结构动力学小论文三层框架的鞭梢效应大学论文.doc

结构力学小论文
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三层框架的“鞭梢效应”

专业： 土 木 工 程

结构刚度与质量如下图：

由柔度系数定义知。如图

则柔度矩阵：
δ=
质量矩阵：
M=
（1） 当a=b=1时
由频率方程可知：
丨δM-I丨=0
将柔度矩阵、质量矩阵代入该式，有：
=0 （其中}
化简得：

由Excel软件采用二分法求得上式三个根，如下图：（令）

得：

由此可得结构前三阶自振频率分别为： （）

将求得的自振频率代入振型方程（k-M）Y=0
有：

由于是奇次方程组，只有两个独立方程.令，将其中振型标准化，有：
当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

（2） 当a=1，b=100时
由频率方程可知：
丨δM-I丨=0
将柔度矩阵、质量矩阵代入该式，有：
=0 （其中}
化简得：

由Excel软件采用二分法求得上式三个根，如下图：
（令）

得：

由此可得结构前三阶自振频率分别为：（）

将求得的自振频率代入振型方程（k-M）Y=0
有：

由于是奇次方程组，只有两个独立方程.令，将其中振型标准化，有：
当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

即第三层刚度与质量远大于一、二层刚度与质量时，按某一振型(第二和第三振型）振动时，第三层的位移相对于第一层和第二层非常小。

（3） 当a=1，b=时
由频率方程可知：
丨δM-I丨=0
将柔度矩阵、质量矩阵代入该式，有：
=0 （其中}
化简得：

由Excel软件采用二分法求得上式三个根，如下图：
（令）

得：

由此可得结构前三阶自振频率分别为：（）

将求得的自振频率代入振型方程（k-M）Y=0
有：

由于是奇次方程组，只有两个独立方程.令，将其中振型标准化，有：
当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当第三层刚度与质量远小于第二层与第一层时.按某振型（第二振型）振动时，第三层振幅约为第一层的100倍，第三层振幅约为第二层的1000倍。
即第三层刚度质量远小于第二层与第一层时，会使第三层产生较大位移，使结构破坏。

（4） 当a=，b=1时
由频率方程可知：
丨δM-I丨=0
将柔度矩阵、质量矩阵代入该式，有：
=0 （其中}
化简得：

由Excel软件采用二分法求得上式三个根，如下图：
（令）

得：

由此可得结构前三阶自振频率分别为：（）

将求得的自振频率代入振型方程（k-M）Y=0
有：

由于是奇次方程组，只有两个独立方程.令，将其中振型标准化，有：
当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当时，振型方程变为：

则：

当第二层刚度和质量远小于第三层和第一层刚度和质量时，按某一振型（第一振型）振动时，第二层和第三层的振幅均约为第一层的100倍。
按另一振型（第三振型）振动时，第三层振幅约为第一层100倍，第二层振幅约为第一层的10000倍。
即第二层刚度质量远小于第二层与第一层时，会使第三层产生较大位移，使第二层产生更大位移，使结构破坏。

综上所述，当上层某一层质量和刚度远小于其他层时，会使本层的临近层（第一层除外）产生较大位移，本层产生更大位移。对结构有显著影响。当某一层质量和刚度远大于其他层时，不会影响临近层，只会使本层位移大幅度减小。