中考数学——与圆有关的计算(练习)(含答案).docx

第六章 圆
第29讲 与圆有关的计算

1

👉题型01 利用弧长公式求弧长
👉题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
👉题型03 求某点的弧形运动路径长度
👉题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
👉题型05 求图形旋转后扫过的面积
👉题型06 求弓形面积
👉题型07 求其它不规则图形面积
👉题型08 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
👉题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角
👉题型10 圆锥的实际问题
👉题型11 圆锥侧面上最短路径问题

👉题型01 利用弧长公式求弧长
1．（2023·山东东营·二模）如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为 cm．（结果保留π）

2．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB=2，将正方形ABCD以点A为旋转中心逆时针旋转得到正方形AB'C'D'（旋转角小于90°），B'C'与CD相交于点E．若点B'恰好落在边AB的垂直平分线上，则图中CC'的长度为 ．

3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）以AB为直径的⊙O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交⊙O于D点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E点，交AB的延长线于F点，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，则CD的弧长为 ．
（2）若DF=23，则tan∠ADE= ．  
👉题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
4．（2023·江苏镇江·二模）扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为 ．
6．（2023·河南·模拟预测）已知扇形的面积是43π，圆心角120°，则这个扇形的半径是 ．
👉题型03 求某点的弧形运动路径长度
7．（2023·辽宁大连·一模）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，AA'与OB'交于点C，若∠AOB=15°，OA=3，则AC的长为 ．

8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为 π=3．

9．（2023·北京东城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0,A5,0，B4,−3．

(1)作出△OAB关于原点O成中心对称的图形△OA1B1（点A与点A1对应），并写出点B1的坐标；
(2)将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA2B2，点B旋转后的对应点为B2，画出旋转后的图形△OA2B2，并写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B经过的路径BB2的长．
👉题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
10．（2023·浙江温州·一模）若扇形的圆心角为150°，半径为4，则该扇形的面积为 ．
11．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为 ．

12．（2023·浙江丽水·模拟预测）小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，O为圆心．

（1）若∠O=60°，A为OB的中点，则AB长为 m；
（2）若使得模型的面积最大，则AB的值为 m.
👉题型05 求图形旋转后扫过的面积
13．（2023·山东聊城·二模）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，已知AC=10,BC=6，则线段AB扫过的图形面积为（    ）

A．10π B．163π C．313π D．323π
14．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，点A，B，C对应的刻度分别为3，5，7，将线段绕点C顺时针旋转，得到CA'，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，线段CA扫过的图形的面积为 （结果保留π）．

15．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2:1且位于点C两侧，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
(3)在（2）的条件下，求出线段CB所扫过的面积．
👉题型06 求弓形面积
16．（2023·河南周口·二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1，其中点A、B、C均在格点上，则ABC和弦AC构成的弓形的面积为 ．

17．（2023·河南周口·三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

18．（2023·江西新余·一模）如图，有一个半径为6cm的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 cm2(结果保留π)．

19．（2023·广东佛山·一模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．

(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接BE交AD于F点，并证明：AF×DF=BF×EF；
(2)若⊙O的半径等于4，且⊙O与AC相切于A点，求劣弧AD的长度和阴影部分的面积（结果保留π）．
👉题型07 求其它不规则图形面积
20．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=3，F是AB上一点，AF=1，以点A为圆心AD为半径画弧，交AB于点E，以F为圆心，DF为半径画弧，交CD于点M，AB于点N，则阴影部分的面积为（    ）

A．332+π12 B．332−π12 C．32+7π12 D．3−π12
21．（2023·河南新乡·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．

22．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径AB=8，O为圆心，点P是半圆上的一点，将AP沿直线AP折叠后的弧经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．

👉题型08 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）用圆心角为90°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ）
A．12 B．34 C．32 D．3
24．（2024·江苏南京·模拟预测）圆锥的母线长为2 cm．底面圆的半径长为1 cm，则该圆锥的侧面积为 ．
25．（2024·江苏南京·模拟预测）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，那么该圆锥的高是 ．
26．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2:1，则母线长为 ．
👉题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角
27．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ）
A．150° B．120° C．180° D．100°
28．（2024·湖南常德·模拟预测）若一个圆锥的底面圆的半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ）
A．40° B．80° C．120° D．150°
29．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知一个圆锥的高与母线之比为4:5，则其侧面展开图的圆心角度数为 ．
👉题型10 圆锥的实际问题
30．（2020·四川眉山·二模）如图，小非同学要用纸板制作一个高为3cm，底面周长为8πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 ．

31．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ADAB= ．

👉题型11 圆锥侧面上最短路径问题
32．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．

33．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC的边长为6m，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m．

34．（2024·浙江·模拟预测）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高2.5米，用这堆沙在5米宽的路上铺3厘米厚的路面，能铺多长？
35．（2024·广东阳江·一模）综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，AB=6cm，l=6cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．

1．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，点C是AO2B上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP．

(1)求证：∠ACB=2∠P
(2)若∠P=30°，AB=23．
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．

1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA=3，AB=CD，∠DBC=25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（    ）

A．54π B．58π C．52π D．512π
2．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）cm2．

A．253π B．75π C．125π D．150π
3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ）
A．6π B．12π C．15π D．24π
4．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ）

A．43π−3 B．43π C．23π−3 D．43π−34
5．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（    ）

A．3118π B．118π C．26π D．263π
6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（    ）

A．π6 B．π3 C．π2 D．π
7．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（    ）

A．8π3 B．4π C．16π3 D．16π
8．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m=SnS，则m与n关系的图象大致是（    ）
A．B．C．D．
9．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AO的中点．过点C作CE⊥AO交AB于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点D．在扇形内随机选取一点P，则点P落在阴影部分的概率是（    ）

A．14 B．13 C．12 D．23
10．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（   ）
A．700π平方厘米 B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米
11．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA=1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．

12．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60°，则BE的长l= （结果保留π）．

13.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的DF的长为 ．

14．（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n= ．

15．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2（结果用含π的式子表示）．

16．（2024·辽宁·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在BC上，AC=BD，E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD．

(1)如图1，求证：CE是⊙O的切线；
(2)如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求BD的长．
17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
18．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．

(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1，画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
19．（2024·青海·中考真题）如图，直线AB经过点C，且OA=OB，CA=CB．

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分的面积．
20．（2024·广东·中考真题）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．

【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．

【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）

第六章 圆
第29讲 与圆有关的计算

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👉题型01 利用弧长公式求弧长
👉题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
👉题型03 求某点的弧形运动路径长度
👉题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
👉题型05 求图形旋转后扫过的面积
👉题型06 求弓形面积
👉题型07 求其它不规则图形面积
👉题型08 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
👉题型09 求圆锥侧面展开图的圆心角
👉题型10 圆锥的实际问题
👉题型11 圆锥侧面上最短路径问题

👉题型01 利用弧长公式求弧长
1．（2023·山东东营·二模）如图，用一个半径为12cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了150°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升的高度为 cm．（结果保留π）

【答案】10π
【分析】本题考查求弧长，根据题意，得到重物上升的高度为半径为12cm，圆心角为150°的弧长，根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意：重物上升的高度为半径为12cm，圆心角为150°的弧长，
150π180×12=10π（cm）；
故答案为：10π．
2．（2023·河南信阳·模拟预测）如图，正方形ABCD的边AB=2，将正方形ABCD以点A为旋转中心逆时针旋转得到正方形AB'C'D'（旋转角小于90°），B'C'与CD相交于点E．若点B'恰好落在边AB的垂直平分线上，则图中CC'的长度为 ．

【答案】223π
【分析】连接BB'，AC'，AC，根据旋转的性质可得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，再利用线段垂直平分线的性质可得AB'=BB'，从而可得△ABB'是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠BAB'=60°，从而可得∠BAB'=∠CAC'=60°，最后根据正方形的性质可得AB=BC=2，∠ABC=90°，从而可得AC的长，再利用弧长公式进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，连接BB'，AC'，AC，

由旋转得：AC=AC'，AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'，
∵点B'恰好落在边AB的垂直平分线上，
∴AB'=BB'，
∴AB=AB'=BB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴∠BAB'=60°，
∴∠BAB'=∠CAC'=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴AC=2AB=22，
∴CC'⏜的长度是nπR180=60×22π180=223π，
故答案为：223π．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）以AB为直径的⊙O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交⊙O于D点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E点，交AB的延长线于F点，若AB=4

（1）若∠ADE=3∠F，则CD的弧长为 ．
（2）若DF=23，则tan∠ADE= ．
【答案】 4π5 3
【分析】（1）连接OC，OD，设∠F=x，则∠ADE=3x，根据垂直定义可得∠E=90°，从而可得∠EAF=90°−x，然后利用角平分线的定义可得∠DAE=12∠EAF=45°−12x，从而可得∠ADE=45°+12x，最后列出关于x的方程进行计算，可求出∠DAE=36°，从而利用圆周角定理可得∠COD=72°，再利用弧长公式进行计算，即可解答；
（2）先根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得AE∥OD，从而可得∠ODF=∠E=90°，然后在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义可得tanF=33，从而可得∠F=30°，进而可得∠EAF=60°，再利用角平分线的定义可得∠EAD=30°，从而可得∠ADE=60°，即可解答．
【详解】解：（1）连接OC，OD，

设∠F=x，
∵∠ADE=3∠F，
∴∠ADE=3x，
∴DE⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠EAF=90°−∠F=90°−x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=12∠EAF=12(90°−x)=45°−12x，
∴∠ADE=90°−∠DAE=45°+12x，
∴45+12x=3x，
解得：x=18°，
∴∠DAE=45°−12x=36°，
∴∠COD=2∠DAE=72°，
∵AB=4，
∴OD=12AB=2，
∴CD的弧长=72°×π×2180°=4π5，
故答案为：4π5；
（2）∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠ODF=∠E=90°，
在Rt△ODF中，OD=2，DF=23，
∴tanF=ODDF=223=33，
∴∠F=30°，
∴∠EAF=90°−∠F=60°，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=12∠EAF=30°，
∴∠ADE=90°−∠EAD=60°，
∴tan∠ADE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，圆周角定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
👉题型02 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
4．（2023·江苏镇江·二模）扇形的弧长为6π，半径是12，该扇形的圆心角为 度．
【答案】90
【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设此扇形的圆心角为x°，
由题意得，12πx180=6π，
解得，x=90，
故答案为：90．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=nπr180是解题的关键．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】根据弧长和扇形面积关系可得S=12lR，求出R，再根据扇形面积公式求解.
【详解】∵一个扇形的弧长是10π3，面积是10π，
∴S=12lR，即10π=12×10π3R，解得：R=6，
∴S=10π=nπ×62360，解得：n=100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键.
6．（2023·河南·模拟预测）已知扇形的面积是43π，圆心角120°，则这个扇形的半径是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是r，再根据扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设该扇形的半径是r，则
43π=120⋅π⋅r2360，
解得r=2．
故答案为：2．
👉题型03 求某点的弧形运动路径长度
7．（2023·辽宁大连·一模）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，AA'与OB'交于点C，若∠AOB=15°，OA=3，则AC的长为 ．

【答案】π2/12π
【分析】本题主要考查旋转的性质，弧长公式．根据旋转的性质得∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，∠AOC=∠AOA'−∠B'OA'=30°，根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A'OB'，∠AOB=15°，
∴ ∠A'OB'=∠AOB=15°，∠AOA'=45°，
∴ ∠AOC=∠AOA'−∠B'OA'=30°，
∴ AC的长为30π×3180=π2．
故答案为：π2．
8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正三角形正中心的点A经过的路径长度为 π=3．

【答案】44
【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．找出点A轨迹是解题的关键．利用弧长公式，可以解决问题．
【详解】解：如图，

∵A1和A2都是正三角形的中心，
∴∠A1OC=∠A2OD=12×60°=30°，
∴∠A1OA2=120°，四个角上的弧所对圆心角为∠A3OA2=210°，OA1=OA2=23×3=2，
第1次滚动，点A运动轨迹是以圆心O、圆心角150°，AO为半径的弧A1A2，
第2次滚动，是以圆心O'、圆心角为210°，O'A2半径的弧A2A3接下来运动类似，
如图中虚线，
∴A点运动的路径长度=4120π×2180+210π⋅2180=443π≈44．
故答案为：44．
9．（2023·北京东城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0,A5,0，B4,−3．

(1)作出△OAB关于原点O成中心对称的图形△OA1B1（点A与点A1对应），并写出点B1的坐标；
(2)将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA2B2，点B旋转后的对应点为B2，画出旋转后的图形△OA2B2，并写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B经过的路径BB2的长．
【答案】(1)图见解析；点B1的坐标为4,3；
(2)图见解析；点B2的坐标为−3,−4；
(3)点B经过的路径长BB2为52π
【分析】本题考查了旋转与坐标，弧长的计算公式，解决本题的关键是找到旋转后的对应点，理解旋转时，点的运动轨迹为弧形．
（1）根据中心对称的性质找到A、B的对应点A1、B1，连接O、A1、B1即可，观察图象直接得到B1的坐标；
（2）根据旋转的性质找到A、B的对应点A2、B2，连接O、A2、B2即可，观察图象直接得到B2的坐标；
（2）点B经过的路径为弧BB2，求得弧BB2的半径计算弧长即可．
【详解】（1）解：△OAB关于原点O成中心对称的图形△OA1B1如图所示；

点B1的坐标为4,3；
（2）解：旋转后的图形△OA2B2如图所示；
点B2的坐标为−3,−4；
（3）解：由题可得OB=32+42=5，
∴ lBB2=90π×5180=52π，
∴点B经过的路径长BB2为52π．
👉题型04 利用扇形面积公式计算扇形面积
10．（2023·浙江温州·一模）若扇形的圆心角为150°，半径为4，则该扇形的面积为 ．
【答案】203π
【分析】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】由题意得，n=150°,r=4，
故可得扇形的面积S=nπr2360°=150°×π×42360°=203π．
故答案为：203π．
11．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为 ．

【答案】23π
【分析】本题考查扇形的面积，解直角三角形，矩形的性质等知识，解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解．解题的关键是求出∠CBE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC=3，
∴CE=BE2−BC2=1，则sin∠CBE=ECBE=12，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°−30°=60°，
∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=23π，
故答案为：23π．
12．（2023·浙江丽水·模拟预测）小明用长为4m铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，O为圆心．

（1）若∠O=60°，A为OB的中点，则AB长为 m；
（2）若使得模型的面积最大，则AB的值为 m.
【答案】 1π+2 14/0.25
【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键．
（1）由1=2r+60×πr180+60×π×2r180，即可求解；
（2）每个扇环的圆心角为θ，面积为S，由S=π360⋅θ⋅R2−r2，即可求解．
【详解】解：（1）设每个扇环的周长为L，则L=1，设OA=AB=rm，
则1=2r+60×πr180+60×π×2r180，
解得：r=1π+2，
故答案为：1π+2；
（2）每个扇环的圆心角为θ，面积为S，设每个扇环的周长为L，则L=1，设OB=CO=R，OD=r，
根据题意得：L=θπR180+θπr180+2R−r，
则θ=180L−2R−rπR+r，
∴S=π360⋅θ⋅R2−r2
=π360⋅180L−2R−rπ（R−r）⋅R2−r2
=12L−2R−r×R−r
=−[R−r−L4]2+L216
−1<0，所以抛物线开口向下，
∵式中0<R−r<12L，
∴R−r=14时，S取值最大，即AB=14L=14m，
故答案为：14．
👉题型05 求图形旋转后扫过的面积
13．（2023·山东聊城·二模）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，已知AC=10,BC=6，则线段AB扫过的图形面积为（    ）

A．10π B．163π C．313π D．323π
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C，可见，阴影部分面积为扇形ACA'减扇形BCB'，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：
S扇形ACA'=60πAC2360=60⋅π⋅102360=503π；
S扇形BCB'=60πBC2360=60⋅π⋅62360=6π；
则S阴影=503π−6π=32π3．
故选：D．
14．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，点A，B，C对应的刻度分别为3，5，7，将线段绕点C顺时针旋转，得到CA'，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，线段CA扫过的图形的面积为 （结果保留π）．

【答案】83π
【分析】本题考查了扇形的面积公式以及解直角三角形，由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，且半径为4，求出∠BA'C=30°，∠BCA'=60°，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：解：由图可知：AC=A'C=4，BC=2，
∴sin∠BA'C=BCA'C=24=12，
∴∠BA'C=30°， ∠BCA'=60°，
线段CA扫过的图形为扇形，此扇形的半径为CA=4，
∴S扇形ACA'=60°360°π×42=83π，
故答案为：83π．
15．（2023·宁夏吴忠·模拟预测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2:1且位于点C两侧，并写出点A1的坐标；
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
(3)在（2）的条件下，求出线段CB所扫过的面积．
【答案】(1)作图见解析，A1的坐标为3,−3
(2)作图见解析
(3)174π
【分析】（1）延长AC到A1，使A1C=2AC，延长BC到B1，使B1C=2BC，则可得到△A1B1C，然后写出点A1的坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，然后连接A2C、B2C、A2B2，可得△A2B2C；
（3）先利用勾股定理计算出CB，然后根据扇形面积公式计算线段BC所经过的面积．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C即为所作，点A1的坐标为3,−3；

（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB=12+42=17，
∴线段CB所扫过的面积：90π×172360=174π．
【点睛】本题考查作图—位似变换，旋转变换，坐标与图形，勾股定理，扇形的面积等知识点．解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
👉题型06 求弓形面积
16．（2023·河南周口·二模）如图，已知每个小正方形的边长均为1，其中点A、B、C均在格点上，则ABC和弦AC构成的弓形的面积为 ．

【答案】25π−504
【分析】分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形，易证明△AEO≌△OFC，易知AE=OF=3，EO=FC=4，则OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，则易证明∠AOC=90°．易求得扇形ACO的面积为90×π×52360=25π4，即可得出弓形的面积．
本题考查不规则图形面积，准确构造图形是解题的关键．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线MN、PQ，MN与PQ交于点O，则点O即为圆心．连接OA、OB、OC，构造如图所示的三角形

如图可得：△AEO≌△OFC，
∴ AE=OF=3，EO=FC=4，
∴ OA=OC=OB=5，且∠AOE=∠OCF，∠EAO=∠FOC，
∴ ∠AOC=90°．
∴扇形ACO的面积为90×π×52360=25π4，
则弓形的面积为25π4−12×5×5=25π−504
故答案为：25π−504．
17．（2023·河南周口·三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】4π3−3
【分析】连接DE，BE，然后根据已知条件求出∠ABE=60°，AE=23，从而得到∠ADE=120°，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，BE．

∵AB为直径，
∴∠BEA=90°．
∵BC=BA，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ABE=60°，BE=12AB=2，AE=3BE=32AB=23，
∵BD=DE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠ADE=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形DAE−S△ADE
=120π×22360−12S△ABE
=120π×22360−12×12×23×2=4π3−3
=4π3−3．
故答案为：4π3−3．
【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题