中考数学——涉及二次函数的图形变化类问题与二次函数有关的创新类问题(2种命题预测+77种题型汇总+专题训练+3种解题方法)(含答案).docx

第三章 函数
重难点05 涉及二次函数的图形变化类问题，
与二次函数有关的创新类问题
（2种命题预测+7种题型汇总+专题训练+3种解题方法）
【题型汇总】

类型一 涉及二次函数的图形变化类问题
题型01 平移变换
平移方式（n＞0)
一般式
顶点式
平移口诀
向左平移n个单位

，顶点坐标(h-n，k)
左加
向右平移n个单位

，顶点坐标(h+n，k)
右减
向上平移n个单位

，顶点坐标(h，k+n)
上加
向下平移n个单位

，顶点坐标(h，k-n)
下减
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=−1，图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，且与y轴交于点C．

(1)填空：a=____；b=____；n=_____．
(2)将该二次函数图象向右平移m个单位，使抛物线顶点M落在直线BC上，试求m的值．
(3)在（2）的条件下，设Pt,0是x轴上的一动点，若△MBP外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求t的取值范围．
2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D1,−1，与x轴交于点A，点B．

(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0,B两点，交y轴于点C0,3．

(1)请求出抛物线Q1的表达式．
(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型02 旋转变换
5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．

(1)分别求抛物线y1和y2的表达式；
(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；
(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图， 已知抛物线C1经过原点，且与直线l交于A−2,0和B1,3两点．

(1)求抛物线C1的解析式和tan∠BAO的值．
(2)若D是抛物线C1上的一个动点（在点 A 和点 B之间），作 DE⊥l于点 E， DF∥y轴交l于点 F，在点D运动的过程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面积最大？若存在，请求出此时点D的坐标及△DEF面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线C1绕顶点旋转 180°后，再平移使其顶点在直线l上，且经过点 A，得到抛物线C2，试问在抛物线C2上是否存在点P，使△ABP是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,−2，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点．

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
(2)求证：点A，M，A1在同一条直线上；
(3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
题型03 翻折变换
二次函数的翻转问题的解题思路：
①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；
②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；
③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；
④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值.
9．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25．求点F的坐标．
10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2−2x−3的顶点为P．直线l过点M0,mm≥−3，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．

(1)当m=1时，求点D的坐标；
(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．　　   　　  
11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B6,0和点D4,−3与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；
(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形C'G'QP是平行四边形，直接写出P的坐标．
12．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．

(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=−x2+4x+5交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标．
(2)作直线x=t0<t<5，分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D，E，F三点，连接CF．若△BDE与△CEF相似，求t的值．
(3)如图2，过点C作CG∥x轴，交抛物线C1于点G，将抛物线C1在点G右下方的图象沿直线CG向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y=x+n与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值．
题型04 对称变换
变换方式
变换后
口诀
关于x轴对称

x不变，y变-y
关于y轴对称

y不变，x变-x
关于原点对称

x变-x，y变-y
关于对称

x变2x1-x，y变2y1-y
14．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L:y=ax2+bx+6与x轴相交于A(−3,0)和B(−2,0)两点，与y轴相交于点C，连接AC．
(1)求抛物线L的函数表达式．
(2)若抛物线L'与抛物线L关于原点O对称，F是抛物线L'位于第四象限的点，过点F作FE⊥y轴于点E，连接FO．若△AOC与△EOF相似，求点F的坐标．
15．（2024·江西吉安·三模）已知抛物线L:y=x2−4mxm≠0，直线x=m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=m的对称图形，得到的整个图形L'称为抛物线L关于直线x=m的“L双抛图形”；
（1）感知特例
如图所示、当m=1时，抛物线L:y=x2−4mx上的点B，C，A，D，E分别关于直线x=m对称的点为B'，C'，A'，D'，E'如下表：
…
B1,−3
C2,−4
A3,−3
D4,0
E5,5
…
…

…
①补全表格；
②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为L'；

③若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为 ；
④若双抛图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为 ；
探究问题
（2）①若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为 ；（用含m的式子表达）
②若双拋图形L'的函数值随着x的增大而增大，直接写出x的取值范围；（用含m的式子表达）．
16．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=−x2+bx+c经过点A−3,−1，与y轴交于点B0,2．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线y=−1上一点的对称图象F'，抛物线F与F'只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A−1,0，B5,3两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线L的表达式；
(2)抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线L'于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
类型二 与二次函数有关的创新类问题
题型01 与二次函数有关的新定义问题
【命题预测】新定义问题是数学考试中必考的题型,无论在哪个阶段,都会出现此类问题,但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义,“旧酒”就是学过的知识,然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力.
18．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y2满足2x1+x2=y1+y2时，称点Qx2,y2是点Px1,y1的“倍增点”，已知点P11,0，有下列结论：
①点Q13,8，Q2−2,−2都是点P1的“倍增点”；
②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2,4；
③抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是455．
其中，正确结论的个数是（　　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,b2−4ac>0的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=x2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（    ）
A．当x=1时，函数的最大值是4
B．函数值y随x的增大而增大，则x≥3
C．关于x的方程x2+bx+c=3的所有实数根的和为4
D．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=1
20．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1是函数y=x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y=−x+3；②y=2x；③y=−x2+2x−1．
（2）若一次函数y=mx−3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
21．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2+qa≠0的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y=−12x−22+m和y=−12x−n2+12的图象都是抛物线y=12x2的伴随抛物线，则m=______，n=______．
【思考与探究】
（2）设函数y=x2−2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0 x1<x2，请直接写出x1的取值范围．

22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为−1，−2．下列说法不正确的序号为 ．
①函数y=2x+4是“倍值函数”；
②函数y=8x的图象上的“倍值点”是2，4和−2，−4；
③若关于x的函数y=m−1x2+mx+14m的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m<43；
④若关于x的函数y=x2+m−k+2x+n4−k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当−1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为−3−52．
23．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系xOy中，点Pa,b，点Qc,d，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点−4,6是点2,3的“−2级变换点”．
(1)函数y=−4x的图象上是否存在点1,2的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(2)点At,12t−2与其“k级变换点” B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点m2,y1，m2,y2．若k≤−2，求证：y1−y2≥2；
(3)关于x的二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=−x+5上，求n的取值范围．
24．（2022·湖南湘西·中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+1．已知抛物线C1:y=4ax2+ax+4a−3a≠0的“关联抛物线”为C2．
(1)写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a−4≤x≤a−2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
26．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
27．（2020·四川遂宁·中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
28．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M22,2，M33,3中，是矩形ABCD “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，求△ABC的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A（1−n，0），B（1+n，0） n>0，以AB长度为边在x轴上方作等边三角形ABC，当函数与△ABC在第一象限内有交点，称为“特别函数”．

(1)如图1，当n=1时，一次函数y=kx+k是“特别函数”，求k的取值范围；
(2)如图2，函数y=−x2+2x+14是“特别函数”，求n的取值范围；
(3)如图3，在2的条件下，函数y=−x2+2x+14与CB交于点D，S△CDA=14S△ABC，求n的值；
(4)当m−1≤x≤m+2时，函数y=−x2+2x+14最大值与最小值的差为|7m|，求m的值．
30．（2024·湖南株洲·二模）定义：若直线y=−1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y=−x2与直线y=−1相交于P、Q两点．

(1)填空：抛物线L1的“反碟长”PQ=___________．
(2)抛物线L1随其顶点沿直线y=12x向上平移，得到抛物线L2．
①当抛物线L1的顶点平移到点6,3时，求抛物线L2的解析式以及抛物线L2的“反碟长”．
②当抛物线L2的顶点A和抛物线L2与直线y=−1的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点A的坐标．
31．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数y=x−1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数y=x−1是“零点函数”，1是该函数的“零点”．
(1)请完成以下两个小题：
①下列函数中，是“零点函数”的为（    ）
A．y=2x+3         B．y=2x          C． y=x2+2x+2
②请写出下列函数的“零点”：一次函数y=2x+2的“零点”是 ，二次函数y=x2−2x+1的“零点”是 ；
(2)已知二次函y=ax2+2bx+3c是“零点函数”（a，b，c是常数，a≠0）．
①若a=1,b+cb−c=16，函数的“零点”是x1,x2，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；
②若一次函数y=2x−2c与二次函数y=ax2+2b+1x+c相交于点Ax3,y3和Bx4,y4，“零点函数”y=ax2+2bx+3c满足下列条件：①a−b+c=0，②3a−2b−c3a−2b+5c>0，试确定线段AB长度的取值范围．
题型02 与二次函数有关的材料阅读问题
【命题预测】阅读理解型问题以能力立意为目标，综合考核数学素养与数学应用能力。阅读理解型问题，可以是阅读某个(新) 概念、(新) 知识或某种(新) 方法，理解概念、知识的本质或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解决问题；也可以是设计一个新的数学背景，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法与思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作答。这类题目往往可以考察出学生的阅读能力、分析推理能力、数据( 信息) 处理能力、表达能力、知识迁移能力，综合性强，灵活度高。因此，近些年来，阅读理解型问题频频出现在全国各地的中考试题中。
32．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1    方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图像与x轴的两个交点横坐标为−2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解集．
方法2    不等式x2−x−6<0可变形为x2<x+6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是−2、3；y=x2的图像在y=x+6的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3    当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．问题转化为研究函数y=x−1与y=6x的图像关系…
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
33．（2022·湖南永州·中考真题）已知关于x的函数y=ax2+bx+c．
(1)若a=1，函数的图象经过点1,−4和点2,1，求该函数的表达式和最小值；
(2)若a=1，b=−2，c=m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设a>0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2−4ac>0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a<0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：a>0Δ=b2−4ac>0c>0−b2a<0
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
34．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析：
（1）a>0时，抛物线开口向上．
①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．
……

任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
35．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考
下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
探索特殊系数一元二次方程的解
通过学习我们知道：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根是由它的系数决定的．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的解．
第一类，当a+b+c=0时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下：
∵a+b+c=0，∴b=−a−c．
∴ax2+bx+c=ax2+(−a−c)x+c
=ax2−ax−cx+c
=ax(x−1)−c(x−1)
=(x−1)(ax−c)．
∴方程ax2+bx+c=0可变形为(x−1)(ax−c)=0．
∴x−1=0或ax−c=0．∴x1=1，x2=ca．
∴当a+b+c=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1=1，x2=ca．
我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的．
第二类，当a−b+c=0时，同理可以求出这类方程的实数根．……
任务：
(1)阅读内容中，将方程ax2+bx+c=0变形为(x−1)(ax−c)=0，然后求出方程的解，这种解方程的方法是（    ）
A．配方法    B．公式法    C．因式分解法
(2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点−1,0；
(3)请直接写出当a−b+c=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；
(4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程．
36．（2022·湖南株洲·中考真题）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．已知二次函数y=ax2+bx+ca>0．

(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点1,1，求c的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点Ax1,0、Bx2,0，其中x1<0<x2、x1>x2，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；
②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．
37．（23-24九年级下·江西吉安·期中）阅读下列材料并完成问题．
抛物线y=ax2（a>0）的图象如图（1）所示，我们把点A0,14a称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点P到焦点的距离PA称为焦半径，把直线y=−14a称为该抛物线的准线，抛物线上任意一点P到准线y=−14a的距离PB称为准距．

[知识感悟]
（1）抛物线y=18x2的焦点A的坐标是______，若抛物线上点P的坐标为4,2，则焦半径PA=______，准距PB=______．
[问题探究]
（2）对于抛物线y=ax2（a>0）上点P，试猜想焦半径PA与准距PB的数量关系，并说明理由．
[知识应用]
（3）如图（2），已知抛物线y=12x2的焦点为A，点P为抛物线上一点，连接PA，过点P作直线y=−12的垂线，垂足为B，直线y=−12与y轴交于点M，当∠APB=60°时，求点P的坐标．

题型03 与二次函数压轴题有关的新考法类问题
38．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间距离：dA,B=x1−x2+y1−y2．（其中O均为坐标原点）
【数学理解】

(1)①已知点A−2,1，则d0,A=______，②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，d0,B=3，则点B的坐标是__________；
(2)函数y=4xx>0的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C，使d0,C=3．
(3)函数y=x2−5x+7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d0,D的最小值及对应的点D的坐标．
39．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．

(1)（Ⅰ）列表：

①
②
③
④
⑤
⑥
x
0
2
3
4
5
6
y
0
1
2.25
4
6.25
9
（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax−ℎ2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y=ax−ℎ2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．
①此时点B'的坐标为________；
②将点B'坐标代入y=ax2中，解得a=________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为ℎ,k
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入y=ax−ℎ2+k中解得a=________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+ℎ2+k和C2:y2=ax+ℎ2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．
40．（2024·辽宁·中考真题）已知y1是自变量x的函数，当y2=xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m,n)，称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．例如：函数y1=2x，当y2=xy1=x⋅2x=2x2时，则函数y2=2x2是函数y1=2x的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数y1=2x的图象上任意一点A(m,2m)，点Bm,2m2为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1=2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上．

(1)求函数y1=12x的“升幂函数”y2的函数表达式；
(2)如图1，点A在函数y1=3x(x>0)的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB=2时，求点A的坐标；
(3)点A在函数y