高校后勤集团经营的综合分析及其预测数学建模范文-毕业论文.doc

题目 高校后勤集团经营的综合分析及其预测
摘 要
由于教育事业的发展产生了高校后勤集团，本文运用主成分分析法，对后勤集团经济效益指标、发展能力指标、内部运营指标进行综合评价，并且对未来五年进行预测。
问题一要求分别对后勤集团的进行综合分析。首先需要对题目所给的影响经济效益指标、发展潜力指标以及内部运营情况的因素进行数据化处理，采用主成分分析法，从中得出三个函数：

其次，通过软件可以计算出这三种指标的相关系数，最终列出每个指标在每一年中的主成分数量。经过比较，可得出以下结论：
经济效益都呈现增长趋势，年效益垫后，而年效益靠前；发展能力都呈现增长趋势，年效益垫后，而年效益靠前；内部运营优劣在不停变化，年效益垫后，而年效益靠前。
问题二要求分析这些指标表现优劣的年份以及未来五年走势。整合数据得到六个主成分的模型，分别拟合出经营收入、年终结余、资本积累率、营业增长率、总资产周转率、人均产值这六个成分的图像，最后通过得出的六个模型代入未来五年的预算中发现经济效率随着时间的推移，经济效益指标中的经营收入、年终结余越来越多，发展能力指标中的资本积累率、营业增长率呈陡峭斜率上升，上升迅速，内部运营情况中的总资产周转率越来越低，人均产值则越来越高，因此经济效率指标、发展能力指标和内部运营情况都在向好的方向发展。
本论文通过主成分分析解决了对指标的综合分析，通过拟合的方式作出了合理的预测分析。

关键词 主成分分析 非线性最小二 拟合

一、问题重述
1.1背景分析
随着高等教育体制改革的发展，高校后勤集团渐渐出现。高校后勤社会化改革,以吸纳社会资金建设学生公寓与学生食堂作为突破口,纷纷吸引社会力量办学,高校办学条件尤其硬件设施得到很大改善, 高校后勤集团是高等教育改革发展的产物。由于他是独立核算、自主经营、企业化管理的经济实体，在经营过程中，不得不讲效益，对成本费用精打细算，对收入利润总期盼越多越好，他必须追求经济效益。这一对矛盾，导致了后勤集团在财务管理上存在诸多问题。
1.2问题重述
已知某高校后勤集团从年至年的运营指标，其中包括经济效益指标、发展能力指标、内部运营指标以及客户满意度指标。根据这些信息，我们需要解决如下问题:
1）对经济效益 、发展潜力、内部运营情况进行综合分析
2）找出这些指标表现优劣的年份以及未来五年走势
二、问题分析
2.1对于问题一的分析
问题一要求对该后勤集团的经济效益、发展潜力以及内部运营情况作综合分析，在三个方面，可以分别找到经济效益、发展潜力以及内部运营中影响这些指标的主成分，利用主成分分析法做出对所给指标的综合分析。将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息。经过对原始数据的简单处理、分析，通过降维，减少变量个数使问题简化而不过分影响题目的结果。因此，我们可以利用软件进行主层次分析，求出相关系数阵的特征值，分析累计贡献率，得到主成分回归方程 ，建立综合评价模型，得到本问题的分析结果。
2.2对于问题二的分析
问题二要求分析这些指标表现优劣的年份以及未来五年走势，因为该问题是预测问题，因此只有根据前年十年间的相关信息进行推测，这里可以运用最小二乘法进行拟合，得到关于年份与各主成分的关系式，通过对未来五年年份的代入，即可预测出未来五年走势。在进行检验时，可以进行求算出拟合度，根据拟合度验证该预测数据的合理性。在进行验证时可以考虑随机验证年份预测值和真实值的误差，根据误差的大小进行合理的判断，不过由于数据太少、存在主观的原因，导致真实误差偏小，检验不准确。

三、模型假设
结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些未知因素的干扰，提出以下几点假设：
1、经济效益指标中除了经营收入、年终节余、返还工资、上缴利润、人均收入以外不存在其他因素影响经济效益；
2、发展能力、内部运营指标除表中给出的四个因素外不存在其他因素影响其指标；
3、假设在短时间内表中把数据不会发生太大的变化，不会受环境等主观因素的影响。
四、符号说明
为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：

标准指标

年份

标准化举证

指标中的成分

各主成分函数形式

关于各主成分函数的统一
五、模型的建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。
5.1问题一模型的建立与求解
数据的标准化：假设进行因子分析的指标变量个，，共有个评价对象，第个评价对象的第个指标的取值为。将各指标转换成标准化指标，

其中
，。
主成分分析[1]是1901年Pearson对非随机变量引入的,其实质是一种降维方法。
设表示以为样本观测值的随机变量，如果能找到，使得

的值达到最大，则由于方差反映了数据差异的程度，因此也就表明我们抓住了这个变量的最大变异，当然上式必须加上某种限制，否则权值可选择无穷大而没有意义，通常规定

在此约束下，求式的最优解。由于这个解是维空间的一个单位向量，它代表一个“方向”，它就是常说的主成分方向。
一个主成分不足以代表的个变量，因此需要寻找第二个乃至第三、第四主成分，第二个主成分不应该再包含第一个主成分的信息，统计上的描述就是让这两个主成分的协方差为零，几何上就是这两个主成分的方向正交。具体确定各个主成分的方法如下。
设表示第个主成分，，可设

其中对每一个，均有，且使得的值达到最大；不仅垂直于，而且使的值达到最大；同时垂直于和，并使的值达到最大；以此类推可得全部个主成分。
5.1.1对经济效益指标的分析
首先对经济效益指标中的数据进行标准化，得到标准化数据(见附录)。
利用软件求出经济效益关于年份的相关系数，则其相关系数矩阵为：

根据得到经营收入、年终结余、返还工资、上缴利润、人均收入贡献率分别为、、、、（表），因此可以把经营收入和年终结余看成主成分，记为，，统一的函数为。
表1 各成分的贡献率
成分
起始特征值
总计
贡献率 %
累积贡献率 %
1
4.886
97.728
97.728
2
0.055
1.109
98.837
3
0.042
0.831
99.668
4
0.013
0.251
99.919
5
0.004
0.081
100.000

从表中得到关系式：

代入标准化数据可得:
表 2 各年份的主成分
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009

-12.6
-11.0
-9.6
-4.9
-1.5
4.4
6.5
8.7
9.8
10.3
通过比较发现从年到年，经济效益都呈现增长趋势，其中年、年对应的统一的主成分比较值分别为、，因此年效益垫后，而年效益靠前，由于经营收入逐年增加，成本相对于经营收入不大，年终结余也就增大。
5.1.2对发展能力指标的分析
首先对发展能力指标中的数据进行标准化，得到标准化数据(见附录)。
利用软件求出发展能力关于年份的相关系数，则其相关系数矩阵为：

根据得到资本积累率、营业增长率、发展基金占年终结余比、人员素质评价贡献率分别为、、、（见表3），因此可以把资本积累率和营业增长率看成主成分，记为,，统一的函数为。
表 3 各元件的贡献率
成分
起始特征值
总计
贡献率 %
累积贡献率 %
1
3.029
75.716
75.716
2
0.893
22.323
98.039
3
0.054
1.350
99.390
4
0.024
0.610
100.000
从表中得到关系式：

代入标准化数据可得:
表 4 各年份的主成分
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009

0.4
0.5
1.6
2.7
2.2
2.9
2.6
3.1
2.8
2.8
通过比较发现从年到年，发展能力都呈现增长趋势，其中年、年对应的统一的主成分比较值分别为、，因此年效益垫后，而年效益靠前，由于后勤在之前资本积累较多而且没有明显的的亏本的现象，可能由于后勤伙食做得较好，营业得到很好的发展，因此发展能力得到提高。

5.1.3对内部运营指标的分析
首先对内部运营指标中的数据进行标准化，得到标准化数据(见附录)。
利用软件求出内部运营关于年份的相关系数，则其相关系数矩阵为：

根据得到总资产周转率、人均产值、正式员工占总员工比例、人均服务人数贡献率分别为、、、（表5），因此可以把总资产周转率和人均产值看成主成分，记为,，统一的函数为。
表5 各成分的贡献率
成分
起始特征值
总计
贡献率 %
累加积贡献率%
1
3.442
86.052
86.052
2
0.464
11.592
97.644
3
0.069
1.716
99.360
4
0.026
0.640
100.000
从表中得到关系式：

代入标准化数据可得:
表6 各年份的主成分
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009

2.24
2.21
2.20
2.85
3.43
2.04
2.22
0.85
1.00
0.73
通过比较发现从年到年，内部运营优劣在不停变化，其中年、年对应的统一的主成分比较值分别为、，因此年效益垫后，而年效益靠前，这可能是由于内部资金周转率提高，临时工比例提高，使得高校后勤集团平时资金减少，因此内部经营指标得到提高。
5.2问题二模型的建立与求解
5.2.1问题二模型的建立
将表中各成分数据进行拟合，通过作非线性最小二乘拟合。
5.2.1.1对经济效益指标的预测
利用基本拟合，得到经营收入与的关系式为：

拟合图像如图（图1）：

图 1 图 2
利用基本拟合，得到年终结余与的关系式为：

拟合图像如图（图2）。
5.2.1.2对发展能力指标的预测
利用基本拟合，得到资本积累率与的关系式为：

拟合图像如图（图3）：

图 3 图 4
利用基本拟合，得到营业增长率与的关系式为：

拟合图像如图（图4）。
5.2.1.3对内部运营指标的预测
利用基本拟合，得到总资产周转率与的关系式为：

拟合图像如图（图5）

图 5 图 6
利用基本拟合，得到人均产值与的关系式为：

拟合图像如图（图6）。
5.2.2问题二模型的求解
5.2.2.1对经济效益指标的求解
通过拟合的形式将年到年的数据进行非线性拟合求解，因此根据上式 函数关系式进行求解，将未来五年年份代入，可得到下表：
表7 经营收入的预测
年份
经营收入（万元）
年终结余（万元）
2010
13200
1590
2011
16500
1900
2012
23400
2500
2013
36900
3500
2014
60500
5700
在图表中可以看出从2010年到2014年经营收入和年终结余是在不断增加的，说明高校后勤经营效益是逐年增加的。
5.2.2.2对发展能力指标的求解
通过拟合的形式将年到年的数据进行非线性拟合求解，因此根据上式 函数关系式进行求解，将未来五年年份代入，可得到下表：
表 8 各年份的资本积累率和营业增长率
年份
资本积累率（%）
营业增长率（％）
2010
12.6%
33.4%
2011
25.2%
90.8%
2012
48.8%
198.0%
2013
87.6%
372.0%
2014
146.0%
634.0%
在图表中可以看出从2010年到2014年资本积累率和营业增长率是在不断增加的，说明高校后勤发展能力是越来越强的。

5.2.2.3对内部运营指标的求解
通过拟合的形式将年到年的数据进行非线性拟合求解，因此根据上式 函数关系式进行求解，将未来五年年份代入，可得到下表：
表 9 总资产周转率的预测
年份
总资产周转率（%）
人均产值（元）
2010
22.4%
118000
2011
16.6%
132000
2012
7.67%
158000
2013
-4.81%
202000
2014
-21.4%
271000
在图表中可以看出从2010年到2014年总资产周转率先增后减，人均产值在不断增加说明高校后勤内部运营是存在问题的。
六、模型的检验
对问题二中拟合程度准确性的检验，通过年份的随机取样，比较预测值和实际值的大小，如果在合理的误差范围内，则拟合函数对未来五年的预测具有较强的合理性，也就是说明该预测正确。
6.1对经济效益指标的检验
表10 经营收入的预测检验
经营收入（万元）
年终结余（万元）
年份
2003
2006
2009
年份
2003
2006
2009
预测值
3040
8150
11700
预测值
526
1210
1440
真实值
3372
8004
11780
真实值
649
1192
1429
误差
-332
146
-80
误差
-123
18
11
通过对以上数据的误差分析，可以看出经营收入的预测在年和年预测较为合理，由于拟合的数据不可能完全的准确，因此对经营收入的拟合函数是可以被接受的；对于年终结余，除了年数据误差较大外，年和年的误差都在合理的范围之内，因此年终结余的拟合函数是可以接受的。
6.2对发展能力指标的检验
表 11 资本积累率的预测检验
资本积累率（％）
营业增长率（％）
年份
2003
2004
2007
年份
2001
2003
2007
预测值
-3.7
4.51
6.56
预测值
4.33
25.6
14.6
真实值
-3.7
4.3
7.4
真实值
6.3
20
18.1
误差
0
0.12
-0.84
误差
-1.97
5.6
-3.5
通过对以上数据的误差分析，可以看出资本积累率的预测在年和年预测较为合理，而且对的误差是小于的，从误差方面来看是合理的，因此对资本积累率的拟合函数是可以被接受的；对于营业增长率，因为实际值和真实值较大，因此误差还是可以接受的。
6.3对内部运营指标的检验
表12 资本积累率的预测检验
总资产周转率（％）
人均产值（元）
年份
2003
2005
2007
年份
2003
2005
2008
预测值
17.9
22.3
26.2
预测值
46000
75700
104050
真实值
17.2
24.4
28.3
真实值
48794
77870
103746
误差
0.7
-2.1
-2.1
误差
-2794
-2170
304
通过对以上数据的误差分析，可以看出资本积累率的预测在年年和年预测都是较为合理，而且其中年的误差小于，因此对总资产周转率的拟合函数是可以被接受的；对于人均产值，年的误差小于，并且因为实际值和真实值较大，因此误差还是可以接受的。
七、模型的评价与改进
7.1模型的评价
7.1.1模型的优点
1、由于本题中处理的成分过多，且相互影响不易判断，主成分分析可消除评价指标之间的相关影响，对原指标变量进行变换后形成了彼此相互独立的主成分，易于对数据分析。
2、可以减少指标选择的工作量，通过建立尽可能少的新变量，对减少的量进行分析，而且这些量同时也能反映本题中各项指标情况。 
3、在综合评价函数中，各主成分的权数为其贡献率，它反映了该主成分包含原始数据的信息量占全部信息量的比重，这样确定权数是客观的、合理的，它克服了某些评价方法中认为确定权数的缺陷。
4、这种方法的计算比较规范，便于在计算机上实现，还可以利用专门的软件。
7.1.2模型的缺点
1、主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切。
2、在预测五年趋势中，拟合函数存在误差，不能完全正确反映原始数据。
7.2模型的改进
本文通篇主要采用一种模型的建立：主成分分析法。应采用个模型的建立，使模型的证明更加明确具体，各个方面都有所覆盖而不局限于单一方面。在运用主成分分析的方法中，往往可能由于第一主成分的贡献率不够高，需要考虑多个主成分 ，为了对样品进行排序, 流行的方法是以各个主成分 的方差贡献率 为权数,构造主成分的“综合得分”:

然后利用样本的主成分综合得分进行排序。根据综合得分的方差小于第一主成分 的方差，判断其合理性。
八、模型的推广
主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析等学科中均有应用，是一种常用的多变量分析方法。此模型可运用于生活中需要被告知影响某指标的多种因素的数据后对其数据进行综合分析或是对今后此指标的数值增减进行预估，从而对一些指标有评估，且能对其未来发展进行初步预测。主成分分析法将多元以少许的变量表示，在国家经济发展预测，国家规划都有其普遍适用的范围。比如在对地区综合实力的评价中，可以全方位地了解各个地区社会经济系统的发展水平及其差距,这不仅能为各级领导进行科学管理和决策提供重要的信息，而且也能为理论工作者制定政策提供可靠的依据，并且此模型能推广在各种企业需要对未来发展的预估上等等。对于问题二所涉及的线性拟合作为数学计算中一种常用的数学方法，在建筑、物理、化学、甚至于天体物理、航天中都得到基本的应用。

九、参考文献
[1]司守奎 孙玺菁，数学建模算法与应用 ，国防工业出版社， 2011；
[2] 杨淳 黄海洋 译， 数学建模方法与分析刘来福，机械工业出版社 ，2009；
[3]徐雅静 汪远征 ，主成分分析应用方法的改进 ，数学的实践与认识，36[6] ，2006。

附录
关于问题一中标准化数据、、

附录
式（1）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[1732 1780 1900 3372 4213 6728 8004 9767 10800 11780]
plot(x,y)
式（2）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[0 0 286 649 802 1026 1192 1333 1385 1429]
plot(x,y)
式（3）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[－8.4 －9.1 －3.7 2.6 4.3 6.2 5.9 7.4 6.5 6.8]
plot(x,y)
式（4）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[2.4 2.7 6.3 43.7 20 37.4 15.9 18.1 9.6 8.3]
plot(x,y)
式（5）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[17.7 18.2 18.0 17.2 17.1 24.4 23.2 28.3 26.1 25.4]
plot(x,y)
式（6）运行代码：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009]
y=[32253 32423 27941 48794 58439 77870 89426 95288 103746 110093]
plot(x,y)

14