资源描述
,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第三章 微分方程和差分方程模型,3.1 微分方程模型,3.2 差分方程模型,3.3 观众厅地面设计,3.4 碳定年代法,3.5 范.梅格伦伪造名画案,1/45,在研究实际问题时,我们经常不能直接得出变量之间关系,但却能轻易得出包含变量导数在内关系式,这就是微分方程.,在现实社会中,又有许多变量是离散改变,如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散运算含有可操作性,差分正是联络连续与离散变量一座桥梁.,不论是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,能够利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,还有未知参数需要预计(这是可利用第二章参数预计方法).,而在实际问题中,讨论问题解改变趋势很主要，所以，以下只对其平衡点稳定性加以讨论.,2/45,3.1,微分方程模型,假如,则称平衡点,x,0,是,稳定,.,称代数方程,f,(,x,)=0,实根,x,=,x,0,为方程,(3-1),平衡点,(,或奇点,).,它也是方程,(3-1),解,.,设,3/45,稳定性判别方法,因为,在讨论方程,(3-1),来代替.,稳定性时，可用,易知,x,0,也是方程,(3-2),平衡点,.(3-2),通解为,关于,x,0,是否稳定有以下结论：,若,则,x,0,是稳定；,若,则,x,0,是不稳定.,这个结论对于(4-1)也是成立.,4/45,关于常微分方程组平衡点及其稳定性,设,代数方程组,实根,x,=,x,0,y,=,y,0,称为方程(3-3),平衡点,记作,P,0,(,x,0,y,0,).它也是方程(3-3)解.,5/45,假如,则称平衡点,P,0,是,稳定,.,下面给出判别平衡点,P,0,是否稳定,判别准则,.设,则当,p,0且,q,0时,平衡点,P,0,是稳定；当,p,0或,q,0时,平衡点,P,0,是不稳定.,6/45,3.2 差分方程模型,对于,k,阶差分方程,F,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,)=0 (3-6),若有,x,n,=,x,(,n,),满足,F,(,n,;,x,(,n,),x,(,n,+1),x,(,n,+,k,)=0,则称,x,n,=,x,(,n,),是差分方程,(3-6),解,包含个任意常数解称为,(3-6),通解,x,0,x,1,x,k,-1,为已知时称为,(3-6),初始条件,通解中任意常数都由初始条件确定后解称为,(3-6),特解,.,若,x,0,x,1,x,k,-,1,已知,则形如,x,n,+,k,=,g,(,n,;,x,n,x,n,+1,x,n,+,k,-1,),差分方程解能够在计算机上实现,.,7/45,若有常数,a,是差分方程,(3-6),解,即,F,(,n,;,a,a,a,)=0,则称,a,是差分方程,(3-6),平衡点,.,又对差分方程,(3-6),任意由初始条件确定解,x,n,=,x,(,n,),都有,x,n,a,(,n,),则称这个平衡点,a,是,稳定,.,一阶常系数线性差分方程,x,n,+1,+,ax,n,=,b,(其中,a,b,为常数,且,a,-,1,0),通解为,x,n,=,C,(,-,a,),n,+,b,/(,a,+1),易知,b,/(,a,+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|,a,|1时,b,/(,a,+1)是稳定平衡点.,8/45,二阶常系数线性差分方程,x,n,+2,+,ax,n,+1,+,bx,n,=,r,其中,a,b,r,为常数.,当,r,=0时,它有一特解,x,*,=0；,当,r,0,且,a,+,b,+1 0时,它有一特解,x,*,=,r,/(,a,+,b,+1).,不论是哪种情形,x,*,是其平衡点.设其特征方程,2,+,a,+,b,=0,两个根分别为,=,1,=,2,.,9/45,当,1,2,是两个不一样实根时,二阶常系数线性差分,方程通解为,x,n,=,x,*,+,C,1,(,1,),n,+,C,2,(,2,),n,;,当,1,2,=,是两个相同实根时,二阶常系数线性差分,方程通解为,x,n,=,x,*,+(,C,1,+,C,2,n,),n,;,当,1,2,=,(cos,+,i,sin,)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分,方程通解为,x,n,=,x,*,+,n,(,C,1,cos,n,+,C,2,sin,n,).,易知,当且仅当特征方程任一特征根|,i,|1时,平衡点,x,*,是稳定.,则,10/45,对于一阶非线性差分方程,x,n,+1,=,f,(,x,n,),其平衡点,x,*,由代数方程,x,=,f,(,x,),解出.,为分析平衡点,x,*,稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,时,上述近似线性差分方程与,原,非线性差分方程,稳定性相同.,所以,当,时,x,*,是稳定；,当,时,x,*,是不稳定.,当,11/45,3.3 观众厅地面设计,1 问题提出,在影视厅或汇报厅，经常会为前边观众遮挡住自己视线而苦恼。显然，场内观众都在朝台上看，假如场内地面不做成前低后高坡度模式，那么前边观众必定会遮挡后面观众视线。试建立数学模型设计良好汇报厅地面坡度曲线。,12/45,建立坐标系,o,o,处于台上设计视点,b,b第一排观众眼睛到,x,轴垂 直距离,x,y,a,d,d,a第一排观众与设计视点水平距离,d,相邻两排排距,视线升高标准,x表示,任一排与设计视点水平距离,求任一排x与设计视点o竖直距离函数,使此曲线满足视线无遮挡要求。,问题,13/45,2 问题假设,观众厅地面纵剖面图一致，只需求中轴线上地面起伏曲线即可。,同一排座位在同一等高线上。,每个坐在座位上观众眼睛与地面距离相等。,每个坐在座位上观众头与地面距离也相等。,所求曲线只要使观众视线从紧邻前一个座位人头顶擦过即可。,14/45,3 建模,设眼睛升起曲线应满足微分方程,初始条件,o,b,x,y,a,d,d,1）从第一排起，观众眼睛与o点连线斜率随排数增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹。,15/45,2）选择某排,和相邻排,o,y,x-d,C(x,0),C,2,(x+d,0),M,M,2,M,1,x,N,1,A,B,N,相同于,D,16/45,再计算,相同于,17/45,4 模型求解,微分不等式（比较定理）,设函数,定义在某个区域上，且满足,1）在D上满足存在唯一性定理条件；,2）在D上有不等式,则初值问题,与,解,在它们共同存在区间上满足,18/45,19/45,所求曲线近似曲线方程（折衷法）,折衷法,20/45,5 总结与讨论,有时只需求近似解。,方法,利用微分不等式建模；,模型讨论,o,b,x,y,a,d,d,1）视点移动时升起曲线怎样求得？,2）怎样降低地面坡度？调整参数、相邻排错位。,3）衡量经济指标？,座位尽可能多、升起曲线占据空间尽可能少等。,21/45,3.4 碳定年代法,考古、地质学等方面教授惯用14C测定法（通常称碳定年代法）来预计文物或化石年代。,22/45,14C蜕变规律,14C是一个由宇宙射线不停轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成含有放射性物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。,14C是放射性，不论在空气中还是在生物体内他都在不停蜕变，这种蜕变规律我们能够求出来。通常假定其蜕变速度与该时刻存余量成正比。,23/45,设在时刻t（年），生物体中14C存量为x(t),生物体死亡时间记为t,0,=0,此时14C含量为x,0,由假设，初值问题,（1.1）解为,（1.2）,其中，为常数，k前面符号表示14C存量是递减。（1.2）式表明14C是按指数递减，而常数k可由半衰期确定，,24/45,若14C半衰期为T,则有,(1.3),将（1.3）代入（1.2）得,即有 （1.4）,25/45,碳定年代法依据,活着生物经过新陈代谢不停摄取14C,因而他们体内14C与空气中14C含量相同，而生物死亡之后，停顿摄取14C，因而尸体内14C因为不停蜕变而不停降低。碳定年代法就是依据生物体死亡之后体内14C蜕变降低许改变情况来判断生物死亡时间。,26/45,碳定年代法计算,由（1.4）解得,(1.5),因为x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作以下修改.,对(1.2)式两边求导数，得,(1.6),而 (1.7),27/45,(1.6)和(1.7)两式相除，得 将上式代入(1.5)，得,(1.8),这么由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体内14C蜕变速度 和现在时刻t蜕变速度 ,就能够求得生物体死亡时间了，在实际计算上，都假定当代生物体中14C蜕变速度与生物体死亡时代生物体中14C蜕变速度相同。,28/45,马王堆一号墓年代确实定,马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土木炭标本14C平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成木炭中14C 平均原子蜕变数为38.37/s,又知14C半衰期为5568年，这么，我们能够把 ,，T=5568 年代入(1.8)，得,这么就估算出马王堆一号墓大约是在多年前。,29/45,两个注记,（1）马王堆中古代科技之谜,素纱蝉衣：两件轻薄衣服，丝绸，极轻且两千年不腐，南京云锦研究所接收国家科技攻关，用了二十年时间，于1990年成功研制出类似素纱蝉衣复制品，但该复制品比汉代还重50克，已不可能再轻了。,女尸千年不腐：病理知识：女尸解剖显示患有非常严重冠心病；肺部有肺结核钙化，肺部钙化是肺结核痊愈后表现。后今天，要想控制肺结核，除本身,30/45,抵抗力要强外，还要有好营养，要想痊愈是很困难。两处胆结石，其一在胆总管，有蚕豆大，胆道被堵得水泄不通。三种寄生虫，其中竟有血吸虫，其症状应为腹胀如鼓，骨瘦如柴，但该女子皮下脂肪异常丰满，显然血吸虫被有效控制住了。该西汉贵妇生前病魔缠身，但从其遗体上未发觉长久卧床养病迹象。一个同时患有这么多疾病人，能够长久稳定控制病情，在今天也是一个奇迹，说明汉代医术已到达了相当高水平。,31/45,（2）碳定年代法不足,现在，14C年代测定法已受到怀疑，在2500-100前这段时间中与其它断代法结果有差异。1966年，耶鲁试验室Minze Stuiver 和加利福尼亚大学圣地亚哥分校Hans E.Suess在一份汇报中指出了这一时期使14C年代测定产生误差根本原因。在那个年代，宇宙射线放射强度减弱了，偏差峰值发生在大约60以前。,32/45,这两位研究人员结论出自对Brist/econe松树所作14C年代测定结果，因为这种松树同时还提供了准确年轮断代。他们提出了一个很成功误差公式，用来校正依据14C断代定出2300-60前这期间年代：,真正年代=14C年1.4900。,33/45,3.4,范.梅格伦伪造名画案,第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子合作者，发觉一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。,Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰利益，全部油画都是自己伪造，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer画耶稣在学者中间。当他工作快完成时，又得悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。,34/45,为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加国际专门小组，采取了当初最先进科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发觉了当代物质诸如当代颜料钴蓝痕迹。,这么，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。,不过，许多人还是不相信其余名画是伪造，因为，Vanmeegren在狱中作画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到后，1967年，卡内基梅隆大学科学家们用微分方程模型处理了这一问题。,35/45,原理,著名物理学家卢瑟夫（,Rutherford,）指出：,物质放射性正比于现存物质原子数。,设 时刻原子数为 ，则有,为物质衰变常数。,初始条件,36/45,半衰期,碳,-,14,铀,-,238,镭,-,226,铅,-,210,能测出或算出，只要知道 就可算出,这正是问题难处，下面是间接确定 方法。,断代。,37/45,油画中放射性物质,白铅（铅氧化物）是油画中颜料之一，应用已经有余年，白铅中含有少许铅(,Pb210,)和更少许镭(,Ra226)。白铅是由铅金属产生，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出。当白铅从处于放射性平衡状态矿中提取出来时，Pb210绝大多数起源被切断，因而要快速蜕变，直到Pb210与少许镭再度处于放射平衡，这时Pb210蜕变恰好等于镭蜕变所补足为止。,38/45,铀,238,镭,226,铅,210,钋,210,铅,206,（放射性）,（无放射性）,39/45,假设,（1）镭半衰期为16，我们只对17 世纪油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭最少还有原量90%以上，所以每克白铅中每分钟镭衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋半衰期为138天轻易测定，铅210半衰期为22年，对要判别300多年颜料来说，每克白铅中每分钟钋衰变数与铅210衰变数可视为相等。,40/45,建模,设 时刻每克白铅中含铅210数量为 ，,为制造时刻 每克白铅中含铅210数量。,为铅210衰变常数。则油画中铅210含量,41/45,求解,均可测出。,可算出白铅中铅衰变率 ，再于当初矿物比较，以判别真伪。,矿石中铀最大含量可能,23%，,若白铅中铅,210每分钟衰变超出3 万个原子，则,矿石中含铀量超出,4%。,42/45,测定结果与分析,画名,钋210衰变原子数,镭226衰变原子数,Emmaus信徒们,8.5,0.82,洗足,12.6,0.26,读乐谱妇人,10.3,0.3,弹曼陀林妇人,8.2,0.17,做花边人,1.5,1.4,欢笑女孩,5.2,6.0,43/45,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,44/45,同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，,而后两幅画为真品。,45/45,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
