一元二次方程的应用练习题及复习资料.doc

一元二次方程的应用
1．某地区2021年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．
〔1〕求2021年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率；
〔2〕根据〔1〕所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
2．白溪镇2021年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2021年到达82.8公顷．
〔1〕求该镇2021至2021年绿地面积的年平均增长率；
〔2〕假设年增长率保持不变，2021 年该镇绿地面积能否到达100公顷？
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果假设干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
〔1〕假设将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是　　　　　　斤〔用含x的代数式表示〕；
〔2〕销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
〔1〕假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
〔2〕每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元〔x＞40〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件与销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
x
销售量y〔件〕

销售玩具获得利润w〔元〕

〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
7．利用一面墙〔墙的长度不限〕，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长与宽．
8．〕如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，使它们的面积之与为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道〔如下图〕，求人行通道的宽度．
11．李明准备进展如下操作实验，把一根长40的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
〔1〕要使这两个正方形的面积之与等于582，李明应该怎么剪这根铁丝？
〔2〕李明认为这两个正方形的面积之与不可能等于482，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
　参考答案及试题解析
1．某地区2021年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．
〔1〕求2021年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率；
〔2〕根据〔1〕所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
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【解答】解：设增长率为x，根据题意2021 年为2500〔1〕万元，2021年为2500〔1〕2万元．
那么2500〔1〕2=3025，
解得0.1=10%，或﹣2.1〔不合题意舍去〕．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
〔2〕3025×〔1+10%〕=3327.5〔万元〕．
故根据〔1〕所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费3327.5万元．
2．白溪镇2021年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2021年到达82.8公顷．
〔1〕求该镇2021至2021年绿地面积的年平均增长率；
〔2〕假设年增长率保持不变，2021 年该镇绿地面积能否到达100公顷？
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【解答】解：〔1〕设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5〔1〕2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2〔不合题意，舍去〕
答：增长率为20%；
〔2〕由题意，得
82.8〔1+0.2〕=99.36公顷，
答：2021 年该镇绿地面积不能到达100公顷．
【点评】此题考察了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．
3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
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【解答】解：降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，
根据题意得，〔60﹣x﹣40〕〔300+20x〕=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取4，即定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
【点评】此题考察了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果假设干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
〔1〕假设将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是　100+200x　斤〔用含x的代数式表示〕；
〔2〕销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
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【解答】解：〔1〕将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是100+×20=100+200x〔斤〕；
〔2〕根据题意得：〔4﹣2﹣x〕〔100+200x〕=300，
解得：或1，
当时，销售量是100+200×=200＜260；
当1时，销售量是100+200=300〔斤〕．
∵每天至少售出260斤，
∴1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点评】此题考察理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价与销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
〔1〕假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
〔2〕每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
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【解答】解：〔1〕设每件衬衫应降价x元，
根据题意得〔40﹣x〕〔20+2x〕=1200，
整理得2x2﹣60400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利一样的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
〔2〕设商场平均每天赢利y元，那么
〔20+2x〕〔40﹣x〕
=﹣2x2+60800
=﹣2〔x2﹣30x﹣400〕=﹣2[〔x﹣15〕2﹣625]
=﹣2〔x﹣15〕2+1250．
∴当15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【点评】〔1〕当降价20元与10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存〞，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
〔2〕要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式及一个常数与或差的形式．
6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元〔x＞40〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件与销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
x
销售量y〔件〕
　1000﹣10x　
销售玩具获得利润w〔元〕
　﹣10x2+1300x﹣30000　
〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
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【解答】解：〔1〕
销售单价〔元〕
x
销售量y〔件〕
1000﹣10x
销售玩具获得利润w〔元〕
﹣10x2+1300x﹣30000
〔2〕﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x1=50 x2=80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【点评】此题主要考察了一元二次方程的应用，解答此题的关键是得出W及x的函数关系．
7．利用一面墙〔墙的长度不限〕，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长与宽．
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【解答】解：设垂直于墙的一边为x米，得：
x〔58﹣2x〕=200
解得：x1=25，x2=4
∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4米．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出适宜的等量关系，列出方程，再求解．
8．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
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【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为〔25﹣21〕m，由题意得
x〔25﹣21〕=80，
化简，得x2﹣1340=0，
解得：x1=5，x2=8，
当5时，26﹣216＞12〔舍去〕，当8时，26﹣210＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】此题考察了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
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【解答】解：设小路的宽为，依题意有
〔40﹣x〕〔32﹣x〕=1140，
整理，得x2﹣72140=0．
解得x1=2，x2=70〔不合题意，舍去〕．
答：小路的宽应是2m．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块种植地平移为一个长方形的长与宽是解决此题的关键．
10．〕某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，使它们的面积之与为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道〔如下图〕，求人行通道的宽度．
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【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
〔18﹣3x〕〔6﹣2x〕=60，
化简整理得，〔x﹣1〕〔x﹣8〕=0．
解得x1=1，x2=8〔不合题意，舍去〕．
答：人行通道的宽度是1m．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用，利用两块一样的矩形绿地面积之与为60米2得出等式是解题关键．
11．李明准备进展如下操作实验，把一根长40的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
〔1〕要使这两个正方形的面积之与等于582，李明应该怎么剪这根铁丝？
〔2〕李明认为这两个正方形的面积之与不可能等于482，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
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【解答】解：〔1〕设剪成的较短的这段为，较长的这段就为〔40﹣x〕，由题意，得
〔〕2+〔〕2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当12时，较长的为40﹣12=28，
当28时，较长的为40﹣28=12＜28〔舍去〕．
答：李明应该把铁丝剪成12与28的两段；
〔2〕李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为，较长的这段就为〔40﹣m〕，由题意，得
〔〕2+〔〕2=48，
变形为：m2﹣40416=0，
∵△=〔﹣40〕2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之与不可能等于482．
【点评】此题考察了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答此题时找到等量关系建立方程与运用根的判别式是关键．
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