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出处：IEEE TRANSACTION OF FUZZY SYSTEMS,1996,4(1): 14-23.

非线性模糊控制系统稳定及设计问题的解决方法
摘要: 本文针对一类非线性系统稳定性问题提出一个设计方案。首先，用T-S模糊模型来描述一个非线性对象。然后，应用所谓的“并行分布补偿”的概念设计一个基于模型的模糊控制器。控制器设计的主要思想是导出每条控制规则，以便对模糊系统的每条规则进行补偿。该设计步骤在概念上简洁自然。而且，稳定性分析和控制器设计问题都可以归纳为线性矩阵不等式问题（LMI）。因此，这些问题可以应用线性矩阵不等式的凸规划方法进行有效解决。文中将该设计方法将应用在小车倒立摆平衡和起摆的这一实际问题上。
1介绍
近年来，人们对模糊控制的兴趣日益升温，并且这种控制方法已有许多成功的应用典范。尽管取得这些成就，但是很明显，模糊控制的一些基本问题仍需深入解决。而系统设计和稳定性分析无疑是这些问题中的重点。最近，在这方面已取得了重要的研究成果[1-6]。
本文尝试为一类模糊非线性系统提出一种系统设计方法。对于非线性系统已有许多控制方法。典型的方法是反馈稳定非线性系统法，在该系统中设计一个线性反馈控制以用来将系统中的不定参数工作点线性化。然而，这种方法一般只是得到一个局部性结果。其他方法[14]如反馈线性化控制是十分复杂的，往往导致所得出的控制器很复杂。
在这篇文章中提出一种概念上简单而且直观的非局部方法。线性反馈控制方法可以应用在反馈镇定的实例中。步骤如下：首先提出一个T-S模糊模型表示的非线性对象，在这种模糊模型中，不同状态太空间区域的局部动态特性由线性模型表示。系统的整体模型可由这些线性模型进行模糊化混合而得到。即这种控制设计是由基于所谓的并行分布补偿方案的模糊模型所实现的。这种思想就是针对每一个局部线性模型都设计一个线性反馈控制，控制器的整体结果是由每个单独的线性控制器进行模糊混合而成，这样的控制器一般来说是非线性的。
这篇文章以模糊控制非线性系统的方法处理稳定和设计问题。模糊模型和模糊控制系统的稳定条件都已给出。该设计步骤旨在提出稳定的模糊控制器设计法。更重要的是，稳定性分析和控制器设计问题都可归纳为线性矩阵不等式问题。在数值上LMI问题可以用过一些功能强大的数学工具得以有效地解决。这些数学工具可以在数学规划类文献中索引。因此，将稳定性分析与控制器设计问题作为LMI问题重述相当于为解决根源问题提供了方法。以LMI问题重述模糊控制系统的稳定和设计问题首先是[11-12]中提出的。为了说明这种设计方法，将其应用在小车倒立摆的平衡与起摆问题上。
本文的结构如下：主要结论在第二部分提出，T-S模糊模型分析在第二部分A中提出。在第二部分B中，将控制器设计看成并行分布补偿问题。在第二部分C中，包含对LMI的介绍以及用LMI方法对模糊控制稳定性分析和设计结果进行讨论。在第三部分中用一个详细的例子加以说明，即小车倒立摆的起摆和平衡问题。第四部分得出结论。2稳定性分析 并行分布补偿和线性矩阵不等式
为了简洁，本文只给出离散系统的结果。但该结果对于变动不大的连续系统仍然适用。为了说明设计步骤，我们把这一结论应用在倒立摆平衡问题上，该系统为连续系统。在建议性的设计步骤中，首先以一个T-S模糊模型给出一个非线性对象，这个模糊模型简洁自然。系统的动态特性由一系列在动态空间具有局部连续的一套模糊蕴含（规则）得到。T-S模糊模型的主要特点是用一个线性系统来表达每条模糊规则的局部动态特性。整个系统的模糊模型由线性模糊模型混合而成。特别地，T-S模糊系统由if-then模糊语句来描述，这些语句代表局部的线性输入输出。模糊系统的形式如下：
规则 i：IF 为… 且为
THEN =+
其中
…

i=1,2,…,r且r是IF-THEN则的数量。是模糊集合，且为第i条输出的IF-THEN规则。给定一对，模糊系统的最终输出推导如下
(1)

开环系统（1）为
(2)
假设对于所有的 k 使
每个线性分量叫做一个
A 用李雅普诺夫方法进行稳定性分析
为保证（2）式稳定，由高木关野[2]推导的稳定充分条件如下给出：
定理1[2]：模糊系统大范围线性稳定条件即存在任意正定矩阵P满足
(3)
而这个任意正定矩阵P必须存子系统中。
这个定理推导出了当r=1时离散线性系统的李雅普诺夫稳定定理。定理1的稳定条件由一个二次型函数 所导出。如果存在一P>0，这样证明了系统（2）式的稳定性。系统（2）也被称作二次型李雅普诺夫函数。这样，定理1表明了系统（2）的充分条件。通常认为不存在一个系统的步骤方法来找出一个任意正定矩阵P来证明模糊系统（2）的稳定性。多数情况下使用试凑法[2]。在[10]中给出了一个构建二阶模糊系统的步骤（状态维数n=2）。
本文提出对于找任意正定矩阵P的问题可以由LMI中的凸优化技巧有效的解决[15]。用LMI问题表达定理1的稳定条件。为检查稳定性，需要找到一个P矩阵或说明这样的P不存在。这就是一个LMI问题（详见第二部分C中关于LMI及其相关方法分析和模糊控制系统设计）在数值方面LMI问题可以由一些强大的工具来解决，这些工具可以在数学规划类文献中检索到。例如，最近发展的内点法[16]，其在实践中的应用相当有效。关于系统（2）自然会产生这个问题：如果它的所有子系统都稳定（即所有都稳定）那么这个系统是否稳定。这个问题的答案通常是否定的，通过以下例子可以说明。
例1：考虑模糊系统：
规则1： IF 为（如小）
THEN
规则2: IF 为（如大），
THEN
其中： 并且
图1表示了 的隶属度函数。

图1 例1的隶属度函数 图2 例1 的响应（a=1）
由于和是稳定的，所以线性子系统稳定。然而，对于某些初始条件该模糊系统可能不稳定。正如图2所示初始条件时的响应。需要说明的是，该模糊系统在仅0的临域是稳定的（这也表明该模糊系统是局稳定的）。由于不稳定，显然不存在矩阵P>0. 这从是从分析上得到，而且该结果也可以通过涉及LMI的最优算法在数值上表示。
存在一个有趣的问题，即在什么初始条件下，模糊系统稳定（或不稳定），这由研究吸引域的根源决定。图三展示了对于a=1时的吸引域。黑色部分表示不稳定区域（水平轴是）。它形象地表示了吸引域随隶属度函数不同而变化。该例子说明吸引域是如何变化的。
图3（b）（c）（d）表示了a不同取值所对应的吸引域。可以看出，随a从1一直减小，吸引域也在变小。因此模糊系统的吸引域与隶属度函数有关。在所举例子中当a=∞时，模糊系统变为：，这是全局线性渐进稳定的。

（a） （b）

（c） （d）
图3 例1的吸引域 （a）a=1, （b）a=0.5 （c）a=0.25 （d）a=2.0

关于这个特殊的例子可以用一个有趣的解释来说明吸引域与隶属度函数有关。当推理过程变得更为模糊时（精确），更为模糊的决策导致更大的吸引域，而更为精确的决策导致更小的吸引域。
此例说明，当我们选择模糊规则和隶属度函数时，必须将稳定性问题考虑进去。如何系统地选择规则和隶属度函数以保证满足所描述的稳定特性，是一个有趣的话题。在下一小段中，我们将用并行分布补偿来考虑控制器设计问题。
B 并行分布补偿
应用并行分布补偿（PDC）概念来设计稳定模糊系统的控制器。该思想是为模糊系统的每条规则做补偿。图4说明了PDC的设计概念。整个控制器是每个单独线性控制器混合而成的，一般来说是非线性的。控制器与模糊控制系统（1）有相同的模糊集。
规则i: IF 是…且是
THEN
其中 。这样模糊控制器为
(4)
注意：模糊控制器（4）一般是非线性的。把（4）代入（1）是可得
(5)
当应用定理1时我们有如下的稳定充分条件。

图4 并行分布补偿设计（PDC）

定理2：模糊控制系统（5）大范围渐进稳定的条件是，存在一个正定矩阵P满足

对于 (6)
注意系统(5)也可以写作
(7)
其中

定理3：模糊控制系统（5）大范围渐进稳定的条件是，存在一个正定矩阵P满足
(8)
(9)
控制器的设计是选择，以便满足定理三中（8）（9）的2条件。应用二次型稳定的概念，我们也可以把控制器设计问题看成找到，这样闭环系统为二次型稳定。如果这样的存在，就可以说该系统是由PDC设计的二次型稳定。
一般来说，首先为每条规则设计出一个控制器。然后再检查稳定条件是否满足。用LMI凸规划技巧来解决稳定性分析问题。如果稳定条件不满足，必须重新设计（参见第二部分）即LMI如何可以直接用来解决控制器设计问题）。控制器设计问题可以从分析上解决。这里，注意一些特殊的例子。假设（）可控。 如果（）选择使
(10)
这里G是赫尔维茨矩阵。存在P使
由于（10） 且
由定理3可得如下定理。
定理4 在时，通过模糊PDC控制器可以使模糊控制模型成为大范围渐近稳定，此时满足（10）。需要指出的是，即使可控，常数矩阵G可能不存在。
例2：考虑模糊系统：
规则1： IF 为
THEN ，
规则2： IF 为
THEN ，
其中 与例1相同。
应用PDC控制器（4）并且选择闭环特征值为，可得

且
闭环系统变为 因为G稳定所以它稳定。
下面考虑跟一般的例子。
例3 考虑模糊系统：
规则1：IF 为
THEN ，
规则2：IF 为
THEN ，其中与例1相同
且 ，
仿真用例1的隶属度函数（a=1）再次选择闭环特征根为 我们得到

且 ，
注是稳定的。
PDC控制器为
规则1： IF 为
THEN
规则2： IF 为
THEN
如果选择正定矩阵P为 可以容易的看出满足（8）(9)稳定条件。换句话说，由模糊模型和PDC控制器组成的闭环模糊控制系统是全局渐进稳定的。P可以由LMI优化算法得到。图5展示了与图二具有相同初始值的模糊控制系统的效果。
该设计步骤代表了一大类系统的模糊模型和模糊控制器的系统设计框架。图6表示基于模糊控制的模糊设计方法。加入LMI方法分析和设计是实践中解决这些问题的有效方法。在下一段，提出LMI方法，以及应用该方法对模糊控制系统进行稳定性分析和设计。

图5 例3的响应曲线 图6 基于模糊模型的模糊控制设计
C 应用LMI进行稳定性分析和设计
最近，一类叫做数值优选问题的LMI问题得到了重大关注[15]。这些优选性问题可以用多项式时间算法解决，至少理论上感知是易处理的。最近发展起来的内点法[16]，是已知在实践中解决这些问题非常有效的方法。对于系统和控制来说，LMI优选的重要性源自这样的事实，即除了一小部分特殊的问题没有分析办法外，许多不同系统及其控制问题都可作为LMI问题进行重新描述[15]。但重要的一点是，通过LMI框架，所有情况都可以在数值上得以有效的解决。因此，把控制问题作为LMI问题进行重新描述，等于找到了解决根源问题的方法。
定义一[1]：线性矩阵不等式（LMI）是一个具有如下形式的矩阵不等式
（11）
此处=）是变量，对称矩阵是已知的。不等式符号＞0表明F（x）是正定的。
LMI（11）在x上是个凸约束，也就是说集合｛x｜F（x）＞0｝是凸集。LMI（11）可以代表在x上不同变化的凸约束。特别地，线性不等式，凸二次型不等式，矩阵标准不等式以及在控制理论中出现的约束如李雅普诺夫与凸二次矩阵不等式，这些都可以用LMI形式描述。复杂LMI中的＞0， 可以以简单的表达为LMI diag（…，）＞0。
通常在LMI中，变量为矩阵，例如，李雅普诺夫不等式
＜0 （12）
其中已知，是变量。在该例子中LMI不能以F（x）＞0的形式精确写出。除了保存图像，还有很多有效计算[15]。当然，不等式（12）可以容易的写成（11）的形式：令，...是对称矩阵n*n的基。
LMI问题[15]：设LMI F（x）＞0，LMI问题是找到使F（）＞0，
或者判定LMI不存在。这是一个凸可行性问题。
举一个例子，在定理1中李雅普诺夫稳定条件是一个LMI问题：设，需要找到P满足 P>0, 或说明那样的P不存在。
本文所遇到的稳定条件以LMI形式表示。稳定性分析和控制器设计可以用凸最优化算法解决，所以重述LMI问题是有意义的，即在T-S模糊模型和PDC设计框架下解决稳定性分析和控制器设计问题。
文章中提出的设计步骤包括一个迭代过程。对于每一个控制器规则的设计都只考虑局部效果，然后实施LMI稳定性分析以检查稳定条件是否满足。在不满足稳定条件的情况下，该条规则的控制器需要重新设计。在我们的经验中，迭代设计步骤是十分有效地。但是从控制器设计角度，则更希望直接得到满足闭环系统的控制器。这就是被称为在T—S模糊模型和PDC框架下的控制问题。该问题可由LMI方法解决。这里对LMI方法做简单叙述。详细内容在其他地方介绍。
假设r=1的情况下，也就是说只有一个IF-THEN规则，（1）成为一个线性不变系统。
（13）
对于一个给定的控制增益F，应用线性时不变系统的标准稳定定理或定理2，系统（13）是二次型稳定的条件是，存在P＞0，使
（14）
控制设计问题是找到一个状态反馈增益F，这样闭环系统才是（二次）稳定的。如果这样的F存在，该系统被称作可二次型稳定（通过线性反馈）。二次型稳定问题可以作为LMI问题重述。（14）的条件不是联立凸阵F，P。在不等式的左右两边乘以，并且定义一个变量，把（14）重写为
（15）
定义，，得出代入（15）得
（16）
该非线性不等式可以用舒尔补矩阵[15]转化为LMI形式。LMI结果为在Q和K中

（17）
若存在Q>0与K,使LMI（17）成立。状态反馈增益
基本的LMI控制设计方法很容易推广到多规则（r>1）的T-S模糊模型中。例如，一个通过线性状态反馈的T-S模糊模型可以用K 和Q以如下LMI问题描述：

其具有反馈增益
为了能应用PDC设计方法进行T-S模糊模型控制，LMI的控制设计方法得到了很大发展。
一些重要的评注如下：
评注一：本文提出的稳定条件，不仅保证模糊模型及模糊控制系统的稳定，而且也保证了相关的不确定线性时变系统（LDI’s）与非线性系统都满足一定的全局或部分稳定条件。这样在模糊模型上工作良好的控制器，在实际系统的应用中也很可能较好的工作。这一点将在文章的下一段应用实践中明确证明。
评注二：本文所提到的稳定性分析和控制器设计结果对于连续系统也成立。我们用连续系统的李雅普诺夫不等式代替离散系统中的李雅普诺夫不等式。文章的下一段，将PDC方法应用在连续系统。
三 应用：小车倒立摆
为说明PDC方法，考虑小车倒立摆的平衡和起摆问题。倒立摆的运动方程为[18]

（18）
其中表示垂直方向的摆角，为角度速率。g=9.8m/为重力加速度常数，m是摆的质量，M是小车的质量，2l是摆的长度，u是加在小车的力。a=1/（m+M）。在仿真[17]中，令m=2.0kg，M=8.0kg，2l=1.0m
A 二规则模型与控制
该小节的控制目标是使倒立摆逼近最大摆角（-π/2，π/2）。应用PDC方法，我们必须用一个模糊模型来表示动态非线性对象。因此，首先用T-S模糊模型表示系统（18）。为降低设计的复杂程度，我们尽可能用少量规则。注意当时系统不可控。这样用如下两条模糊控制规则趋近该系统
规则1：IF 约等于0
THEN ，
规则2：IF 约等于 （）
THEN
其中

。 规则1 2的隶属度函数如图7所示
对于与，取闭环系统特征根[-2,-2],可得
[-120.6667] [-2551.6 -764.0] (19)
由此可得：

图7 二规则模型隶属度函数
且 注意是赫尔维茨矩阵。
用LMI最优化算法可得：

(20)
可以容易的得出如下的稳定条
(21)
综合PDC控制法则为
规则1： IF 约等于0
THEN u=，
规则 2： IF 约等于
THEN u=
即 （22）
其中与分别是1和2的隶属度数值，该（非线性）控制法则保证了模糊控制系统的稳定性（模糊模型+PDC控制）。为进一步表明PDC控制效果。我们把控制器应用到原来的系统（18）。
仿真表明该控制法则可以使倒立摆在初值[](=0)平衡。相反，单独用线性控制u=不能在||>的初始条件下使倒立摆平衡。图8表明系统分别应用线性控制和模糊PDC控制对于不同初始条件的响应。此时，且。实线是模糊控制器的响应，点线是表示带有线性控制器的响应。图9表明带有模糊控制器的闭环响应，初始条件，

图8 线性和二模糊规则角度响应 图9 二模糊规则角度响应

非线性控制法则可以使非线性对象（18）在初始角度 的条件下使倒立摆平衡。然而这些控制法则通常是复杂的。如一个控制法则为[17]
u=k（） 其中

都是特殊化的闭环特征根。 （23）
另外，PDC设计直观简单，控制器设计结果也简单。
B 四规则模型与控制
假设小车倒立摆有如下结构，其工作空间为全圆周[-π，π]。在这一小节中我们把结果扩展到[-π，π]的范围除π/2的小范围。将倒立摆的角度范围平衡在π/2<π/2叫做倒立摆起摆控制。考虑到π/2时系统不可控，再给模糊模型加两条规则（规则3，4）
规则1：IF 约等于0
THEN，
规则2： IF 约等于 （）
THEN
规则3：IF 约等于 （）
THEN
规则4： IF 约等于
THEN
其中 ，， ， 与上面相同并且

四条规则的模糊模型如图10所示

图10 四规则隶属度函数
再一次选择闭环特征根[-2,2]，对于 可得
[2551.6 764.0]
[22.6667 22.6667]
可得 与
是赫尔维茨矩阵。

图11 四模糊规则角度响应 图12 m改变的闭环响应

可以看出（19）中的P 附加稳定条件：
i=3,4 (24)
(25)
在个成员值 都没有重叠。这样只有需要稳定性检验。
PDC控制器为
规则1：IF 约等于0
THEN ，
规则2：IF 约等于 （）
THEN ，
规则3：IF 约等于 （）
THEN
规则4： IF 约等于
THEN
也就是 （26）
这个模糊控制规则保证了模糊控制系统（四规则模糊模型+PDC控制）的稳定。该控制器将被应用在原系统（18）以便评估它的性能。仿真结果证明控制器（26）可以在所有初始角度使倒立摆平衡，除了当在很小的区域 。该小区域可以通过添加更多的模糊规则进行缩减。图十一表明了闭环系统在不同初始条件下的响应。 且=0。注意，非线性控制器（23）没有应用在。
表一给出了线性，非线性，模糊控制设计的比较

表一 不同控制器的比较

工作范围
是否简单
稳定性
线性
（-π/4π/4）
是
局部
非线性
（-π/2 π/2）
否
非局部
模糊PDC
（-π π）
是
非局部

为检查控制器的鲁棒性，进行如下仿真：1）m由2.0kg变到4.0kg 2）M由8.0kg变到4.0kg 3）2l由1.0m变到0.5m。对每种情况，闭环系统仿真时用如下初始条件，且。这些结果由图11，12，13，14表示。

图13 M改变时闭环角度响应 图 14 l改变时闭环角度响应

四 结 论
文中提出模糊模型和模糊控制系统的稳定条件。模糊系统的吸引域与隶属度函数相关。本文提出了为一类基于T-S模糊模型和并行分布补偿的非线性系统的稳定设计方法。该设计步骤概念上简洁自然。并且稳定性分析和控制器设计问题都可归结为LMI问题。因此，在实践中这些问题可以用LMI的凸规划技巧有效解决。设计方法由一个实际应用的例子——小车倒立摆平衡和起摆来说明。

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