2025年河南专升本高等数学真题和详细答案.doc

河南省一般高等學校选拔专科优秀毕业生進入本科學校學习考试一、选择題 （每題1 分，共30 分，每題选项中只有一种是對的的，請将對的答案的序号填在括号内）. 1函数 的定义域為（ ）A0，3） B（0，3） C（0，3 D. 0，32已知 ，则等于（ ）A B C D. 3设，则當時，是的（ ） A高阶無穷小 B低阶無穷小C等价無穷小 D同阶但不等价無穷小4對于函数，下列結论中對的的是（ ）A是第一类间断點，是第二类间断點；B是第二类间断點，是第一类间断點；C是第一类间断點，是第一类间断點；D是第二类间断點，是第二类间断點. 5设 ，则的值為（ ） A B2 C0 D4 6设，则等于（ ） A B C D7已知椭圆的参数方程為，则椭圆在對应點处切线的斜率為（ ） A B C D8函数在點处可导是它在处持续的（ ） A 充足必要条件 B必要条件 C 充足条件 D以上都不對9曲线的拐點為（ ） A B C D10 下列函数中，在上满足罗尔定理条件的是（ ） A B C D11设是的一种原函数，则等于（ ）A BC D 12下列式子中對的的是（ ）A BC D 13设，则它們的大小关系是（ ） A B C D 14定积分等于（ ）A B C D 15下列广义积分中收敛的是（ ）A B C D16等于（ ）A B. C D 17设，则等于（ ）A BC D18函数的驻點是（ ） A B C D19平面与的位置关系是（ ）A平行 B 垂直 C重叠 D 斜交20设，则在极坐標系下，可表达為（ ） A. B. C. D. 21设级数收敛，则等于（ ） A1 B0 C D不确定22下列级数中收敛的是（ ）A B C D23设正项级数收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A B C D24下列级数中，条件收敛的是（ ）A B C D25设幂级数（為常数，）在點处收敛，则该级数处（ ）A 发散 B条件收敛 C绝對收敛 D敛散性無法鉴定 26某二阶常微分方程的下列解中為通解的是（ ）A B C D 27下列常微分方程中為线性方程的是（ ）A B C D 28微分方程的通解是（ ）A B C D 29微分方程的通解是（ ）A B C D 30對于微分方程运用待定系数法求特解時，下列特解设法對的的是（ ）A B C D二、填空題 （每題 2分，共 20分） 1_ 2设，则_3曲线在點的法线方程為_4_ 5由曲线所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_ 6设 ，则_7互换积分的积分次序，则_ 8.幂级数的收敛半径為_ 9幂级数的和函数為_ 10 方程的通解為_ 三、计算題 （每題4 分，共36 分） 1求极限 2求函数的导数. 3已知 且可微分，求.4计算.5计算 6计算，其中為所围的右半圆. 7计算积分，其中是曲线上從點到點之间的一段有向弧.8求過點且平行于平面与的直线方程 9将函数展開為麦克劳林级数，并写出收敛区间 四、应用題 （每題5分，共 10 分） 1某工廠生产某产品需两种原料、，且产品的产量与所需原料数及原料数的关系式為.已知原料数的單价為1萬元/吨，原料数的單价為2萬元/吨.既有100萬元，怎样购置原料，才能使该产品的产量最大？2已知位于第一象限的凸曲线通過原點和點且對于该曲线上的任一點，曲线弧与直线所围成的平面图形的面积為 求曲线弧的方程 五、证明題 （4 分） 证明方程在区间内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】 规定；规定，即取两者之交集，得应选A. 2，【答案】C. 【解析】由于，故，应选C. 3，【答案】D. 【解析】由于，因此由定义知是的同阶但不等价無穷小.选D.4，【答案】B 【解析】 由于，故第二类间断點，且為無穷型间断點；又由于，故是第一类间断點，且為可去型间断點.因此选B5，【答案】D. 【解析】选 D. 6，【答案】A. 【解析】由于，因此，故选A. 7，【答案】C. 【解析】 ， ，因此故椭圆在對应點处切线斜率為，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A. 【解析】 ；.令，得；無二阶不可导點.又當時，而當時，故為拐點，选A. 10，【答案】C 【解析】 （1）在处不可导，故在内不可导，排除A；（2）在端點及处的值不相等，排除B；（3）在处無定义，故在上不持续，排除D.选C. 11，【答案】B【解析】 选B12，【答案】D. 13，【答案】C. 【解析】由于當時，而，且不恒等于，故，选C. 14，【答案】D. 【解析】 选D. 15，【答案】A. 【解析】 ，故收敛，选 A. 16，【答案】B. 【解析】，选 B.17，【答案】C. 【解析】；.故因此，. 选C18，【答案】D. . 【解析】 由方程组 得 故驻點為.选D. 19，【答案】B. 【解析】 平面 的法向量為；平面法向量為.由于，因此，平面与垂直，选B . 20，【答案】C. 21，【答案】A 【解析】由于收敛，故由级数收敛的必要条件知 因此，选A. 22，【答案】B. 【解析】（1）為的级数，故发散，排除A；（2）為公比的等比级数故收敛，选B；（3）记，由于，故由达朗贝尔比值审敛法知发散，排除C；（4）由于為的级数，故收敛；又為公比的等比级数，故发散.因此由级数的性质知发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取，则收敛，但发散，排除A；（2）取，则收敛，但发散，排除，选B；（3）记，则收敛，但发散，排除C；（4）由于收敛，故；因此由，且收敛知，也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1），由于且收敛，故绝對收敛，排除A；（2）收敛，故绝對收敛，排除B；（3）收敛，故绝對收敛，排除D；（4）记，则显然單減，且，因此由莱布尼兹审敛法知收敛；但发散，故条件收敛.25，【答案】C. 【解析】由題意，在點处收敛，故由Abel收敛定理知，在的點处均绝對收敛，又由于，因此在點处绝對收敛.选C. 26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】； ； 29，【答案】A . 【解析】微分方程的齐次方程的特性方程為因此，特性根為：故通解為，选A.30，【答案】A【解析】微分方程的齐次方程的特性方程為因此，特性根為：這裏右端项，由于非特性根，故可设故选A.填空1，【答案】填.【解析】. 2，【答案】填.【解析】； .因此，.3，【答案】填.【解析】 ；故切线斜率為.因此法线方程為 ，即 .4，【答案填【解析】 5，【答案】填.【解析】 .6，【答案】填.【解析】.7，【答案】填.【解析】积分区域是由直线及轴所围成的三角形区域，互换积分次序後.8，【答案】填1.【解析】记，由于，因此收敛半径為9，【答案】填.【解析】由展式知 10，【答案】填【解析】式可化為 两边积分，得 ，即也就是 因此原方程的通解為计算題1，【解析】（洛必达）-2分 -3分 -4分2，【解析】 -1 分 上式两端有关求导，得 -2分即 -3分因此 -4分3，【解析】由微分形式的不变性知-2分 即 - -4分 因此；.-5分 4，【解析】-1分（分部）-2分 -3分 -4分5，【解析】令，则-1分原式化為-2分 -3分4分注意：倒数第二步用到 6，【解析】 -1 分 （极坐標）-3分.-4分 7，【解析】 的参数方程為-2分 故 -4分8，【解析】的法向量是；的法向量是.-1分 可取所求直线的方向向量為 -3分故所求直线方程為 -4分9，【解析】-1分其中 -2分 -3分因此 .-4分应用題1，【解析】本題即為求函数在条件下的条件极值問題.宜用拉格朗曰乘数法解之.為此令.由 解之，由于驻點唯一，实际中确有最大值.因此，當吨，吨時可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程為.据題意，曲线弧与直线所围成的平面图形的面积為 式两边有关求导，得 ，即 ，亦即因此 為一阶线性微分方程，其通解為 又将代入，得.因此，所求曲线弧方程為.证明題【解析】 构造函数 -1 分 则在闭区间 上持续，在開区间内可导. 因，而-2分故由闭间上持续函数的根值定理知，至少存在一點，使得 即方程在内至少有一种实根-3分又，故方程在内至多有一种实根. -4分因此，方程在内有且仅有一种实根.注意：证明中用到當時，且，故.