中考数学——二次函数的图像与性质(含3种解题技巧))(含答案).docx

第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质
（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））

2
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
考点二 二次函数的图像与性质
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
考点四 二次函数与方程、不等式
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
►题型01 根据二次函数解析式判断其性质
►题型02 根据二次函数的图像与性质求解
►题型03 求二次函数解析式
►题型04 画二次函数的图像
►题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
►题型06 二次函数的平移变换问题
►题型07 二次函数的对称变换问题
►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
►题型09 二次函数的最值问题
►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
►题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
►题型01 二次函数的图像与各项系数符号
►题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
►题型03 函数图像综合
命题点三 二次函数与方程、不等式
►题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
►题型02 二次函数与坐标系交点问题
►题型03 二次函数与方程、不等式
►题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
二次函数的图像对称性与增减性
★★
能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系；
会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数图像的有关判断
★★
二次函数的图像变换
★★
二次函数的图像与系数
★★★
二次函数解析式的确定
★★★
二次函数与方程结合
★
知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
二次函数与不等式结合
★
【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系.
【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解.
【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考. 出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
前提条件
相互联系
一般式

当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.
1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.
2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.
顶点式

当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.
交点式

当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.

1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（   ）
A．y=2x2 B．y=x+32−x2
C．y=x2+2x−1 D．y=xx−1
2．（2023·北京·模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ）

A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数y=m+2x2−mx+m2−2m−8经过原点，则m的值为（    ）
A．−2 B．4 C．−2或4 D．无法确定
4．（2023·四川南充·一模）点Pa,9在函数y=4x2−3的图象上，则代数式2a+32a−3的值等于 ．
考点二 二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
图像特征
二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式

图像
a>0

a<0

对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
x=−b2a
顶点坐标
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
(−b2a，4ac−b24a)
最值
a>0
开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−b24a）.
增
减
性
a>0
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
易错
抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0)
一般式y=ax2+bx+c
顶点式y＝a(x–h) 2＋k
平移口诀
向左平移n个单位
y=a(x+n)2+b(x+n)+c
y=a(x-h+n) 2+k
左加
向右平移n个单位
y=a(x-n)2+b(x-n)+c
y=a(x-h-n)2+k
右减
向上平移n个单位
y=ax2+bx+c+n
y=a(x-h)2+k+n
上加
向下平移n个单位
y=ax2+bx+c-n
y=a(x-h)2+k-n
下减
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
2）二次函数图象的对称变换
变换方式
变换后
口诀
关于x轴对称

x不变，y变-y
关于y轴对称

y不变，x变-x
关于原点对称

x变-x，y变-y

1．（2024·广东·中考真题）若点0,y1,1,y2,2,y3都在二次函数y=x2的图象上，则（    ）
A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ）
A．y=x+12−3 B．y=x+12−2 C．y=x−12−3 D．y=x−12−2
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−1≤x≤t−1，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ）
A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD= ．

6．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x与相交于点A，B，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 ．

考点三 二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数的图像与a，b，c的关系
字母
字母的符号
图像特征
备注
a
a>0
开口向上
a的正负决定开口方向，
a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a<0
开口向下

b
b=0
对称轴是y轴，即−b2a=0

左同右异中间0
a，b同号
对称轴在y轴左侧，即−b2a＜0
a，b异号
对称轴在y轴右侧，即−b2a＞0

c
c=0
图像过原点

c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交

与x轴有两个交点

的正负决定抛物线与x轴交点个数

与x轴有唯一交点

与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=−b2a的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.

1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax−ba≠0和y=−cxc≠0的图象大致如图所示，则函数y=ax2+bx+ca≠0的图象大致为（    ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．abc<0 B．a−b=0
C．3a−c=0 D．am2+bm≤a−b(m为任意实数)
3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A1,0，与y轴的交点B在0,−2，0,−3之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ）
①abc>0；②9a−3b+c≥0；③23<a<1；④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,nm<n，则−3<m<1<n．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·四川·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a<0）过−1,0和m,0两点，且3<m<4，下列四个结论：①abc>0；②3a+c>0；③若抛物线过点1,4，则−1<a<−23；④关于x的方程ax+1x−m=3有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x1=−3，x2=2；④k=12a．其中正确的是 ．（只填写序号）
考点四 二次函数与方程、不等式
1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数

一元二次方程

与x轴交点个数
图像
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0

抛物线
与x轴交于，
两点

一元二次方程
有两个不相等的实数根

2个交点

△＝0

抛物线与x轴交于这一点
一元二次方程
有两个相等的实数根

1个交点

△＜0

抛物线
与x轴无交点
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）

0个交点

二、二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：

图像

有两个交点

有1个交点

无交点
判别式
△＞0
△＝0
△＜0
△＞0
△＝0
△＜0

或

的全体实数
全体实数

无解
无解

或

无实根
或

无实根

无解
无解
或

的全体实数
全体实数

1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数y=ax2+bx−5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程ax2+bx−5=0的一个根在（　　）范围之间．
A．1～1.1 B．1.1～1.2 C．1.2～1.3 D．1.3～1.4
2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于1,0，3,0，则下列判断错误的是（    ）
A．抛物线的对称轴是直线x=2
B．当x>2时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是1和3
D．当y<0时，x<1
3．（2024·山西大同·模拟预测）已知m>n>0，若关于x的方程 x²−2x−n=0的解为x1,x2x1<x2，关于x的方程 x2−2x−m=0的解为x3,x4x3<x4，则下列结论正确的是（   ）
A．x1<x2<x3<x4 B．x4<x3<x1<x2
C．x3<x1<x2<x4 D．x3<x4<x1<x2
4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线y=x2−6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
►题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数y=−(x+1)2+2图象的顶点所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数y=(x−2)2−3的说法正确的是(    )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线y=23x−12+c经过−2，y1，0，y2，52，y3三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（    ）
A．y1>y2>y3 B．y2>y3>y1 C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2
4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ）
A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值154
5．（2023·湖南·中考真题）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点0,3在抛物线上；③若x1>x2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2其中，正确结论的个数为（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
►题型02 根据二次函数的图像与性质求解
1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x
…
−4
−2
0
3
5
…
y
…
−24
−8
0
−3
−15
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C0,−2与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且−1<x1<0，2<x2<3，则下列结论：
①a−b+c<0；
②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；
③a+b>0；
④a>23；
⑤b2−4ac>4a2．其中正确的结论有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数y=x2−2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当a=−1时，这个函数的图像在函数y=−x图像的上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线y=x2−2mx+m2+m−4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=−4；
③若点Am−2,y1，Bm+1,y2在抛物线上，则y1<y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于22．
5．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线y=−x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=−x2+2x的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点Ax1,y1在抛物线y=−x2+2x上，点Bx1+t,y1+ℎ在抛物线y=−x2+bx上．
（ⅰ）若ℎ=3t，且x1≥0，t>0，求h的值；
（ⅱ）若x1=t−1，求h的最大值．
►题型03 求二次函数解析式

1）已知抛物线上任意三点坐标，可设
2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设
3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设
4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=x1+x22）
【注意事项】
1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化.
1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是−3，顶点坐标为−1,4，则下列说法正确的是（    ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x=1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x<−1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象过点A0,m，B1,−m，C2,n，D3,−m，其中m，n为常数，则mn的值为 ．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c0≤x≤3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．

4．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
x
…
−2
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
−2
−3
−3
−2
0
…
有如下结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线x=12；③抛物线与y轴的交点坐标为−3,0；④由抛物线可知ax2+bx+c<0的解集是−2<x<3．其中正确的是 ．
5．（2024·四川成都·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴相交于点Ax1,0,Bx2,0，且x1+x2=1,x1x2=−2，若二次函数经过点C(−2,4)，则二次函数表达式为 ．
►题型04 画二次函数的图像
1．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1    方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图像与x轴的两个交点横坐标为−2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解集．
方法2    不等式x2−x−6<0可变形为x2<x+6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是−2、3；y=x2的图像在y=x+6的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．
方法3    当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．问题转化为研究函数y=x−1与y=6x的图像关系…
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
2．（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+5与y轴的交点为A，且y与x的部分对应值如表：
x
……
−1
0
1
2
5
……
y
……
0
m
8
9
0
……

(1)抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，并画出函数y=ax2+bx+5的图象；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接AP，取AP的中点P'．猜想点P'构成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函数的大致图象．
3．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线y=−x2−2x+3上的一个动点．

(1)在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y=−x2−2x+3的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ；
②方程x−1x=−2的根是 （结果保留一位小数）；
③当x<m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当−2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围 ．

x
⋯
−3
−2
−1
0
1
⋯
y
⋯
0
3
4
3
0
⋯
►题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
1．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点1，1、2，4；②当x<0时，y随x的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
3．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数y=x2+3x+n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
4．（2024·上海松江·二模）平移抛物线y=x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式）
►题型06 二次函数的平移变换问题
1．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数y=x2−2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P2,y1，Q3,y2在抛物线C上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；
2．（2023·西藏·中考真题）将抛物线y=x−12+5通过平移后，得到抛物线的解析式为y=x2+2x+3，则平移的方向和距离是（    ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−2023x−2024+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ= ．
4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=x+32向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
5．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+ca≠0可以由抛物线y=ax2a≠0平移得到，通常先求出y=ax2+bx+c的顶点坐标，再根据y=ax2的顶点坐标0,0，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．

【初步感知】
（1）将抛物线y=−x2向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得y=−(x−2)2+3的图象；
【深入探究】
（2）将y=−x2的图象平移，使得平移后的图象始终过点0,1，且对任意的自变量x的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将y=−x2的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将y=−12x2的图象平移后得到y=−12x2+bx+1的图象，且使得y=−12x2+bx+1的图象与直线y=−bx+3在x轴上方只有一个交点，直接写出b的取值范围．
►题型07 二次函数的对称变换问题
1．（2023·四川自贡·中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a<0）的图象经过A(n−6,m)，B(4−n,m)，M−3,t2+10，N(d,6t)四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ）
A．−4 B．−2 C．2 D．4
3．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图像相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=12，BC=4，CD=6，则MN的长度是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=(x−a)(x+2a−1)的对称轴是直线x=−2，则a的值为 ．
►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当y≥t时，x≤−m−2或x≥−m+4．若A(−m−3,p)，B(2m,q)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，且p>q，则m的取值范围为（   ）
A．−1<m<53 B．m<−1或m>53
C．−53<m<1 D．m<−53或m>1
2．（2024·浙江·一模）已知点A2,6，B6,4，C3,m均在抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象上，且6≤m≤7，点n,y1和n+1,y2也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ）
A．若y1<y2恒成立，则n<2 B．若y1<y2恒成立，则n>2
C．若y1>y2恒成立，则n>2 D．若y1>y2恒成立，则n<2
3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2a<0，点Ak,y1，B6,y2，Ck+4,y1均在该二次函数的图象上，且2<y2<y1，则k的取值范围为 ．
4．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点M(1,m)，Nt2,n是抛物线y=a(x−t)2(a>0)上的两点（M，N不重合）．
(1)若m=n，求t的值；
(2)若点Px0,p在抛物线上，且对于t+1<x0<t+2，都有n<p<m，求t的取值范围．
5．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点1,m,3,n在抛物线y=ax2+bx+1a≠0上，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)当m=n时，求t的值；
(2)若n<1<m，求a的取值范围及t的取值范围．
►题型09 二次函数的最值问题
1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：a⊗b=a+2ba−b，例如4⊗3=4+2×34−3，则函数y=x+1⊗2的最小值为（    ）
A．−21 B．−9 C．−7 D．−5
2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ）
A．最大值5 B．最大值154 C．最小值5 D．最小值154
3．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（    ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E、F分别为边BC、CD上的动点，连接BD、BF、EF，∠CEF+∠CDB=90°，若BD=10，CD=6，则△BEF面积的最大值为 ．

►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
1．（2024·湖北·模拟预测）已知关于x的二次函数y=ax2−4ax+3a2−6，当x<0时，y随x的增大而减小．且当−1≤x≤4时，y有最大值2．则a的值为（    ）
A．83 B．1 C．−1 D．−83
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（    ）
A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2
3．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当2m−1<x≤2m时，函数的最大值为y=3，则m的取值范围是 ．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A4+a,0，其中a≥0．
(1)当a=0时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少?
(2)当a>0时，在0≤x≤4范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024温州市三模）已知二次函数y=ax2+4ax+3a（a为常数）．
(1)若a>0，当x<m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
(2)若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
1．（2023温州市一模）已知点Am,n、Bm+1,n是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ）
A．m≤32 B．m≥32 C．m≥1 D．m≤1
2．（2023·山东临沂·二模）已知点A(m，n)、B(m+1，n)是二次函数y=x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
3．（2023·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+k+1x+k绕点1,0旋转180°，当x>4时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数a使得关于x的分式方程1−ax−1−1=21−x有正整数解，且使二次函数y=x2+a−2x+1当x>1时，y随x增大而增大，则满足以上所有条件的整数a的和为 ．
►题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
1．（2024汕头市一模）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y<5时，x的取值范围是 ．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数y=2x2−4x+6，顶点坐标是( )，当−2<x<3时，则函数y的取值范围
3．（2023·湖南邵阳·二模）已知如右图，平面直角坐标系中，一条直线y2与抛物线y1相交于A−32，1、B52，−1两点，求当y1>y2时的x的取值范围是 ．
4．（2023·广西梧州·二模）如下图，直线y1=−x+b与抛物线y2=12x2+2x−3相交于A，B两点，点B在y轴上，当y1>y2时，x的取值范围是 ．

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数y=ax2−3a+1x+3（a是常数，且a≠0），
（1）若点1,−2在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当a=−1时，若−3≤x≤2，则函数值y的取值范围是 ．
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
►题型01 二次函数的图像与各项系数符号
1．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程ax2+bx+c=0有两实根x1=−1，x2=3，且abc>0，则下列结论中正确的有（     ）
①2a+b=0；②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为1,4c3；
③a<0；④若mam+b<4a+2b，则0<m<1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点−1,0，对称轴为直线x=2．对于下列结论：①abc<0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为x+1x−5；④当m>−9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根．其中正确的个数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列结论中：
①bc>0  ②am2+bm≤a−b（m为任意实数）  ③3a+c<1
④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤−3．其中正确的结论有（    ）

A．1个