用利fexp方法求1-1维benjamin-ono方程的精确解--本科毕业设计.doc

2010年度本科生毕业论文（设计）

利用F-EXP方法求(1+1)维
Benjamin Ono方程的精确解

院 － 系: 数学学院 数学与应用数学系
专 业: 数学与应用数学
年 级: 2006级
学生姓名: 李彩云
学 号: 200605050115
导师及职称: 丁玉敏（教授）

2010年5月

2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate

F-EXP function Method for Solving Exact
Solutions of Benjamin Ono Equation

Department: College of Mathematics
Major: Mathematics and Applied Mathematics
Grade: 2006
Student’s Name: Li Caiyun
Student No.:200605050115
Tutor: Ding Yumin（Professor）

Finished by May, 2010
毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知,除文中已经注明引用的内溶外,本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明确说明并表示谢意.

作者签名: 李彩云 日期: 2010年6月12日

毕业论文（设计）授权使用说明

本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定,学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定.

作者签名:李彩云 指导教师签名:

日期: 2010年6月12日 日期:

李彩云毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单

姓名
职称
单位
备注
龙瑶
教授
数学学院
主席（组长）
丁玉敏
教授
数学学院

谌孙康
讲师
数学学院

何应辉
讲师
数学学院

红河学院本科毕业论文（设计）

摘要

利用F-展开法与指数函数方法相结合并借助Maple软件，求出了(1+1)维Benjamin Ono方程的大量的新的精确解，包括各种孤立波解和三角函数周期波解.

关键词: F展开法;Exp函数方法;广义Riccati方程; (1+1)维Benjamin Ono方程;
F-Exp方法

红河学院本科毕业论文（设计）
ABSTRACT

Using the combination of F-expansion method and the exponential function method , the help of Maple software, to find the (1+1)-dimensional Benjamin Ono equation of a large number of new exact solutions, which include solitary wave solutions and triangular function periodic wave solutions.

Keywords: F-expansion method; EXP-function method; Generalized Riccati equation; (1+1)-dimensional Benjamin Ono equation; F-Exp method;

红河学院本科毕业论文（设计）
目 录

第一章 引言 1
第二章 Benjamin Ono方程的精确解 2
2.1F-EXP函数法的基本思想 2
2.2 广义Riccati方程的精确解 2
2.3 Benjamin Ono方程的求解及对解的变换和分析 10
2.3.1 Benjamin Ono方程的一般解 10
2.3.2 Benjamin Ono方程的精确解 11
第三章 结论 16
参考文献 17
致谢 19

红河学院本科毕业论文（设计）
第一章 引言

随着计算机代数理论的发展,许多复杂的代数计算可通过计算机来完成，非线性数学物理方程精确解的构造成为了科学家的主要研究对象.由于对非线性微分方程没有统一的求解方法,因此近年来一些特殊的方法相继被提出.利用计算机代数理论开发的符号计算软件如Mathematica和Maple等被广泛应用, 在非线性发展方程方面，为了求其精确解，研究人员对力学及物理学中的一些重要方程进行了系统深入的研究.
在文献[1]中，戴世强研究了具有自由面的上部为浅层的大深度分层流体中的代数孤立波，考察其垂向结构所对应的本征值问题，给出了二维Benjamin Ono方程的一个解析解，并根据色散关系作了物理解释. 在文献[2]中，张领海用Leray-Schauder不动点定理与积分先验估计,研究一类带奇异积分微分项的Benjamin Ono方程的Cauchy问题,证明了该问题整体弱解的存在性. 在文献[3]中，韩效宵,郝海龙通过引入新的函数空间和采用一些特殊的技巧，对高阶Benjamin Ono方程在时解的渐近行为做了比较深入细致的研究. 在文献[4]中，张鸿庆,张玉锋利用屠格式求出了Benjamin方程的Bcklund变换、精确孤波解、非线性叠加公式及其无穷守恒律.在文献[5]中，jian-pingWeng研究了下列(1+1)维Benjamin Ono方程
(1-1)
并使用其次平衡思想[6]和规则地混合指数函数[7]构建试探解，从而获得方程(1-1)的一些解析解.本文将F-展开法[8-10]和EXP-函数方法[11-13]相结合(简称F-EXP方法[14])，再次研究方程(1-1)，获得了许多的新的精确解.

11

第二章 Benjamin Ono方程的精确解

2.1F-EXP函数法的基本思想
F-EXP方法是F-展开法与EXP-函数方法的有机结合.即:对于给定的一个非线性偏微分方程
, (2-1)
其中为及的各阶偏导数的一个多项式.
(1) 令, (2-2)
其中为待定常数,利用(2-2)式，可将(2-1)式化为的常微分方程：
, (2-3)
其中分别表示对求一阶、二阶、三阶……导数.
(2)设 , (2-4) 其中为待定常数，是非负整数，可由(2-3)式中具有支配地位的非线性项与最高阶导数项之间通过齐次平衡法来确定,且满足下列广义Riccati程:
, (2-5)
其中为待定常数.将(2-4)式代人(2-3)式并利用(2-5)式，可将(2-3)的左边化为关于的多项式.令的各次幂的系数为零，得到关于，,的代数方程组，解此代数方程组，并将结果代人(2-4)式,就得到方程(1-1)用表示的行波解的一般形式.
(3)利用EXP-函数方法求出方程(2-5)的指数函数解，代人第(2)步中所得到的一般
解中，从而得到方程(1-1)的指数函数解或孤立波解.
2.2 广义Riccati方程的精确解
根据Exp方法，可设方程(2-5)的解为：

(2-6)
其中为待定常数.将(2-6)式带入(2-5)式，有 (2-7)
其中为常数.令(2-7)式中的系数为零，有
(2-8)
解关于的代数方程组(2-8), 得到如下六十一组参数值，相应就得到方程(2-5)的
七十八个解，表一如下：
表一(广义Riccati方程精确解)
序号
参数值
广义Riccati方程的解
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

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43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

2.3 Benjamin Ono方程的求解及对解的变换和分析
2.3.1 Benjamin Ono方程的一般解
为求(1-1)方程的一般解，作行波变换
(2-9)
其中为待定常数，将(2-9)式带入(1-1)式，可将(1-1)式的左端化为关于的ODE
(2-10)
其中分别表示对求四阶、一阶、二阶导数.由方程(2-10)中的非线性项和最高阶导数项 齐次平衡，得.故可设
, (2-11)
其中为待定常数，且，满足广义Riccati方程(2-5). 利用(2-11)
式与(2-5)式可将(2-10)的左边化为关于的多项式.令的各次幂的系数为
零，得到关于,,的代数方程组：

解上述代数方程组得到：
(2-12)把(2-12)式代入(2-11)式可得：
(2-13)
2.3.2 Benjamin Ono方程的精确解
将表一中适合条件的广义Rccati方程的精确解代入到(2-13)式中可求得(1-1)的三十一个精确解：

如：

若令其中，为非零实数，则可将上述孤立波解分别化为如下的三角函数周期解：

15
利用软件将几个典型波形图绘制如下:

图(a)孤立尖波 图(b)光滑的孤立波 图(c)紧孤波

图(d)孤立波 图(e)周期波 图(f)周期波

图(g)周期爆破波 图(h)周期波 图(i)周期爆破波
对上述波形图进行分析：
图(a)孤立尖波解
图(b)光滑孤立波解
图(c)紧孤波解
图(d)孤立波解
图(e)周期波
解
图(f)周期波解
图(g)周期爆破波解
图(h)周期波解

图(i)周期爆破波解

19
第三章 结论

本文借助一种新方法：F-EXP方法，即将F-展开法与EXP-函数法两种方法巧妙结合.首先将非线性偏微分Benjamin Ono方程经过行波变换化为常微分方程，然后解代数方程组得其一般解，再把广义Riccati方程的指数函数型精确解代入到Benjamin Ono方程的一般解中，进而求得(1+1)维Benjamin Ono方程的大量的新的精确解，包括各种孤立波解、三角函数周期波解.最后利用Maple软件画出了几种典型的波形图，这样使本文的精确解有了更形象直观的解释.
本文的方法在求解非线性发展方程中有很好的效果,因此也可以用到其他的非线性发展方程中去.但本文只应用前文广义Riccati方程的一种指数函数解对Benjamin Ono方程进行研究,对它只做了一部分工作,因此还需要进行更多情况下的讨论研究.作者拟在今后的研究中对此问题进行更深的研究,以期得到非线性Benjamin Ono方程的更丰富、更完美的解.

参考文献

[1] 苏晓冰,魏岗,戴世强.分层流体中的二维代数孤立波及其垂相结构[J].应用
数学和力学,2005,26(10):1144-1151.
[2] 张领海.广义三阶Benjamin Ono方程[J] .数学物理学报,1993,13(4):473-479.
[3] 韩效宵,郝海龙.高阶Benjamin Ono方程解的衰变性质[J].数学年刊,A辑,1996
17(2):163-172.
[4] 张鸿庆,张玉锋.Benjamin方程Backlund变换,非线性叠加公式及无穷守恒律
[J].应用数学和力学,2001,22(10):1017-1021.
[5] 翁建平.Benjamin Ono方程的一些解析解[J].云南师范大学学报,2007,27(4):
49-53.
[6] 范恩贵,张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法[J].物理学报,1998,47(3):
350-353.
[7] 徐桂琼, 李志斌等. 构造非线性发展方程弧波解的混合指数方[J].物理
学报,2002,51(5):946.
[8] 李向正,闫杰生.kdv方程的一种新解法[J].河南科技大学学报,2005,26(3):
73-75.
[9] 刘力华,鲁朝.求解非线性发展方程精确解的辅助方程法[J].内蒙古大学学
报,2008,39(2):234-240.
[10] 杨明周,李春. 辅助方程法在求解广义Boussineq方程的应用[J].红河学院
学报,2007,5(5):17-19.
[11] 刘玉堂,李富志. 指数函数方法及其在非线性发展方程中的应用[J].计算
机工程与应用,2009,45(2):68-70.
[12] 蒋永清,吴红玉.利用指数函数法求解变系数kdv方程[J].绍兴文理学院学
报.2007,27(10):49-53.
[13] 王军帽,张睿,张文亮等.Exp函数法与Fisher方程新的精确解[J].安徽大学
学报.2009,33(1):53-56.
[14] Yumin Ding .Exp-function Method Combined with F-expansion Method
for obtaining New Exact Solutions of 2+1-Dimen-sional Boussinesq Equation
[J].Math.Sci.Res.J.13(6)2009.

致谢

在本文的撰写过程中,丁玉敏老师作为我的指导老师,他严肃的科学态度，严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到论文的最终完成,丁老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在这过程中,不仅使我接受了新的思想观念,树立了明确的目标,领会了基本的思考方式,而且还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.正是由于他在百忙之中多次审阅和指导,对一些细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见,本文才得以成型.
在此特向丁老师致以衷心的谢意！向他无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！同时,四年来,我的领导、师长及同学给予我许多关心和帮助,使我终生受益,我也真心地感谢他们.
此外,本文还参考了大量期刊杂志,由于参考期刊太多,不能一一注明,敬请原谅,并向所有作者和刊物致以诚挚的谢意！由于本人水平有限,纰漏之处在所难免,恳请各位老师不吝赐教.