中考数学——正方形的性质与判定(练习)(含答案).docx

第五章 四边形
第26讲 正方形的性质与判定

1

👉题型01 利用正方形的性质求角度
👉题型02 利用正方形的性质求线段长
👉题型03 利用正方形的性质求周长
👉题型04 利用正方形的性质求面积
👉题型05 根据正方形的性质求点的坐标
👉题型06 利用正方形的性质证明
👉题型07 正方形的折叠问题
👉题型08 求正方形重叠部分面积
👉题型09 添加一个条件使四边形是正方形
👉题型10 证明四边形是正方形
👉题型11 根据正方形的性质与判定求角度
👉题型12 根据正方形的性质与判定求线段长
👉题型13 根据正方形的性质与判定求面积
👉题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
👉题型15 与正方形有关的规律探究问题
👉题型16 与正方形有关的新定义问题
👉题型17 与正方形有关的动点问题
👉题型18 与正方形有关的最值问题
👉题型19 正方形与函数综合
👉题型20 与正方形有关的存在性问题
👉题型21 与正方形有关的材料阅读类问题

👉题型01 利用正方形的性质求角度
1．（2024·广东·模拟预测）正方形ABCO与Rt△DEO的位置如图所示，已知∠AOD+∠COE=α，则∠DOC的度数为（    ）

A．90°−α B．90°+α C．90°−α2 D．90°+α2
2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，以CO的长为半径作弧，交CD于点E，连接OE，则∠DOE= 度．

3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知E是正方形ABCD内一点，设∠EBC=α，∠BAE=γ，∠EDC=β,∠DAE=θ，若AE=AB，则（　　）

A．αβ=γθ B．aβ=θγ C．α+θ=β+γ D．2α+γ=θ+β
👉题型02 利用正方形的性质求线段长
4．（2024·广东·模拟预测）如图所示， 已知正方形ABCD的边长为2， 以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 连接DE， 则tan∠BDE= ．

5．（2024·陕西商洛·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE=2CE，则ED的长度为 ．

6．（2024·陕西咸阳·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=15，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=8，则BG的长为

👉题型03 利用正方形的性质求周长
7．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，已知正方形ABCD边长为4，点E为边AB上一点，AE=1，点P为对角线BD上一点，当△APE周长最短时，则PA的长 ．

8．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需知道（    ）

A．AC的长 B．BC的长 C．BF的长 D．FG的长
9．（2024·浙江宁波·一模）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，则△DGB'的周长等于（   ）

A．2AB B．AB+2BF C．2AB+BF D．22BF
👉题型04 利用正方形的性质求面积
10．（2024·广东·模拟预测）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH， 连接AC，分别交EF,GH于点M,N． 已 知AH=3DH，  正方形 ABCD 的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为

11．（2024·湖北·模拟预测）如图有一直角边为3和4的直角三角形，现欲在该三角形中裁出一个面积最大的正方形，小鄂给出了两种裁法则（    ）
A．裁法一所得的正方形面积最大
B．裁法二所得的正方形面积最大
C．裁法一与裁法二所得的正方形面积均不是最大值
D．裁法一与裁法二所得的正方形面积相等且面积均为最大值
12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形OABC与抛物线y=−14x2相交于点Bm,−1，则正方形OABC面积为（    ）

A．1 B．32 C．52 D．3
👉题型05 根据正方形的性质求点的坐标
13．（2024·贵州黔东南·一模）如图，正方形OABC的边长为2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，BC与x轴交于点E．若点E恰好是BC的中点，则点B的坐标为（    ）

A．655,−255 B．455,−255 C．455,−55 D．655,−55
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y=−3xx<0和y=6xx>0的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为 ．

15．（2024·河南郑州·三模）如图，平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为原点，点B2,2，对角线的交点为M，CD平分∠OCA，交OB于点D，交OA于点E，则点D的坐标为（    ）

A．12,12 B．22,22
C．2−1,2−1 D．2−2,2−2
👉题型06 利用正方形的性质证明
16．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF=4a，则AB=（  ）

A．5−1a B．25−2a C．5+1a D．25+2a
17．（2024·四川乐山·一模）如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°，BD是Rt△ ABC的一条角平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．

(1)求证：OA平分∠BAC；
(2)若AC=5，BC=12，求OE的长．
18．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，以AD为直角边向外作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°．下面是两位同学的对话：

(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；
(2)连接CE，若DE=22，求CE的长．
👉题型07 正方形的折叠问题
19．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．

(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，当AB=AD时，设矩形ABCD的周长为m，△CHP的周长为n，探究n与m的数量关系，并说明理由．
20．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
操作过程及内容如下（如图①）
操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；
操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1.
【解决问题】
（1）在图①中，若EF与MN交于点Q，连接CQ求证：四边形EQCM是菱形．
（2）请在图①中证明AP：PB=2：1.
【发现感悟】若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：
（3）如图②，若AD=3AE时，则APAB=______；若AD=nAE时，则APAB=_____（用含n的式子表示）

👉题型08 求正方形重叠部分面积
21．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为  （     ）

A．2 B．4 C．8 D．22
22．（2024·河北石家庄·二模）如图，正方形ABCD和CEFG边长分别是a和b(a>b)，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，如果在这个图形基础上再画一个正方形，使得新正方形（阴影部分）的面积等于正方形ABCD和CEFG面积之和，下列四个正方形(阴影部分)的面积符合要求的是 （填写序号即可）．

23．（2024·广东·三模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F在AD边上，G，H分别是AB，CD的中点，GF和EH交于点M，若EF=12AD，则图中阴影部分的面积为 ．

👉题型09 添加一个条件使四边形是正方形
24．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC=BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 ．

25．（2024·陕西榆林·三模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，下列条件中，能够判定菱形ABCD为正方形的是（   ）
A．AC⊥BD B．∠OAB=∠OBA
C．AB=BC D．AB=AC
26．（2024·广东佛山·一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，若添加一个条件后，可使得四边形ABCD是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母）

👉题型10 证明四边形是正方形
27．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BP平分∠ABC交AC于点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，求证：四边形BMPN为正方形．

28．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，请用尺规作图法在AD边上求作一点E，AB边上求作一点M，BC边上求作一点N，连接EM，EN，使得四边形BMEN为正方形．（保留作图痕迹，不写作法）

29．（2024·上海杨浦·三模）已知：如图，在⊙O中，OC平分劣弧AB，OC与AB交于点E，点D在OC延长线上，OA⊥AD，连接AC．

(1)求证：AC平分∠EAD；
(2)连结OB、BD，延长BC交AD于点F，如果AC2=AF⋅AD，求证：四边形OADB是正方形．
👉题型11 根据正方形的性质与判定求角度
30．（2024·福建·三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD是BC由绕点B顺时针旋转2α0°<α≤90°得到，连接CD，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接AD，BE．

(1)求证：AD=BE；
(2)若△ACD是等腰三角形，直接写出α的度数；
(3)当A，D，E三点共线时，求tanα的值．
31．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．

(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠DEF=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
👉题型12 根据正方形的性质与判定求线段长
32．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知四边形ABCD中，AD⊥AB，DC=25，AD=AB=2，∠EBF=∠C，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连接BF交DE于点G．

(1)求证：BC是⊙A的切线；
(2)求BG的长．
33．（2024·河南商丘·模拟预测）张老师在讲“图形的对称”时，进行了如下教学设计．

【观察发现】
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点O与坐标原点重合，点A在x轴的正半轴上，点B,C均在第一象限，OC=2，分别作点C关于x轴，y轴的对称点C1,C2，连接C1C2，则OC2可看作是由OC1绕点O顺时针旋转______°得到的；C1C2=______．
【迁移探究】
（2）在△AOB中，OA=29,∠AOB=45∘,AB边上的高OC=5，求AB的长．
①小明利用（1）中的方法解决此问题，过程如下：
根据要求作出△AOB，如图2所示，再分别作OC关于OA,OB的对称线段OC,OC，连接C1A,C2B并延长交于点D，请补全图形并求出AB的长．
②小明发现根据要求还可以作出钝角三角形AOB，如图3所示，请直接写出此时AB的长．
【拓展应用】
（3）在△AOB中，OA=10,∠AOB=60∘,AB边上的高OC=3，请直接写出AB的长．
👉题型13 根据正方形的性质与判定求面积
34．（2024·吉林白城·一模）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．

(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)当∠A=45°，AC=4时，则四边形ABFC的面积为 ．
35．（2023·四川成都·一模）如图，在四边形ABCD中，且∠BAD=90°，对角线AC和BD相交于点O，且BO=DO，过点B作BE∥AD，交AC于点E，连结DE．

(1)求证：△AOD≌△EOB；
(2)试探究四边形ABED的形状，并说明理由；
(3)若BC=DC，BC=5，CE=1，求四边形ABED的面积．
👉题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
36．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°，②∠BAF=∠EDB，③AM=23MF，④ME+MF=2MB．其中正确结论的有（   ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
37．（2024·安徽·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD.下列结论：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
38．（2024·北京平谷·一模）如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为S1和S2，

给出下面三个结论：①S1=S2；②DF=2AF；③S正方形ABCD=94S1+2S2．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
👉题型15 与正方形有关的规律探究问题
39．（2024·山东枣庄·一模）如图，正方形ABCB1中，AB=3，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2023A2024= ．

40．（2024·山东聊城·三模）如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1C1，弧A1C1与OB1相交于点B2，设A1C1，A1B1，B1C1围成阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，弧A2C2与OB1相交于点B3，设A2C2，A2B2与B2C2围成阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设A2024C2024，A2024B2024，B2024C2024围成阴影部分面积为S2024，则S2024= ．

41．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线y=x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2024个正方形的边长是 ．

👉题型16 与正方形有关的新定义问题
42．（2024·河南驻马店·模拟预测）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形AOCB的两条边分别在坐标轴上，点M为边OC上中点，连接AM，点P是线段AM上一动点（点P不与A，M重合），过点P的直线与边BC交于点E（点E不与C重合），若四边形ABEP是等腰直角四边形，则点BE的长为 ．

43．（2024·江苏扬州·二模）定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，那么四边形ABCD就是筝形．

(1)在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）；
(2)如图①，连接AC，BD，请判断并证明对角线AC与BD的位置关系；
(3)如图②，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形ABCD中找一点P，连接PB、PD，使折线BPD将筝形ABCD的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）．
44．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点Mx,y在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当n=2时，某函数的图象C1经过点0,1和2,2，则该函数是正方形OABC的“LS函数”．

(1)当n=1时，若一次函数y=kx+t是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
(2)如图2，当n=3时，函数y=mxx>0的图象经过点D1,3，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
(4)在（3）的条件下，点Pa−1,y1,Qa+3,y2是二次函数y=ax2+bx+4图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为10a2，求a的值．
👉题型17 与正方形有关的动点问题
45．（2024·广东广州·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，若延长FH交边BC于点M，则DH的取值范围是 ．

46．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ，且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒t>0．

(1)线段BC的长为________；
(2)线段CP的长为________（用含t的代数式表示）；
(3)当正方形PMNQ的顶点M落在△ABC的边上时，求t的值；
(4)当正方形PMNQ的边MN的中点落在线段AC上时，求t的值和正方形的面积．
47．（2024·吉林松原·二模）如图，在▱ABCD中，AB=7，AD=5，DE⊥AB于点E，且DE=4．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线AD−DC于点Q，以PQ为边向其左侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与▱ABCD重叠部分图形的面积为y，动点P的运动时间为xs．

(1)当点N与点A重合时，求x的值；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当正方形PQMN的对称中心与△ADE的某条边的中点重合时，直接写出x的值．
👉题型18 与正方形有关的最值问题
48．（2024·湖南邵阳·二模）如图所示，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点D作DF∥AE交BC的延长线于点F，过点C作CG⊥DF于点G，延长AE,GC交于点H，点P是线段DG上的一动点，连接CP，将△CPG沿CP翻折得到△CPG'，连接AG'．若CH=2,DH=8，则AG'长度的最小值是（    ）

A．42 B．10−32 C．4 D．8−22
49．（2024·吉林长春·模拟预测）如图①，在正方形ABCD中，AB=4，点O是边BC的中点，点E是正方形内部一动点，且OE=2，连结DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结AE、CF．

(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)如图②，若A、E、O三点共线，则线段CF的长为______；
(3)在点E运动过程中，线段BF的最小值为______．
50．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的动点，BE=CF，连接AE、BF交于点P，则PD+55PC的最小值为 ．

👉题型19 正方形与函数综合
51．（2024·山东日照·一模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A和点C在反比例函数y=kxk>0,x>0图象上，若直线BC的函数表达式为y=12x−2，则k的值为 ．

52．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点Aa,0,B0,b，且a、b满足a+1+a+b+32=0， ▱ABCD的边AD与y轴交于点E， 且E为AD的中点，双曲线y=kx经过C、D两点．

(1)a= ，b= ；
(2)求反比例函数解析式；
(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图2），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当点T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
53．（2024·甘肃陇南·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A−4,0，B0,8．其对称轴为直线x=−1，与x轴的另一交点为C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N，以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
👉题型20 与正方形有关的存在性问题
54．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，在正方形ABCD中，AB=4，P是边AD上的一点，连接CP，过点D作DH⊥PC于点H，在边DC上有一点E，连接HE，过点H作HF⊥HE，交边BC于点F．

(1)求证：DH⋅FH=EH⋅CH；
(2)如图2，连接EF，交线段PC于点G，当△FGC为等边三角形时，求DE的长；
(3)如图3，设M是DC的中点，连接BM，分别交线段HF，EF于点K，N，当P是AD的中点时，在边DC上是否存在点E，使得BK=KN？若存在，求此时DE的长；若不存在，请说明理由．
👉题型21 与正方形有关的材料阅读类问题
55．（2024·辽宁丹东·二模）阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形ABCD中，⊙O与AD，CD分别相切．问题：过点B做⊙О圆的切线BE，切点为E，交DC于点F，若∠CBF=30°，且DF=1+3，则⊙O的半径为 ．

56．（2024·山西晋中·三模）阅读与思考
下面是小刚同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
梯形的中位线
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB<CD，E是AB的中点，F是CD的中点，连接EF，则EF叫作梯形ABCD的中位线，并满足EF=AD+BC2，EF∥AD∥BC．
证明：如图2，连接AF并延长，交BC的延长线于点G．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠G（依据1）．
∵F是CD的中点，
∴DF=CF．
∵∠DAF=∠G，∠AFD=∠GFC，DF=CF，
∴△ADF≌△GCF（依据2），
……
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．
（2）将上述方法的证明过程补充完整．
（3）如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，以AB，CD分别为边构造正方形ABFE、CDHG，连接EH，取线段EH的中点为K，连接AK，DK则△ADK的面积为___________．

57．（2024·山西阳泉·二模）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
射影定理：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，财有如下结论：①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．
下面是该定理的证明过程（部分）：
∵AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°=∠ADC．
∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD（依据），
∴BDAD=ADCD，
即AD2=BD⋅DC．
任务一：（1）材料中的依据是指________；
（2）选择②或③其中一个定理加以证明________；
任务二：应用：（1）如图2，正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，证明：BO⋅BD=BF⋅BE；
（2）在图2中，若DE=2CE，OF的长为655，则正方形ABCD的边长为________．

1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB=AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF=2，则DG= ．

2．（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；
操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．
根据以上操作，得∠EBF=________°．

【探究证明】
（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；
（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．
【深入研究】
若AGAC=1k，请求出GHHC的值（用含k的代数式表示）．

3．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=−12x2+bx与y=12x2−bx的图像均过点A4,0和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：
①b=2；②PB=PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+13．其中，所有正确结论的个数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ）
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R=2r．（    ）
(2)如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径．

(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH．
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA=2，OB=6，OC=3，求内切圆⊙O的半径r及OD的长．
5．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°角，观察图形的变化，完成探究活动．

【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．
问题1　　BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2　　如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
【尝试应用】
问题3　　如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．

1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（    ）

A．22 B．2+2 C．4−22 D．2
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（　　）

A．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．mn=1
3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（    ）

A．2 B．3 C．52 D．83
4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（    ）

A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm
5．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（   ）

A．23 B．12 C．13 D．56
6．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（    ）

A．1 B．2 C．5 D．10
7．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG=3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（   ）

A．14 B．13 C．25 D．12
8．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE:PF=1:2时，则PC=（    ）

A．3 B．2 C．5 D．52
9．（2023·四川·中考真题）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为(　　)

A．25π16 B．25π8 C．25π6 D．25π4
10．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为5:1，则sin∠DGE等于（    ）

A．1010 B．55 C．31010 D．255
73．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为 ．

74．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．

（1）若EF=3cm，AE+FC=11cm，则BE的长是 cm．
（2）若DGGH=54，则tan∠DAH的值是 ．
11．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

12．（2021·黑龙江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形ABCD是正方形．

13．（2023·宁夏·中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的9×6网格，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上．下列结论：

①点D与点F关于点E中心对称；
②连接FB，FC，FE，则FC平分∠BFE；
③连接AG，则点B，F到线段AG的距离相等．
其中正确结论的序号是 ．
14．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．

(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
15．（2024·广东广州·中考真题）如图，点