中考数学——直角三角形(含5种解题技巧))(含答案).docx

第四章 三角形
第19讲 直角三角形
（思维导图+4考点+4命题点18种题型（含5种解题技巧））

1
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
考点二 勾股定理
考点三 勾股定理逆定理
考点四 勾股定理的实际应用
04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
►题型01 由直角三角形的性质求解
►题型02 根据已知条件判定直角三角形
命题点二 勾股定理
►题型01 利用勾股定理求解
►题型02 判断勾股数问题
►题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积
►题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
►题型05 勾股定理与网格问题
►题型06 勾股定理与折叠问题
►题型07 勾股定理与无理数
►题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
►题型09 勾股定理的证明方法
►题型10 赵爽弦图
►题型11 利用勾股定理构造图形解决实际问题
命题点三 勾股定理逆定理
►题型01 在网格中判定直角三角形
►题型02 利用勾股定理逆定理求解
命题点四 勾股定理的实际应用
►题型01 用勾股定理解决实际生活问题
►题型02 用勾股定理逆定理解决实际生活问题
►题型03 求最短路径问题

01考情透视·目标导航
中考考点
考查频率
新课标要求
直角三角形
★★★
理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
勾股定理
★★
探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理
★★
【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究
考点一 直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：
性质
直角三角形两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示

几何描述
在△ABC，∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90°
在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)

1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（0<x<90），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ）
A．y=180+x B．y=180−x C．y=90+x D．y=90−x
2．（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（    ）

A．3 B．6 C．3 D．33
3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（    ）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
4．（2023·贵州·中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（    ）

A．4m B．6m C．10m D．12m
5．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= 度．

考点二 勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，
c=a2+b2,a=c2−b2,b=c2−b2.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
勾股定理的验证
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 4SΔ+S正方形EFGH=S正方形ABCD ，所以4×12ab+(b−a)2=c2，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×12ab+c2=2ab+c2
大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
S梯形=12(a+b)⋅(a+b)，S梯形=2SΔADE+SΔABE=2×12ab+12c2，化简得证a2+b2=c2

图一 图二 图三

1．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2−4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 ．

3．（2023·湖南郴州·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB边上的中线CD= ．
4．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

5．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>n．若小正方形面积为5，m+n2=21，则大正方形面积为（    ）

A．12 B．13 C．14 D．15
考点三 勾股定理逆定理
1.勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，①若a2+b2=c2时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
②若a2+b2<c2时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；
③若a2+b2>c2时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形

1．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（    ）
A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，10
2．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ）
A．3,4,5 B．1,1,2 C．7，8，9 D．13,84,85
3．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 度．

4．（2023·吉林白城·模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．

(1)在图①中，画一个边长为2的线段；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是2、22、10．
5．（2024·广东·模拟预测）若a−1+a−b+c−22=0，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ．
考点四 勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1）从实际问题中抽象出几何图形；
2）确定与问题相关的直角三角形；
3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.

1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（    ）

A．8 B．10 C．12 D．13
2．（2021·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．

3．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为2m/s，李明的跑步速度为4m/s，∠ABC=90°，BC足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）

A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
4．（2023·陕西西安·二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 直角三角形的性质与判定
►题型01 由直角三角形的性质求解
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD= °．

2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（    ）

A．8 B．16 C．12 D．24
3．（2023·湖南郴州·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB边上的中线CD= ．
4．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为6,0，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（    ）

A．33,3 B．3,33 C．6,3 D．3,6
5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ）

A．1 B．1−3 C．0 D．3−23
►题型02 根据已知条件判定直角三角形
1．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（    ）

A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形
C．BC=12AE D．BE=CE
2．（2024·福建南平·一模）如图1，点D是△ABC的边AB上一点．AD=AC，∠CAB=α，⊙O是△BCD的外接圆，点E在DBC上（不与点C，点D重合），且∠CED=90°−α．

(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)如图2，若CE是⊙O的直径，且CE=2，折线ADF是由折线ACE绕点A顺时针旋转α得到．
①当α=30°时，求△CDE的面积；
②求证：点C，D，F三点共线．
3．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：y=33x−22+m与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知OA=1．

(1)求m的值；
(2)点D是直线BC下方抛物线L上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，AF⊥BC，垂足为F．证明△DEF是直角三角形．
命题点二 勾股定理
►题型01 利用勾股定理求解
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（    ）

A．1 B．2 C．2 D．3
2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（    ）

A．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（    ）

A．3118π B．118π C．26π D．263π
4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．

5．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（    ）

A．245 B．6 C．485 D．12
►题型02 判断勾股数问题
1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
1．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2−12，c=12m2+12，m是大于1的奇数，则b= （用含m的式子表示）．
2．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12m2−n2，b=mn，c=12m2+n2，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a，b，ca<b<c是一组勾股数，n为正整数．
(1)当b=n+7，c=n+8时，请用含n的代数式表示a2，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数；
(2)当b=2n2+2n，c=b+1时，用含n的代数式表示a2，再完成下列勾股数表．
a
b
c
_____
40
41
11
60
_____

4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：
a
b
c
3=1+2
4=2×1×2
5=2×1×2+1
5=2+3
12=2×2×3
13=2×2×3+1
7=3+4
24=2×3×4
25=2×3×4+1
9=4+5
40=2×4×5
41=2×4×5+1
…
…
…
(1)当a=11时，b=______，c=______．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
►题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积

作正方形
作半圆
作等边三角形
作等腰直角三角形
图示

结论

1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．

2．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB=4,BC=5，则阴影部分的面积是（    ）

A．414π−20 B．412π−20 C．20π D．20
3．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是 ．

4．（2024·广西梧州·二模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）的会徽，会徽的主题图案是由图2中七个直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=1．则组成会徽的七个直角三角形的面积的平方和为 ．

5．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有Rt△ABC的纸片上（其中∠ABC=90°，BC＜AB）进行了如下操作：第一步分别以AB、BC为边向外画正方形ABFG和正方形BCDE；第二步过点A、B分别作AC的垂线和AC的平行线，将纸片ABFG－分成②、③、④、⑤四块，如图1；第三步将图1中的正方形纸片BCDE、△ABC纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若CMPM=67，则PNNQ的值 ．

6．（2020·江西·中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究
（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105∘，∠ABC=90∘，AB=23，DE=2，点P在AE上，∠ABP=30∘，PE=2，求五边形ABCDE的面积．

►题型04 与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题
1．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3=23OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4=23OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则ΔC2019C2020A2022的面积为 ．

2．（2024·四川内江·二模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2024的值为 ．

3．（23-24九年级下·山东聊城·阶段练习）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））…；以此下去，则正方形A2024B2024C2024D2024的面积为 ．

4．（2023·山东青岛·二模）【问题背景】
如图1，△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中点进行第1次剪取，记所得正方形面积为S1，如图2，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2).

【问题探究】
（1）S2= ______ ；
（2）如图3，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3继续操作下去…，则第10次剪取时，S10= ______ ；第n次剪取时，Sn= ______ ．
【拓展延伸】
在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
►题型05 勾股定理与网格问题
正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.
1．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92；
(2)在图②中，△ABC的面积为5
(3)在图③中，△ABC是面积为52的钝角三角形．
2．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

3．（2024·广东·模拟预测）如图，在6×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点均在网格的格点上．

(1)求sinD的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，并直接写出CE的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
►题型06 勾股定理与折叠问题
解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE= ．

2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45，则DE= ．

3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为 ．

4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=3x与y=kxx>0的图象交于点A2,m，点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y=kxx>0上点C处，则B点坐标为 ．

►题型07 勾股定理与无理数
1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC=12AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE=mAB，则m的值为（    ）

A．5−12 B．5−22 C．5−1 D．5−2
2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，BA=BC，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．

3．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较5+1与10的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段OA，且OA=1，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接AB，AC，由AB+BC>AC推出5+1>10，这里小亮用到的数学思想是（   ）

A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
4．（2024南宁三中模拟）利用勾股定理，可以作出长为2、3、5、⋯的线段，如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，则AC的长等于______．在按同样的方法，可以在数轴上画出表示2、3、5、⋯的点．

（1）在数轴上作出表示−2的点M（尺规作图，保留痕迹）．
（2）在数轴上作出表示3的点N（尺规作图，保留痕迹）．
►题型08 利用勾股定理证明线段平方关系
1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

2．（2024·山西朔州·二模）阅读与思考
下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用，
例：如图1，已知P为等边三角形ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°.
求以AP，BP，CP为边的三角形中各个内角的度数.
解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以AP，BP，CP为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为AP，BP，CP的三角形来解决问题．
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC．
∴ BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．
由旋转可知∠QAP=60°，∴ △APQ是等边三角形．【依据】
∴ QP=AP，∠3=∠4=60°．
∴ △QBP就是以AP，BP，CP为边的三角形．
∵ ∠APB=113°，∴ ∠5=∠APB−∠4=53°．
∵ ∠AQB=∠APC=123°.∴ ∠6=∠AQB−∠3=63°．
∴ ∠QBP=180°−∠5−∠6=64°．
∴以AP，BP，CP为边的三角形中，三个内角的度数分别为64°，63°，53°.
构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单．
任务：
(1)上面小论文中的“依据”是________．
(2)如图2，已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC=102°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的度数为________°．

(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求证：BD2=AD2+CD2．

3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．

(1)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段AD、AE、AC间满足的数量关系．
4．（2023·陕西咸阳·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，作∠POQ=90°．分别交AC，BC于点P，Q，连接PQ

(1)【尝试探究】如图1，若AC=BC，求证AP2+BQ2=PQ2；
(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(3)【解决问题】如图3，若AC=6，BC=8，点C，P，O，Q在同一个圆上，求△PCQ面积的最大值．
►题型09 勾股定理的证明方法
1．（2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
已知：如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c．

求证：a2+b2=c2．
方法一
如图，大正方形的边长为a+b，小正方形的边长为c．

证明
方法二
如图，大正方形的边长为c，小正方形的边长为b−a．

证明
2．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务．
从勾股定理的“无字证明”谈起
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方法：过正方形ADEC的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．

意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为S1，图丙中空白部分的面积为S2．
任务：
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整．
解：根据题意，得S1=________=a2+b2+ab
S2=c2+2×12ab=c2+ab．
∵S1=S2，
∴________，即________．
(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若CB=6，CG=8，则IN的长度为________．
(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想    B．公理化思想    C．数形结合思想    D．从特殊到一般的思想
(4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号）
①a+32=a2+9；        ②a+32=a2+6a+9；
③a+32≠a2+9；        ④a−32=a2−6a+9．
(5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式．

►题型10 赵爽弦图

内弦图模型
外弦图模型
条件
在正方形内部，有四个全等的直角三角形.
图示

结论
1）四边形ABMN为正方形
2）
3）
1）四边形CMHG为正方形
2）
3）
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若BE=kAE(k>1)，则用含k的式子表示S1S2的值是 ．

2．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE:EQ=3:2，则OPOE的值是 ．

3．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2= ．

4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形ABF，BCG，CDH，DAE和一个小正方形EFGH组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形MNPQ