中考数学——分式方程及应用(练习)(含答案).docx

第二章 方程与不等式
第06讲 分式方程及应用

1

👉题型01 分式方程的定义 05-23
👉题型02 解分式方程
👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程
👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题
👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题
👉题型06 由分式方程的解求参数
👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数
👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数
👉题型09 分式方程与不等式组综合
👉题型10 列分式方程
👉题型11 利用分式方程解决实际问题
👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用
👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用

👉题型01 分式方程的定义
1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ）
A．x+12=53 B．13x-1+4x3x+1
C．x2x-1+32x+1=1 D．3-x4+2=x-13
2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12-3=0；③2x-1+31-x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
👉题型02 解分式方程
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）分式方程1-1x=xx-1的解为 ．
4．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：2x-2x-1+1=21-x．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：3x-3-4x2-9=0．
6．（2024·河北邯郸·模拟预测）根据下表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ．
      x    结果
代数式
2
m
2x-1
3
b
x-1x+1
a
2

👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程x+13x-6+2x+12-x=3的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：x+1-3(2x+1)=3①
去括号得：x+1-6x+1=3②
移项得：x-6x=3-1-1③
合并同类项得：-5x=1④
系数化为1得：x=-15⑤
∴x=-15是原分式方程的解⑥
8．（2024·山东滨州·模拟预测）（1）先化简，再求值：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2，其中a=-3,b=13．
（2）小丁和小迪分别解方程xx-2-x-32-x=1过程如下：
小丁：
解：去分母，得x-(x-3)=x-2
去括号，得x-x+3=x-2
合并同类项，得3=x-2
解得，x=5
∴原方程的解是x=5
小迪：
解：去分母，得x+(x-3)=1
去括号，得x+x+3=1
合并同类项，得2x-3=1
解得，x=2
经检验x=2是方程的增根，原方程无解．
你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程
9．（2024·宁夏银川·二模）以下是小明解方程x+1x-2=12-x-2的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
解：去分母：x+1=-1-2x-2…………．第一步．
去括号：x+1=-1-2x-4 …………，第二步
移项，合并同类项得：3x=-6…………．第三步
系数化为1，得：x=-2…………．第四步
检验：当x=-2时，x-2=-4≠0，
所以：x=-2是原分式方程的解．
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请你写出此方程的正确求解过程．
10．（2024·山西忻州·三模）（1）|-9|×-132-8÷2+12-1+(-1)0．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程：3x-3=1-3x3-x．
解：去分母，得3=1+3x，……………………………………………………第一步
移项，得3x=1-3，……………………………………………………………第二步
合并同类项，得3x=-2，………………………………………………………第三步
系数化为1，得x=-23．………………………………………………………第四步
检验：当x=-23时，x-3=-113≠0．
所以x=-23是原方程的根．
任务一：以上解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：该方程的正确解是 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题
11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗-2=2x-4-1的解是（    ）
A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．无解
12．（2022·河南平顶山·二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（    ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=-12 D．x=12
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b=a-ba+b，a※b=a+2ba-2b，若x△1=x※2，则x= ．
14．（2023·广东深圳·二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb=1a+b2，例如： 1θ2=11+22，则xθ-2=2x+4-2的解是 ．
15．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x-1-1=44x2-1是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题
16．化学小组欲将100g浓度为98%的酒精溶液稀释为75%的酒精溶液．设需要加水xg，根据题意可列方程为 ．

17．如图，把R1、R2两个电阻并联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，总电阻为R总，则U=IR总，其中，R1，R2，R总满足关系式：1R总=1R1+1R2.当R1=10，R2=30，I=1.6时，求U的值．

18．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为ρ甲，ρ乙的液体混合（ρ甲<ρ乙），研究混合物的密度（物体的密度=物体的质量物体的体积），假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为ρ1，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为ρ2．

(1)请用含ρ甲，ρ乙式子表示ρ1；
(2)比较ρ1，ρ2的大小，并通过运算说明理由：
(3)现有密度为1.2g/cm3的盐水600g，加适量的水（密度为1.0g/cm3）进行稀释，问：需要加水多少g，才能使密度为1.1g/cm3的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
19．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足R=R1+R2；如图②，在并联电路中，总电阻R满足1R=1R1+1R2．

(1)如图③，已知R1=12Ω，R3=4Ω，总电阻为12Ω，求R2的值；
(2)如图④，已知R0为定值电阻，现有两个电阻R1和R2 R1<R2，请问如何摆放R1和R2的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明）
(3)如图⑤，现有三个电阻R1、R2和R3R1<R2<R3，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明）
(4)如图⑥，已知R0为定值电阻，现有四个电阻R1、R2、R3和R4R1<R2<R3<R4，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明）
20．马超同学在学习物理第七章第二节《怎样比较运动的快慢》时，遇到一个这样的问题：甲、乙两地之间为一座山丘，一同学从甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度为v1，下坡速度为v2，上坡和下坡路程相等，则这位同学从甲地到乙地的平均速度为多少？马超经过计算得出平均速度为v=2v1v2v1+v2．聪明的马超对公式进行变形得到1v=121v1+1v2，他马上联想到数学中也有类似变形，例如16=12×3=12-13，115=1213-15，通过查阅资料知道了这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．请你利用上述方法，解决以下问题：
(1)计算：12+16+112+120=______；
(2)解方程：1x-1xx+1=2；
(3)若分式方程12x-1xx+2-1x+2x+4=1m有增根，求m的值．
👉题型06 由分式方程的解求参数
21．（2024·广东·模拟预测）已知x=5是分式方程4x+2=1-k2+x的解，则k的值为（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
22．（2024·四川成都·模拟预测）已知x=1是分式方程x-3x-2-a2-x=-1的解，则实数a的值为 ．
23．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程2x+2+12-x=2x+mx2-4的根满足(2x-m)(x+2m)=0，则m的值是 ．
👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数
24．（2024·贵州黔东南·一模）若关于x的分式方程ax-1+1=-2x-1无解，则a的值为（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．-2
25．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程1-kxx-2=12-x有增根，则k 的值为 ．
26．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程m3-x=1有解，且关于y的方程y2-2y+m=0有实数根，则m的范围是 ．
27．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解，则a的取值范围是 ．
👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数
28．（2024·山东日照·三模）若关于x的分式方程2xx-1-3=m1-x的解为正数，则m的取值范围是（    ）
A．m<-2且m≠-3 B．m>-2且m≠3
C．m>-3且m≠-2 D．m>-3且m≠2
29．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程mx-1-3=x1-x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
30．（2024·四川成都·二模）若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为负数，则m的取值范围是 ．
31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程xx-3=2-m3-x有一个正数解，则m的取值范围 ．
👉题型09 分式方程与不等式组综合
32．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于x的不等式组2x-a≤-1x+12-2x3<1有且只有两个偶数解，且关于y的分式方程ay+4y-2=2-y+62-y有解，则所有满足条件的整数a的和是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．3
33．（2024·重庆渝北·模拟预测）若关于x的不等式组x2+2<14-x25x-m≥-4x+5有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程y+my-2=3-2m2-y的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
34．（2024·四川成都·二模）现从-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数中任意选取一个数作为a的值，则使关于x的分式方程2x-ax+1=3的解是负数，且关于x的不等式组4x+1≥3x+12x-x+12≤a无解的概率为 ．
35．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：13-1-π-20240+3tan30°--2；
（2）关于x的分式方程3x-ax-3+x+13-x=1的解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2y+22y-a3>1的解集为y≥5，求所有满足条件的整数a的值之和．
👉题型10 列分式方程
36．（2024·云南昆明·模拟预测）新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约240km，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了1h，设原来小杰自驾去大理的平均速度是xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（   ）
A．2402.5x-240x=1 B．240x-2401.5x=1
C．2402.5x+240x=1 D．240x+2401.5x=1
37．（2024·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．900x+1×2=900x-3 B．900x+1=900x-3×2
C．900x-1=900x+3×2 D．900x-1×2=900x+3
38．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，G107国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改x千米，则下列方程正确的是（   ）
A．31.41+20%x-31.4x=5 B．31.4x-31.41+20%x=5
C．31.41-20%x-31.4x=5 D．31.4x-31.41-20%x=5
39．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A．801.5x-60x=20 B．80x-601.5x=20
C．60x-801.5x=20 D．601.5x-80x=20
40．（2024·贵州黔南·模拟预测）近年来，国家提倡节能减排，为响应号召，很多家庭都购入新能源汽车，2024年春节，小明一家驾驶新购买的新能源汽车去相距1004km的海滨城市旅游，原计划以akmh的速度行驶，后因要赶上新春烟花会而提前到达，实际行驶速度为原计划速度的1.3倍，结果比原计划提前了3h到达，则可列方程为（    ）
A． 1004a-10041.3a=3 B．1004a+10041.3a=3
C．10041.3a-1004a=3 D．10043a=1004a+1.3
41．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ）

A．2432=9x-10 B．2432=x-109
C．2432=9x+10 D．2432=x+109
👉题型11 利用分式方程解决实际问题
42．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1

壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．
甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2
经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3
由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2
拟订设计方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天；
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
43．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的45后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
44．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设6km，甲工程队铺设60km所用的时间与乙工程队铺设90km所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少km？
45．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．

(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的14，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用
46．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点Am,n1、Bm+1,n2在函数的图象上，那么我们把t=n2-n1称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数y=3x+2，当x=m时，n1=3m+2；当x=m+1时，n2=3m+5，n2-n1=3，则函数y=3x+2“单位铅直高”t=3.
(1)正比例函数y=-2x的“单位铅直高”t=______；
(2)若点Pm,n1，Qm+1,n2在反比例函数y=-20x的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”t=1，求m的值；
(3)已知二次函数y=-5x2x≤0，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值；
(4)求反比例函数y=2x的“单位铅直高”t的最大值．
47．（2022·江苏无锡·二模）如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：
(1)图中字母a的值为 ；
(2)若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积．
48．（2020·河北唐山·三模）石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．

【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果）
👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
49．（2024·云南昭通·二模）2024年前两个月消费市场持续恢复向好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额增长12.3%，其中餐饮收入增长12.5%．现有A、B两家餐饮店，B餐饮店的人均消费金额比A餐饮店多10元，在A餐饮店总消费金额为500元的人数与在B餐饮店总消费金额为600元的人数相同，分别求A、B两家餐饮店的人均消费金额．
50．（2024·广东珠海·一模）2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
51．（23-24八年级下·四川成都·期中）恰逢2024甲辰龙年，家家户户都挂上龙元素的饰品，某校初2025届学生也在“衍纸画龙庆新春，巧手实践迎新年”的实践活动中，创造了许多美丽、独特的“龙年装饰画”，其中有19幅作品获得一等奖．某文创店老板抓住商机花费4000元采购了一批“龙年装饰画”，并全部售完，于是该老板又第二次采购，但第二次采购时每件的进价贵了5元，采购费用为18000元，且采购数量是第一次采购的4倍．

(1)该老板采购第一批、第二批“龙年装饰画”时，每件的进价分别是多少元？
(2)该老板两批“龙年装饰画”按相同的标价售出，但是最后的50件“龙年装饰画”按八折优惠售出，老板在销售过程中额外的成本为1000元，该老板要使两批“龙年装饰画”全部售完后利润不低于6400元，那么每件“龙年装饰画”的标价至少是多少元？
52．（2024·广东佛山·三模）据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．
(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
👉题型14 以数学文化为背景考查分式方程的实际应用
53．（2020·吉林长春·三模）意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中提出了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．请根据题中的叙述，求出第一次分钱的人数．
54．（2024·山西晋中·三模）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则下列方程正确的为（    ）

A．896x+896120-x=3 B．896x+89630-x=120
C．896x+8963-x=120 D．896x+896120-x=30
55．（22-23九年级上·云南昆明·期中）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题．“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（    ）
A．6210x=3 B．6210x-1=3 C．3x-1=6210x D．3x-1=6210x-1
56．（2024·山西吕梁·三模）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程．
《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程．
例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为x人，则可列方程为90x=120x+6．

解：构造如图1所示的图形，BC=x，CE=6，矩形ABCD的面积为90，矩形ABEF的面积为120，则CD=90x，EF=120x+6．显然，CD=EF．
根据图形可知S矩形ABCDS矩形CEFD=BC⋅CDCE⋅CD=BCCE．
所以90120-90=x6．（将分式方程转化成了整式方程）
解得x=18．
        图1
答：第一次分硬币的人数为18人．
任务：

(1)   如图2，AB=x，BC=2，矩形ABDE和矩形ACGH的面积均为60，下列代数式可以表示边DF的是___________．（多选）
A．60x    B．60x+2    C．60x-60x+2    D．120xx+2
(2)如图3，AB=x，BC=2，矩形ACDE的面积为60，矩形ABFH的面积为20，FI=5，则可列方程为___________．
(3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程2x+3=1x-1的解．

1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．点D在线段BC上，∠BAD=45°．若AC=4，CD=1，则△ABC的面积是 ．

2．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
3．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当0≤x<p时，y=80xp；
当p≤x≤150时，y=20x-p150-p+80．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p=100，求甲、乙的报告成绩；
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
4．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36°52'无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为63°26'，AB=10m，点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 CD的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52'≈0.75,tan63°26'≈2.00）

1．（2024·海南·中考真题）分式方程1x-2=1的解是（    ）
A．x=3 B．x=-3 C．x=2 D．x=-2
2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程1x=2x+1的解是（    ）
A．x=1 B．x=-2 C．x=12 D．x=2
3．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（    ）
A．200 B．300 C．400 D．500
4．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2x-1=1-mx-1的解为正数，则m的取值范围（    ）
A．m>-3 B．m>-3且m≠-2
C．m<3 D．m<3且m≠-2
5．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程mx-2+1=x2-x的解是非负数，则m的取值范围是（    ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠-2 D．m<2且m≠-2
6．（2023·上海·中考真题）在分式方程2x-1x2+x22x-1=5中，设2x-1x2=y，可得到关于y的整式方程为（    ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0 C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
7．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的14．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．设该市去年居民用水价格为x元/m3，则可列分式方程为 ．
8．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m为常数）有增根，则增根是 ．
9．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程x+mx-2-1=x-12-x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
10．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
11．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
12．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
13．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
14．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？

第二章 方程与不等式
第06讲 分式方程及应用

93

👉题型01 分式方程的定义 05-23
👉题型02 解分式方程
👉题型03 以注重过程性学习的形式考查解分式方程
👉题型04 与解分式方程有关的新定义问题
👉题型05 与解分式方程有关的跨学科问题
👉题型06 由分式方程的解求参数
👉题型07 由分式方程有解、无解或有增根求参数
👉题型08 由分式方程解的取值范围求参数
👉题型09 分式方程与不等式组综合
👉题型10 列分式方程
👉题型11 利用分式方程解决实际问题
👉题型12 分式方程的应用与函数的综合运用
👉题型13 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
👉题型14 以数学文化为背景