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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,第六章 微 分 方 程,6.1 微分方程基本概念,6.2 一阶微分方程,6.3 可降阶二阶微分方程,6.4 二阶线性微分方程,6.5 微分方程应用举例,第1页,6.1 微分方程基本概念,定义,例,偏微分方程.,常微分方程,.,第2页,微分方程,阶,:,微分方程中出现未知函数,最高,阶导数阶,数称之为微分方程,阶.,一阶,微分方程:,高阶,微分方程:,注意:,注意:,第3页,线性,与,非线性,微分方程：,第4页,微分方程解:,等式函数,称之为微分方程,解,.,代入微分方程能使方程成为,恒,第5页,微分方程解分类：,(1),通解,:,微分方程解中含有,任意常数,且,独立,任,意常数,个数,与微分方程,阶数相同,.,(2),特解:,不包含任何任意常数解.,第6页,初值问题:,求微分方程满足初始条件解问题.,过定点积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点切线,斜率为定值积分曲线.,初始条件:,用来确定任意常数条件.,通解图象:,微分方程积分曲线族.,解图象:,微分方程积分曲线.,第7页,解,第8页,所求特解为,第9页,注意：,第10页,思索题解答,中不含任意常数,故为微分方程,特,解.,思索题,第11页,6.2 一阶微分方程,第12页,一.可分离变量微分方程,则称原微分方程为,可分离变量微分方程.,可分离变量微分方程,第13页,解法：,称为所给可分离变量微分方程,隐,函数形,式通解.,第14页,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,第15页,例2,解,第16页,二.齐 次 方 程,定义,微分方程称为,齐次方程,.,第17页,解法:,令 ,代入原方程，得,可分离变量微分方程.,第18页,例 3,求解微分方程,微分方程解为,解,第19页,例 4,求解微分方程,解,微分方程解为,第20页,三.一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,标准形式:,(1)称为,齐次方程,.,(1)称为,非齐次方程,.,比如,线性,;,非线性,.,第21页,1.先求线性齐次方程 通解：,一阶线性微分方程解法,齐次方程通解为,用分离变量法,第22页,2.再求线性非齐次方程 通解：,讨论,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解,相比，不难看出：,第23页,只要在齐次方程通解 中，,积分得,第24页,故一阶线性非齐次微分方程通解为:,称为,常数变易法,.,把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法，,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,第25页,解,例1,第26页,例2,如图所表示，平行于 轴动直线被曲线,与 截下线段,之长数值上等于阴,影部分面积,求曲线 .,解,两边求导得,第27页,代入方程 ，得,故 所求曲线为,第28页,伯努里(Bernoulli)方程标准形式,方程为,线性微分方程,.,方程为,非线性微分方程,.,解法:,需经过变量代换化为线性微分方程.,四.伯努里方程,（Bernoulli，1654-1705，瑞士）,第29页,代入上式,得,第30页,解,例 3,第31页,例4,用适当变量代换解以下微分方程:,解,代入原方程，得,故 原方程通解为,第32页,解,所求通解为,第33页,1、分离变量法步骤:,1）分离变量;,2）两端积分-隐式通解.,小 结,2、齐次方程,3.线性非齐次方程,4.伯努里方程,第34页,6.3 可降阶二阶微分方程,第35页,解,第36页,第37页,解,第38页,第39页,例 3,解1,第40页,解2,第41页,例 4,解1,解2,故通解为,第42页,解3,两边积分,得,故通解为,第43页,6.4 二阶线性微分方程,二阶线性微分方程普通形式,方程为,齐次方程,；,方程为,非齐次方程,.,n,阶线性微分方程,第44页,一.二阶线性微分方程解性质与通解结构,问题:,1.二阶齐次方程解结构:,定理1,（齐次方程解叠加原理）,第45页,证,代入方程（1）,左端，得,证毕,第46页,定义,比如,线性无关,.,线性相关,第47页,定理2,证实略,推论,比如：,线性无关,，,线性无关,，,线性无关,.,第48页,定理3,（齐次线性方程通解结构）,证,第49页,2.二阶非齐次线性方程解结构:,定理4,（非齐次线性方程通解结构）,证,第50页,第51页,定理5,（非齐次方程解叠加原理）,证实略,第52页,二.二阶常系数线性齐次方程解法,二阶常系数线性齐次方程标准形式,第53页,特征根法,第54页,1*特征方程有两个不相等实根,第55页,2*特征方程有两个相等实根,此时，只好到方程(1)一个特解,=0,=0,第56页,3*特征方程有一对共轭复根,第57页,第58页,第59页,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例2,第60页,解,第61页,二阶常系数,线性,非齐次方程,对应齐次方程,非齐次方程通解结构,关键,：,方法,：,待定系数法.,三.二阶常系数线性非齐次方程解法,第62页,代入原方程得,第63页,总而言之,第64页,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,故 原方程通解为,例1,第65页,作辅助方程,第66页,第67页,注意：,第68页,解,作辅助方程,代入（*），得,例2,对应齐次方程通解,（取虚部）,原方程特解为,原方程通解为,第69页,例3,解1,对应齐次方程通解,作辅助方程,代入辅助方程，得,第70页,原方程特解为,原方程通解为,（取实部）,第71页,解2,对应齐次方程通解,代入原方程，得,原方程通解为,第72页,6.5 微分方程应用举例,解,第73页,第74页,解,第75页,特征根为,第76页,解,第77页,第78页,第79页,解,第80页,特征方程,特征根,第81页,
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