中考数学——菱形的性质与判定(练习)(含答案).docx

第五章 四边形
第25讲 菱形的性质与判定

1

👉题型01 利用菱形的性质求角度
👉题型02 利用菱形的性质求线段长
👉题型03 利用菱形的性质求周长
👉题型04 利用菱形的性质求面积
👉题型05 根据菱形的性质求点的坐标
👉题型06 利用菱形的性质证明
👉题型07 菱形的折叠问题
👉题型08 添加一个条件使四边形是菱形
👉题型09 证明四边形是菱形
👉题型10 根据菱形的性质与判定求角度
👉题型11 根据菱形的性质与判定求线段长
👉题型12 根据菱形的性质与判定求周长
👉题型13 根据菱形的性质与判定求面积
👉题型14 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
👉题型15 与菱形有关的新定义问题
👉题型16 与菱形有关的规律探究问题
👉题型17 与菱形有关的动点问题
👉题型18 与菱形有关的最值问题
👉题型19 含60°角的菱形
👉题型20 菱形与函数综合
👉题型21 与菱形有关的存在性问题
👉题型22 与菱形有关的材料阅读类问题

👉题型01 利用菱形的性质求角度
1．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在菱形ABCD中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交BC，BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交CD于点Q．若∠C=40°，则∠DQB= °．

2．（2024·重庆·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF．若∠BAD=α，则∠CDF为（    ）

A．α B．32α C．180°−32α D．180°−2α
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形ABCD中AB边上一点，连结DE，DE=DA，将菱形沿DE折叠，点A的对应点F恰好落在BC边上，则∠A的度数为 ．

4．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知四边形ABCD为菱形，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线交CD于点E．若∠ABC=50°，则∠CAE的度数为 ．

👉题型02 利用菱形的性质求线段长
5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M和N分别是AB和AD上一点，沿MN将△AMN折叠，点A恰好落在边BC的中点E上．若AB=4，则AM的长为（    ）

A．2.4 B．2.8 C．3 D．3.2
6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠AEF=90∘ ，∠AFE=∠D，若CE=6，CF=2，则BE= ．

7．（2024·山东临沂·模拟预测）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角α的取值范围宜为60°≤α≤120°（如图2），亮亮选购了折叠后如图3所示的伸缩衣架，则其拉伸长度AB的适宜范围最接近（ ）

A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤453
C．45≤AB≤303 D．30≤AB≤453
8．（2024·山西·模拟预测）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，，对角线AC,BD交于点O，点E是OB的中点，点F是CD的中点，连接EF交AC于点G，则线段GF的长为 ．

👉题型03 利用菱形的性质求周长
9．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长是方程x2−7x+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（    ）
A．16 B．20 C．16或20 D．32
10．（2024·贵州黔东南·一模）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF，AF，△AEF的周长为33cm，则菱形ABCD的周长为（    ）

A．5cm B．6cm C．43cm D．8cm
11．（2024·江苏南京·三模）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为 ．

12．（2024·四川乐山·二模）如图，菱形的周长为24cm，相邻两个的内角度数之比为1:2，则较长的对角线长度是（　　）

A．6cm B．63cm C．123cm D．12cm
👉题型04 利用菱形的性质求面积
13．（2024·江西吉安·模拟预测）已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC、BD交于点O，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+2m−1x+m2+3=0的两根．
(1)求m的值；
(2)求菱形ABCD的面积．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD交于点O，且AO+BO=14，则该菱形的面积等于（    ）

A．24 B．56 C．96 D．48
15．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=6，将线段AO绕点A旋转，使点O落在菱形ABCD的边上，点O的对应点为点P，连接BP，CP，则△BCP的面积为 ．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是（    ）

A．∠EAF=60° B．AB=AF C．AD=2AB D．AB=EF
👉题型05 根据菱形的性质求点的坐标
17．（2024·山西·模拟预测）如图，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，以O为原点，建立如图平面直角坐标系，若AD∥x轴，AD=8，∠A=60°，点C的坐标是（    ）

A．53,5 B．53,−5 C．4,26 D．6,−23

18．（2024·山东临沂·三模）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为−23,0，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O'A'B'C'，其中点B'的坐标为（   ）

A．1−33,2 B．−23,3 C．−3,3 D．−3,3−3
19．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，反比例函数y=kxk≠0的图象与正比例函数y=43x的图象相交于点Aa,2，D．

(1)a=______，k=______，点D坐标为______．
(2)不等式kx>43x的解集是______．
(3)已知AB∥x轴，以AB，AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
20．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴正半轴上，且AC与OB互相垂直平分，D为垂足，连接OA，AB，BC．反比例函数y=kxx>0的图象经过点D，与OA相交于E．若点B的坐标为(8,4)，则点E的坐标是(　　)

A．2,432 B．143,343
C．145,345 D．6,436
👉题型06 利用菱形的性质证明
21．（2024·贵州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD交CD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，且E为AF的中点，连接AC，BE．

(1)求证：AC=CD；
(2)求AEBE的值．
22．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．

(1)求证：四边形ODEC是矩形；
(2)当∠ADB=60°，AD=22时，求CEAE的值．
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以点C为圆心，BC长为半径画弧交BC的延长线于点E，连接DE．

(1)求证：AC∥DE；
(2)若AB=4，∠ABC=60°，求△BDE的周长和面积．
👉题型07 菱形的折叠问题
24．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6，E是AB 上一点，把四边形 ADCE 沿CE折叠后得到四边形A'D'CE，CD'⊥CD，则BE的长为（      ）

A．52 B．3 C．6−33 D．33−3
25．（2024·浙江·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B,D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=4，则点E到BD的距离为 ．

26．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是边BC上一动点，连接AP，将△ABP沿着AP折叠，得到△AEP，连接DE，若∠BAP=16°，则∠ADE= ；若点F是DE的中点，AB=4，则CF的最小值为 ．

27．（2023·河南信阳·模拟预测）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动．
第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为A，B，C，D（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）；
第二步：对折找到一条对角线BD并展开；
第三步：将边AB折叠到对角线BD所在直线上，顶点A的落点为F，所得折痕与边AD交于点E；
第四步：测量∠A，∠FDE，∠FED的度数，

(1)小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过∠A的度数，计算得到∠FED和∠FDE的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中∠A=30°，请你给出此时∠FDE和∠FED的度数：∠FDE=_____________°，∠FED=_____________°；
(2)若∠A<60°，请探究∠A的度数为多少时，△DEF为等腰三角形，并说明理由；
(3)请直接写出△DEF为直角三角形时DF的长．
👉题型08 添加一个条件使四边形是菱形
28．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在▱ABCD中（AD>AB），∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC方向平移，得到△A'B'C'，连接AB'和C'D，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形AB'C'D是菱形，只需添加的一个条件是 ．

29．（2024·湖南·模拟预测）已知四边形ABCD的对角线BD垂直平分对角线AC于点O，要使四边形ABCD为菱形，则可添加的条件是 （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
30．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N．

(1)求证：OM=ON
(2)连接BM，DN．请添加一个条件，使四边形BNDM为菱形．（不需要说明理由）
31．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．

(1)求证：DB=DE；
(2)在BC上取一点F，连接EF，添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件．
👉题型09 证明四边形是菱形
32．（2024·广东·模拟预测）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．试判断四边形AEDF的形状，并给出证明．

33．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，AG=AH．求证：四边形ABCD是菱形．

34．（2022九年级·上海·专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF交边AB于点G，连接AC．

(1)求证：△AEF∽△DAC；
(2)如果FE平分∠AFB，连接CG，求证：四边形AGCE为菱形．
35．（2024·湖南·二模）如图，BD是▱ABCD的对角线，在△ABD和△CDB中，DE，BF分别是边AB，CD的中线，EF⊥BD．

(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)求证：△ABD是直角三角形．
👉题型10 根据菱形的性质与判定求角度
36．（2024·河南南阳·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接OD，OB，若OD∥BC，且OD=BC，则∠BOD的度数是（    ）

A．60° B．115° C．130° D．120°
37．（2024·陕西榆林·二模）如图，在⊙O中，作正方形ABCD和等边△CDE，其中点A、B、E三点在⊙O上，则劣弧AE所对的圆心角为（    ）

A．135° B．150° C．120° D．105°
38．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE=BF，BE=BC．

(1)如图①，求证△AED≌△EFB；
(2)如图②，若AB=AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
👉题型11 根据菱形的性质与判定求线段长
39．（2023·广东深圳·三模）如图，在ABCD中，以点D为圆心，CD的长为半径作弧交AD于点G，分别以点C，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线DE交BC于点F，交CG于点O，若AB=13，GC=24，则DF的长为（　　）

A．10 B．9 C．12 D．6.5
40．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC上，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，点B恰好落在边AC上的点F处，若DF ∥ AB，则CD的长为（    ）

A．1.6 B．2 C．2.4 D．3
41．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=5，BD=2，求OE，CE的长．
42．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，延长边CD到点F， 使DF=DC， 过点F 作EF∥AC，交OD的延长线于点E，连接OF，EC．

(1)求证：△ODC≌△EDF；
(2)连接AF，若OD=DC且∠BEC=45°，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中长度为2OA的所有线段．
👉题型12 根据菱形的性质与判定求周长
43．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若 BC=3，OA=132，求四边形OCED的面积和周长．
44．（2024·山东青岛·二模）如图，四边形ABCD是正方形，BE∥DF，分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF．

(1)求证：四边形BEDF是菱形：
(2)若AE=2，CE=6，求菱形BEDF的周长和面积．
45．（2024·江西抚州·一模）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC．

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)如图2，过点C作⊙O的切线交AE于点F，若AF=BC．
①请判断四边形ABCF的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求图中阴影部分的周长．
👉题型13 根据菱形的性质与判定求面积
46．（2024·吉林长春·一模）如图，矩形AEBO的对角线AB、OE交于点F，延长AO到点C，使OC=OA，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD、DC、BC．

(1)求证:四边形ABCD是菱形．
(2)若OE=20，∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为 ．
47．（2024·江西南昌·模拟预测）定理证明：

（1）如图1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，求证：PA=PB；
定理应用：
（2）如图2，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC=2，∠D=60°，DC是⊙O的切线，若DA∥BC，求四边形ABCD的面积．
48．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，且DE=BC，连接CD，BE．

(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；
(2)若BC=2，连接AE，EC，求△AEC的面积．
49．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，AD平分∠CAM，CD∥AB．

(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，连接BD，交AC于点O，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△CDE面积相等的4个三角形．
👉题型14 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
50．（2024·内蒙古·二模）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF=BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论：①四边形ACFD是平行四边形  ②BD2+FD2=BF2  ③BD=4OE  ④S△GEO=14S△ADO．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．

51．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点M,N是边AD,AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：
①△MED∽△ENB；②若∠DME=15°，则∠ENB=105°；③若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则MC=23；④若DE:BE=2:5，则AM:AN=3:4，其中正确结论是 ．

52．（2024·天津河西·二模）已知菱形ABCD，AB=10cm，∠A=60°，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，AH=AE=CG=CF．连接EF，FG，GH，HE．有下列结论：①四边形EFGH是矩形；②AE长有两个不同的值，使得四边形EFGH的面积都为10cm2；③四边形EFGH面积的最大值为253cm2．其中，正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3
53．（2024·山东枣庄·二模）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线 y=k1x和 y=k2x的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，给出如下四个结论： ①AMCN=k1k2； ②阴影部分的面积是 12k1+k2；③当∠AOC=90°时，k1=k2； ④若OABC是菱形，则 k1+k2=0；以上结论正确的是（     ）

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④
54．（2024·全国·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC，BD交于点O，动点P在边BC上（不与点C重合），连接AP，AP的垂直平分线交AP于点E，交BD于点F，连接FP，CE，OE，现有以下结论：①点A，E之间的距离为定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）

👉题型15 与菱形有关的新定义问题
55．（2024·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为m°和n°m>n，定义mn为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形．
56．（2023·江苏盐城·一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．

(1)判断：一个内角为60°的菱形________等距四边形．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为________．
(3)如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到驻地O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三点到O点的距离相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度为65km/h，试问B艇的速度是多少时，才可以和A艇同时回到驻地？
57．（2024·湖南长沙·一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．

(1)若▱ABCD是圆的“奇妙四边形”，则▱ABCD是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD是⊙O的“奇妙四边形”．求证：AB2+CD2=4R2；
(3)如图2，四边形ABCD是“奇妙四边形”，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB=3DC．当DC的长度最小时，求APDP的值．
58．（2024·四川达州·一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系；

定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
[操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形EFGH．
[猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________；
[证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程；
已知：点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形EFGH．
求证：______________________．
证明：
[应用]（3）如图2，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别为P， Q，M，N，在AB上取一点E，连接DE，CE，△ADE和△BCE恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形MNPQ的周长．
👉题型16 与菱形有关的规律探究问题
59．（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形ABC1D1的边长AB=1cm，∠D1AB=60°，连接对角线AC1，以AC1为边作第二个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°．连接AC2，再以AC1为边作第三个菱形AC2C3D3，使∠D3AC2=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．

60．（2024·山东泰安·二模）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y=kx和x轴上．已知B1(2,0)，B2(4,0)，根据所给图形，可以依次求出点A1，A2，A3，…，则图中点A2024的坐标是（    ）

A．3×22022,3×22023 B．3×22023,3×22023
C．3×22024,3×22024 D．3×22024,3×22025
61．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ．

62．（2024·河南郑州·三模）综合实践
【问题】  小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1,F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是什么？
【探究】（1）小张觉得在点E,F运动的过程中，四边形E1E2F1F2的两组对边分别相等，所以四边形E1E2F1F2形状必定为______；
（2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索：
①小王看到四边形E1E2F1F2的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接DE1和DF2，只要能说明∠E1DF2为180°即可，其余三条边都可以用这个方法证明．请你根据小王的说法，证明边E1F2经过点D．
②小王发现，点E,F在点O时，四边形E1E2F1F2为菱形；点E,F分别运动到终点B,D时，四边形E1E2F1F2为菱形；并猜想点E,F在运动过程中，四边形E1E2F1F2能为矩形．请你利用图2判段点E,F在运动过程中，四边形E1E2F1F2否能为矩形？若能请找到点F的位置并证明此时四边形E1E2F1F2为矩形；若不能，也请说明理由．
【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、菱形的结论．如图3，在原题的基础上，将条件∠ABD=60°变为AB=6，AD=8，其余条件不变，小袁发现在点E,F运动过程中，四边形E1E2F1F2依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩形的周长．

👉题型17 与菱形有关的动点问题
63．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：在四边形ABCD中，P为对角线BD上的动点，点E，F分别在AD，CD上．

(1)【动手操作】
如图①，若四边形ABCD为正方形，P为对角线AC，BD的交点，E，F分别为AD，CD的中点时，连接PE，PF，根据题意在图①中画出PE，PF，则∠EPF为________________度；
(2)【问题探究】
如图②，四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，P为对角线AC，BD的交点，且∠EPF=60∘，探究线段DE，DF，AD之间的数量关系，并说明理由；
(3)【问题解决】
如图③，在（2）的条件下，若点P在对角线BD上，菱形ABCD的边长为8，PA=7，DF=1，求DE的长．
64．（2024·湖南长沙·二模）如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．

(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度数；
(2)若AG=BG，求证BE2−GE2=AG⋅GE；
(3)过点G作GM∥BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC=xBE，S1S2=y
①求证：1BE+1AD=1MG；
②求y与x之间的函数关系式．
65．（22-23九年级上·福建三明·期中）如图1，点O是▱ABCD的对角线AC，BD的交点，过点O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分别为H，M，若OH≥OM，我们称λ=OHOM是▱ABCD的中心距比．

(1)如图2，当λ=1，求证：▱ABCD是菱形；
(2)如图3，当∠ABC=90°，且AB=OB，求▱ABCD的λ值；
(3)如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，动点P从点B出发．沿线段BC向终点C运动，动点Q自C出发，沿线段CA向终点A运动，P、Q两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结PQ，以PQ、AQ为邻边作▱AQPE，若▱AQPE的中心距比λ=10．求点P的运动时间．
👉题型18 与菱形有关的最值问题
66．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形ABCD的面积为123，E是边BC上的中点，P是对角线BD上的动点，连接AE，若AE平分∠BAC，则PE+PC的最小值为 ．
67．（2024·吉林长春·二模）如图，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G，连接FG．

(1)求证：四边形OGEF为矩形．
(2)求GF的最小值．
68．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，M，N分别是AD，AC上的两个动点，则DN+MN的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．2
69．（2024·江西九江·二模）课本再现
如图1，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．
（1）求AB，AC的长．
应用拓展
（2）如图2，E为AB上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到DF，连接EF．
①直接写出点D到EF距离的最小值；
②如图3，连接OF，CF，若△OCF的面积为6，求BE的长．

👉题型19 含60°角的菱形
70．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．

(1)求证：AE=AF；
(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．
71．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，过点D分别作AB,BC的垂线，垂足为E,F．

(1)求证△ADE≌△CDF；
(2)若∠EDF=60°,DE=3，求AB的值．
72．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为1,0，∠BCD=120°，则点D的坐标为（   ）

A．−2,2 B．−2,3 C．3,2 D．−3,3
73．（2024·河南商丘·模拟预测）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E为对角线BD的中点，F为AD边上一点，且DF=3．若△DEF为等腰三角形，则菱形ABCD的边长为 ．
👉题型20 菱形与函数综合
74．（2024·辽宁大连·二模）如图1，△ABC中，∠ABC=60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB交AC于点E，EF∥BC交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y．

【初步感知】
（1）经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是2,3，请根据图像信息，求y关于x的函数表达式．
【延伸探究】
（2）①当四边形BDEF的面积为94时，求BD的长度；
②当四边形BDEF的面积最大时，求△CDE的面积．
（3）如图3，当四边形BDEF是菱形时，求BD的长度．
75．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A的坐标为1,3．点M从点O出发，以每秒1个单位沿x轴向右移动，过点M且垂直OA的直线与菱形的两边分别交于P，Q两点，设△OPQ的面积为S，则S与点M移动的时间t之间的函数关系的图象大致为（    ）

A． B．C． D．
76．（2024·湖北武汉·三模）如图1，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点F为CD边上的动点．

(1)E为边AD上一点，连接EF，将△DEF沿EF进行翻折，点D恰好落在BC边的中点G处，
①求DE的长；
②tan∠GFC= ．
(2)如图2，延长CD到M，使DM=DF，连接BM与AF，BM与AF交于点N，连接DN，设DF=xx>0，DN=y，求y关于x的函数表达式．
77．（2024·甘肃平凉·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(2,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是x轴负半轴上一点，AD=5，连接CD．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请在图1中将线段CD向右平移至点D与点A重合，CD平移后对应线段所在直线交抛物线于点E，连接CE，判断四边形AECD的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接DE，交y轴于点P，过点P作PM⊥CD于点M，点N从E点向D点运动，连接CN、MN，求△CMN周长的最小值．
👉题型21 与菱形有关的存在性问题
78．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A−2,0，点B4,0，与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO=90°的点E的坐标；
(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由．
79．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
80．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数y=−x2+(m−1)x+m（其中m>1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．

(1)填空：点A的坐标为 ，∠ABC= °；
(2)记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1−S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m= ．
81．（2024·河南开封·一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A0,3，B1,0，C2,3，反比例函数y=kxx>0的图象经过点C．

(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数y=kxx>0的图象上，且BD⊥AC于点E，DE=BE，请说明四边形ABCD是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
👉题型22 与菱形有关的材料阅读类问题
82．（2024·山西朔州·模拟预测）阅读与思考
下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
作矩形的最大内接菱形的方法
顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法．
方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1）．则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形．
方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF．则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形，（如图2）
方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E．与BC边交于点F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形．

任务：
(1)填空：通过“方法一”能得到的菱形，它的依据是_______．
(2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程，（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)若矩形AB=4，BC=10，请