm，
当t=4s时，点P到直线l2的距离等于3cm，故②错误；
③由②可知点P到BC的距离为定值3cm，即的BC边上的高为3cm，
又 BC=2cm，
的面积为定值，故③错误；
④点D，E分别是线段PB，PC的中点，
DE是的中位线，
DE=12BC=1cm，
即线段DE的长度不变，故④正确；
故选：A．
10．（2023·辽宁·中考真题）如图，鈭燤AN=60掳，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，鈭燤AN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作交AM于点F，作交射线AD于点G，过点G作于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与鈻矨BC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）

A．   B．    
C．     D．  
【答案】A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵，AC=AB=6，
∴是边长为6的正三角形，
∵AD平分，
∴，，CD=DB=3，
①当矩形EFGH全部在之中，即由图1到图2，此时0<x鈮?，

∵，
∴，
∴，
∴AE=EG=x，
在中，，
∴EF=32AE=32x，
∴S=32x2；
②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，
则x+12x=6，解得x=4，
由图2到图3，此时3<x鈮?，

如图4，记BC，EG的交点为Q，则是正三角形，
∴EQ=EB=BQ=6−x，
∴GQ=x−6−x=2x−6， 而，
∴PG=3QG=32x−6，
∴

=−332x2+123x−183，
③如图6时，x=6，由图3到图6，此时4<x鈮?，

如图5，同理是正三角形，
∴EK=KB=EB=6−x，FC=AC−AF=6−12x，EF=32x，
∴S=S???EKCF

=−338x2+33x，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为82+152=17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15−172=3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为a、b，斜边为c，其内切圆半径r=a+b+c3是解题的关键．
12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在鈻矨BC中，AE1，BE1分别是内角鈭燙AB、外角鈭燙BD的三等分线，且，，在鈻矨BE1中，AE2，BE2分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．

【答案】13nm
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对运用三角形的外角定理，设，则鈭燙AB=3伪，，则鈭燙BD=3尾，得到，3尾=3伪+鈭燙，同理可求：，所以可得．
【详解】解：如图：

∵，，
∴设，，则鈭燙AB=3伪，鈭燙BD=3尾，
由三角形的外角的性质得：，3尾=3伪+鈭燙，
∴，
如图：

同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案为：13nm．
13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，鈯橭是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，，然后利用含角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4
∴OA=OB=4，，
∴
∴
∵
∴OE=12OA=2
∴BE=BO+EO=6
∵，
∴PD=12PB
∴
∴CP+12BP的最小值为CF的长度
∵是等边三角形，，
∴CF=BE=6
∴CP+12BP的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
14．（2024·河北·中考真题）如图，鈻矨BC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．

（1）鈻矨C1D1的面积为 ；
（2）的面积为 ．
【答案】 1 7
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出C1、D1、B1三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，
∵的面积为2，AD为BC边上的中线，
∴，
∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，
∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=15CC4，
∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，
∴AD=AD1=D1D2=D2D3=14DD3，
∵点A是线段BB1的中点，
∴AB=AB1=12BB1，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为1，
故答案为：1；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴C1、D1、B1三点共线，
∴，
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4，
∴，
∵AD1=D1D2=D2D3，，
∴，
在和中，
∵AC3AC=3=AD3AD，，
∴，
∴，
∴，
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4，
∴，
∴，
∴的面积为7，
故答案为：7．

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，鈻矨BC是正三角形，点A在第一象限，点B0,0、C1,0．将线段CA　绕点C按顺时针方向旋转120掳至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120掳至BP2；将线段AP2绕点A按顺时针方向旋转120掳至AP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120掳至CP4；……以此类推，则点P99的坐标是 ．

【答案】−49,503
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点P99在射线CA的延长线上，点P100在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到CP99=100，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点P1，P4在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵99梅3=33
∴点P99在射线CA的延长线上，
∴点P100在x轴的正半轴上，
∵C1,0，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，AC=CP1=1，
∴BP1=OC+CP1=2，
∴P12,0，
∴BP2=BP1=2，
∴AP3=AP2=OP2+AO=3，
∴CP4=CP3=CA+AP3=3+1=4，
∴BP4=BC+CP4=5，
∴P45,0，
∴同理可得，P78,0，P1011,0，
∴P100101,0，
∴BP100=101，
∴CP100=101−1=100，
∴由旋转的性质可得，CP99=100，
∴如图所示，过点P99作轴于点E，

∵，
∴，
∴EC=12P99C=50，
∴EO=EC−OC=49，P99E=P99C2−EC2=503，
∴点P99的坐标是−49,503．
故答案为：−49,503．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在鈻矨BC中，将AB绕点A顺时针旋转伪至AB'，将AC绕点A逆时针旋转尾至，得到鈻矨B'C'，使，我们称鈻矨B'C'是鈻矨BC的“旋补三角形”，鈻矨B'C'的中线AD叫做鈻矨BC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．

①鈻矨BC与鈻矨B'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
【答案】①②③
【分析】延长B'A，并截取AE=AB，连接C'E，证明，得出BC=C'E，，根据AB=AB'，AB=AE，得出AE=AB'，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出AD=12C'E，根据BC=C'E，得出BC=2AD，判断②正确；根据AB=AC时，AB=AB'=AC'=AC，
得出，，，鈭燗BC=鈭燗CB，根据四边形内角和得出
，求出，判断③正确；根据②可知，AD=12BC=3，根据勾股定理得出B'D=AB'2−AD2=42−32=7，求出B'C'=2B'D=27，判断④错误．
【详解】解：延长B'A，并截取AE=AB，连接C'E，如图所示：

∵，
∴伪+尾=360掳−180掳=180掳，
∵伪+鈭燘AE=180掳，
∴鈭燘AE=尾，
∴，
∴，
根据旋转可知，AC=AC'，AB=AB'，
∵AB=AE，
∴，
∴BC=C'E，，
∵AB=AB'，AB=AE，
∴AE=AB'，
∴，
∴，
即与面积相同，故①正确；
∵AE=AB'，B'D=C'D，
∴AD是的中位线，
∴AD=12C'E，
∵BC=C'E，
∴BC=2AD，故②正确；
当AB=AC时，AB=AB'=AC'=AC，
∴，，，鈭燗BC=鈭燗CB，
∵，
∴，
即，故③正确；

∵BC=6，
∴根据②可知，AD=12BC=3，
∵当AB=AC时，AB=AB'=AC'=AC=4，AD为中线，
∴，
∴，
∴B'D=AB'2−AD2=