中考数学——三角形的概念和性质(练习)(含答案).docx

第四章 三角形
第16讲 三角形的概念和性质

1

👉题型01 三角形的稳定性
👉题型02 画三角形的五线
👉题型03 与三角形高有关的计算
👉题型04 等面积法求高
👉题型05 求网格中的三角形面积
👉题型06 与三角形中线有关的计算
👉题型07 与三角形重心有关的计算
👉题型08 与三角形中位线有关的计算
👉题型09 利用角平分线的性质求解
👉题型10 角平分线的判定
👉题型11 利用垂直平分线的性质求解
👉题型12 垂直平分线线的判定
👉题型13 根据作图痕迹求解
👉题型14 利用三角形三边关系求解
👉题型15 利用三角形内角和定理求解
👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用
👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用
👉题型18 与角度有关的折叠问题
👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题
👉题型20 利用三角形外角和定理求解
👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用
👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合

👉题型01 三角形的稳定性
1．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ．

2．（2024·广西柳州·二模）下列图形中具有稳定性的图形是（    ）
A．B．C．D．
3．（2023赣州市模拟预测）如图，四边形木架ABDC．

(1)加上木条BC后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是____________；
(2)如∠A=∠D，BC平分∠ABD，求证：AC=DC．
4．（2023·广西钦州·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
状态一
（空水桶）
状态二
（水桶内加一定量的水）
示意图

说明：C为AB的中点
(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是．
A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短
(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，CD=20cm,∠C'AC=12°，∠C'AD=45°，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）．
👉题型02 画三角形的五线
5．（2024商洛市二模）在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画AB边上的高线正确的是（　　）
A．  B． C．  D．  
6．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，画出BC边上的中线AD．
(2)在图②中，画出AC边上的点E，使得AEEC=13．
(3)在图③中，画出AB边上的高CF．
7．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图1中按下列步骤完成画图．
①画出△ABC的高CD；
②画△ACD的角平分线AE；
③画点D关于AC的对称点D'；
(2)如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM=PN，画出线段MN．
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图是由单位长度为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点A、B两点在格点，C点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表示．

(1)在图1中，画BC中点D，再过点D画线段EF，使EF=BC；
(2)在图2中，画线段AB的垂直平分线MN，再在直线AB右侧找一点P，连接AP，使∠PAB=∠ABC．
👉题型03 与三角形高有关的计算
9．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（     ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
10．（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，若△BCD面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比为
11．（2024·重庆·三模）如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，AB⊥CE于点E，CE与BD相交于点H，已知AD=HD=2，CD=6，则△ABC的面积为 ．

12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，S△ABD=5，则CE＝（    ）

A．5－1 B．3－1 C．1 D．32
👉题型04 等面积法求高
13．（2024·陕西西安·二模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A､B､C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD= ．

14．（2024·陕西商洛·二模）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高为（    ）

A．302 B．855 C．58 D．455
15．（2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为（    ）

A．5 B．25 C．1 D．2
👉题型05 求网格中的三角形面积
1．（2024·河北唐山·二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC向右平移1个单位长得到△A'B'C'．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）阴影部分的面积为 ．

17．（2024琼海市三模）如图，已知A0,2，B2,1，C4,3．

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)在图中画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'（点A、B、C的对称点分别为A'，B'，C'）；
(3)已知P为y轴上一点，若△A'C'P的面积为4，请直接写出点P的坐标．
18．（2024莆田市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．

(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求∠BCD的度数．
19．（2024金沙县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−3,−1，B1,3，C2,−3，则三角形ABC的面积为 ．

👉题型06 与三角形中线有关的计算
20．（2024·上海浦东新·一模）如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S2:S1= ．

21．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是△ABC的边AB上一点，且AD:DB=2:1，过点D作DE∥BC，交AC于点E，取线段AE的中点F，连接DF．若DF=4，则△ABC中AC边上的中线长为（   ）

A．2 B．6 C．7 D．8
22．（2024·广东广州·二模）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=45，BE为AD边上的中线．

(1)求AC的长；
(2)求△BED的面积．
23．（2024·山西太原·三模）如图示，BE是△ABC的中线，点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，连接CD，交BE于点F，则DFCF等于（    ）

A．12 B．13 C．14 D．15
👉题型07 与三角形重心有关的计算
24．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的△ABC中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）．

25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D、E分别为AB、BC的中点，AE与CD交于点O，则OD的长为（    ）

A．53 B．56 C．52 D．54
26．（2024·山东聊城·二模）综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB=AC=5，BC=6．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是△ABC的重心．

(1)初步观察：连接AF，判断AF与BF的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现OA与OE，OC与OD有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算△AOC的面积；
(4)拓展探究：莹莹把△AFC剪下后得△A'F'C'，发现可以与△ABF拼成四边形，且拼的过程中点A'不与点A重合，直接写出拼成四边形时OA'的长．
👉题型08 与三角形中位线有关的计算
27．（2024·重庆·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=3cm，则EF= cm．

28．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．

（1）【知识回顾】
在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理．
（2）【数学发现】
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？
【证明猜想】
（3）证明（2）的结论，并在“AD=5，BC=7”的条件下，求EF的长．
29．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务：
下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：
如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE相交于点P．求证：PEBE=PDCD=13．
小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结DE．
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，（依据）
∵……；∴……．∴PEBE=PDCD=13；

任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______．
(2)将材料中的证明过程补充完整．
(3)如图②，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E，F分别为边AB，AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF:S四边形PDCF=______．
30．（2024·山东枣庄·一模）下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务
10月30日  星期一  晴
今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度AB”进行了热烈讨论．
我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下．
小丽的方法：如图（1），在过点B且与AB垂直的直线l上确定一点D，使点D可直接到达点A，连接AD，在AB的延长线上确定一点C，使CD=AD，测出BC的长，则AB=BC．

小丽的理由：
∵CD=AD，DB⊥AC，
∴AB=BC．（依据1）
小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点A、B的点C，连接AC，BC，在AC，BC，上分别取点D、E，使AD=CD，BE=CE，连接DE，测出DE的长，则AB=2DE．
小强的理由：
∵AD=CD，BE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE．（依据2）．
小亮的方法：如图（3），在BA的延长线上取一点C，在过点C且与AB垂直的直线a上确定一点D，使从点D可直接到达点B，在过点A且与AB垂直的直线b上确定一点E，使点B，E，D在同一条直线上，测出AC，AE，CD的长，即可求出AB的长．
我的方法：在过点A且与AB垂直的直线l上确定一点C，只需测得∠BCA的度数和CA的长度，就可求出池塘AB的宽度．
我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决．
我要会用“数学的眼光观察现实世界，数学的思维思考现实世界，数学的语言表达现实世界．
任务：
(1)填空：依据1指的是______；依据2指的是______；
(2)若按照小亮的方法测出AC=10m，AE=40m，CD=60m，请你求出池塘AB的宽度；
(3)小颖同学的方法如图，若测得∠BCA=30°，CA的长度为34米，求池塘AB的宽度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73）

👉题型09 利用角平分线的性质求解
31．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则AC为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
32．（2022·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5
33．（2024·青海·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

(1)求证：AC=AE；
(2)若BC=4，AB=5，求BE的长．
34．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．

(1)尺规作图：作△ABC的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若BC=3，求DE的长．
👉题型10 角平分线的判定
35．（2024·重庆·模拟预测）学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规，过点C作CN⊥AB交AB于点N，过点C作CM⊥AD交AD于点M，（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，四边形ABCD，DC=BC，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC，求证：AC平分∠BAD，
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠CMD=∠CNB=90°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
又∵∠ADC+∠CDM=180°，
∴① ，
∵CD=CB，
∴△CDM≌△CBN（②    ），
∴CM=CN，
∴∠BAC=∠DAC（依据：③     ）
小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面命题：若四边形邻边相等，对角互补，则④ ．
36．（2024·江苏南通·二模）如图，点P是∠AOB内一射线OC上一点，点M、N分别是边OA、OB上的点，连接PM，PN且PM=PN，∠PMO=∠PNO．
求证：OC是∠AOB的平分线．
小星的解答如下：
证明：在△POM和△PON中，
∵PM=PN，∠PMO=∠PNO，OP=OP，
∴△POM≌△PON……第一步
∴∠POM=∠PON……第二步
∴OC是∠AOB的平分线．……第三步
(1)小星的解答从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
37．（22-23九年级下·山东临沂·期中）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则∠BAC的度数为（    ）

A．65° B．80° C．100° D．70°
38．（2021·湖北孝感·二模）已知ON⊥OM，△ABC的顶点A在ON上，顶点B在OM上，且CA=CB，CA⊥CB．连接OC，与AB交于点D．

（1）如图1，若CA⊥ON，求证：OC平分∠MON；
（2）如图2，若CA与ON不垂直，OC是否仍平分∠MON?请作出结论，并说明理由
（3）如图3，若ODCD=12，BC=6，求AD的长．
👉题型11 利用垂直平分线的性质求解
39．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，则BE的长为 ．

40．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线AM；连接AB、AC；

(1)△ABC是什么三角形？说明理由；
(2)在△ABC中，CE是∠ACB平分线，BF是∠ABC平分线．求证：BF=CE．
41．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，点F，G分别在边AB和BC上，且GF=GB，作AF的垂直平分线交AC于点E，则EG的最小值 ．

42．（2024·山西大同·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=135°，AB的垂直平分线交AD于点E、连接CE，则CE的长为（    ）

A．6 B．26 C．43 D．4
43．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，D为AB边的中点，DE⊥AB，交直线AC于点E，连接BE，若∠BED=50°，则∠ABC的度数为 ．
👉题型12 垂直平分线线的判定
44．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，则BC的长为（    ）

A．45 B．35 C．53 D．33
45．（2024·湖南长沙·一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：

(1)AE=AC；
(2)直线AD是线段CE的垂直平分线．
46．（2024·江苏连云港·一模）如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G,BE=AD．

(1)求证：∠FEC=∠FCE；
(2)试判断线段BF与AC的位置关系，并说明理由．
👉题型13 根据作图痕迹求解
47．（2024·贵州·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=1，P为AB上一动点，当GP最小时，AC的长为(    )

A．1 B．3 C．1+2 D．2
48．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC．用尺规进行以下操作：①以C为圆心BC长为半径作弧交AB于点D，连接CD；②以C为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，CD于点N，M；③分别以M，N为圆心，以大于12MN长为半径作弧，两弧交于点E，做射线CE．若∠A=42°，则∠ACE的度数为（    ）

A．42° B．48° C．50° D．52°
49．（2024·海南省直辖县级单位·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F，若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值为（　　）

A．2 B．3+1 C．23 D．2+3
50．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求作∠ACB的三等分线．
阅读以下作图步骤：
（1）分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线DE交AB于点F，交AC于点H，画射线CF；
（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交CF于点N；
（3）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BCF的内部交于点G，画射线CG，则射线CF,CG即为所求．
下列说法不正确的是（   ）

A．AF=CF B．FH=12CH C．CG⊥AB D．△BCF为等边三角形
51．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，△ABC的面积为16，且AB=AC，BC=4，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF．已知D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，则BM+DM的长度的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．217
👉题型14 利用三角形三边关系求解
52．（2024·湖南长沙·模拟预测）若3，6，x是某三角形的三边长，则x可取的最大整数为（   ）
A．10 B．9 C．8 D．7
53．（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2−9x+18=0的两个根，则该三角形的周长是（     ）
A．9 B．15 C．12或15 D．不能确
54．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子c2−a−b2的值（   ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
55．（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知等腰三角形的三边长分别是2，x，6，则这个等腰三角形的周长是（    ）
A．8+x B．10 C．10或14 D．14
👉题型15 利用三角形内角和定理求解
56．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°
57．（2024·湖南·模拟预测）如图，△BCD内接于⊙O，∠D=70°，OA⊥BC交交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（  ）

A．35° B．45° C．55° D．65°
58．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片ABCDE沿BP折叠，得到△BC'P，点C的对应点为点C'，BC'的延长线交DE于点F，若DF=EF，则∠BPC'的度数为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．72°
59．（2024·福建莆田·模拟预测）将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置在A4纸片上，其中点A，B分别落在纸片边上．若∠1=105°，则∠2的度数为（   ）

A．15° B．60° C．65° D．75°
👉题型16 三角形内角和与平行线的综合应用
60．（2024·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）

A．40° B．43° C．46° D．54°
61．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（∠E=30°）按如图方式摆放，使EF∥AB，则∠FPC=（     ）

A．105° B．115° C．75° D．90°
62．（2021·湖南娄底·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'//AB，则∠BAB'=（    ）

A．60° B．36° C．54° D．50°
👉题型17 三角形内角和与角平分线的综合应用
63．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，BD是△ABC的角平分钱，AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E，连接DE．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为（    ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
64．（2024重庆市模拟）如图，已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　　）

A．α2 B．α22023 C．α22024 D．90+α2
65．（2024·宁夏银川·二模）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC=130°，则∠BAC的度数为（    ）

A．50° B．65° C．75° D．80°
66．（2024·广东惠州·二模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B=44°，∠C=70°，则∠DAE的度数是（    ）

A．10° B．12° C．13° D．15°
👉题型18 与角度有关的折叠问题
67．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在△ABC中，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A，B都与点C重合，若∠NCF=20°，则∠ACB的度数为（）

A． 90° B． 100° C． 110° D． 120°
68．（2021·江苏常州·一模）如图，在△ABC中，∠B=70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（    ）

A．160° B．150° C．140° D．110°
69．（2024·四川广元·二模）如图，△ABC中，AB=AC，E是边AC上的点，先将△ABE沿着BE翻折，得到 △A'BE，，边A'B交AC于点 D，再将△BCD沿着 BD翻折，得到△BC'D，点C'恰好在BE上，此时 ∠CDB=80°，则∠A的度数是（     ）

A．20° B．25° C．30° D．40°
👉题型19 利用三角形内角和定理解决三角板问题
70．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，∠BAC=∠ADE=90°,∠B=45°,∠E=30°，点D恰好在BC上，且BC∥AE，则∠BAD的度数为（    ）

A．70° B．75° C．80° D．85°
71．（2024·江苏镇江·二模）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF，则∠CBF= °．

72．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠DGE=90°，∠E=45°，∠A=30°，AC与DG交于点F．若∠EDB=58.1°，则∠AFD的大小为（    ）

A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°
73．（2024·河北邯郸·二模）将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含45°角的三角板固定不动，将含30°角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转15°，如图2，此时α的度数 （填“增大”或“减小”）了 度．

👉题型20 利用三角形外角和定理求解
74．（2024·四川眉山·二模）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠A=85°，∠ACE=60°，则∠B= ．

75．（2024·安徽六安·模拟预测）把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得DE⊥BC，则AC与EF的夹角的度数为（    ）

A．10° B．12° C．15° D．18°
76．（2024·江苏扬州·二模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O内（O，C在AB同侧），∠AOB=66°，则∠C的度数可能是（    ）

A．33° B．43° C．24° D．23°
👉题型21 三角形外角性质与平行线的综合应用
77．（2024·湖北·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1=63°则∠2=（    ）

A．143° B．147° C．153° D．157°
78．（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，直线DE，EF相交于点E，若∠E=17°，AB∥CD，∠1=110°，则∠CDE=（    ）

A．110° B．93° C．90° D．83°
79．（2024·山西·模拟预测）已知直线m∥n，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，∠F=30°，另一直角三角板一直角边与直线n重合，∠C=45°，若BC∥EF，则∠MDE= ．

80．（2024·山西·模拟预测）如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a和直线b上，点C在直线a和直线b外，且AC⊥BC，若∠1=150°，则∠2的度数是（    ）

A．120° B．130° C．140° D．150°
👉题型22 三角形内角和定理与外角和定理的综合
81．（2024·安徽·模拟预测）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，且点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=α，则∠ADC的度数是（    ）

A．90°−α B．45°+α C．180°−2α D．30°+2α
82．（2024·山东临沂·模拟预测）如图所示，已知∠MON=55°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED的度数为 ．

83．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为 ．

1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，AB=32,AC=2，以BC为边作Rt△BCD，BC=BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（    ）

A．2+32 B．6+22 C．5 D．8
2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为（    ）

A．26° B．27° C．28° D．30°
3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
4．（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（　　）
A．1<AB<7 B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r<1 D．当AB=7时，△ABC是直角三角形
5．（2023·河北·中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(    )

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较
6．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．

1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（   ）

A．1.5 B．3 C．4 D．6
2．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ）
A．5 B．10 C．15 D．20
4．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是（    ）

A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'．当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为（    ）

A．65° B．70° C．80° D．85°
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（    ）

A．65° B．55° C．50° D．75°
7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°，BC=32，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N．连接BN．则AN的长为（    ）

A．2+3 B．3+3 C．23 D．33
8．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α0°<α<180°，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，则旋转角α的度数为（    ）

A．24° B．28° C．48° D．66°
9．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F，若∠CFB=α，则∠ABE等于（    ）

A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α
10．（2023·河北·中考真题）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上：若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=（    ）

A．42° B．43° C．44° D．45°
11．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试1:2:3，这个三角形是 三角形
12．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
13．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．

14．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．

15．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．

(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条