建宁实验中学数学计算能力比赛决赛试题及解析.doc

建宁实验中学数学计算能力比赛决赛试题
满分：100分 时量：40分钟
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．（本题满分6分）已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．
（1）求a、b；（2）求a2016+a2017；（3）求++…+．
2．（本题满分6分）已知|x+1|+（y﹣2）2=0，求（2x2y﹣2xy2）﹣[（3x2y2+3x2y）+（3x2y2﹣3xy2）]的值．
3．（本题满分4分）解方程：
4．（本题满分4分）计算：（3）12×（）11×（﹣2）3．
5．（本题满分6分）先化简，再求值：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2，其中a=，b=．
6．（本题满分6分）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
7．（本题满分6分）分解因式：
（1）x2﹣16x （2）（x2﹣x）2﹣12（x2﹣x）+36
8．（本题满分6分）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
9．（本题满分6分）已知
（1）化简A；（2）若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
10．（本题满分6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
11．（本题满分4分）计算：．
12．（本题满分4分）计算：|1﹣|﹣+（﹣1）2016+（）﹣3．
13．（本题满分6分）当2＜m＜3时，化简﹣3|m﹣4|．
14．（本题满分6分）计算3÷×．
15．（本题满分6分）化简求值：已知x=，求代数式﹣的值．
16．（本题满分6分）计算：．
17．（本题满分6分）已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．
18．（本题满分6分）计算：．
2016/12/8 22:29:18
参考答案及试题解析
一．选择题（共25小题）
1．（2016秋•江北区校级期中）已知a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身．
（1）求a、b；
（2）求a2016+a2017；
（3）求++…+．
【考点】相反数．菁优网版权所有
【分析】（1）依据相反数、有理数的乘方法则可求得a、b的值；
（2）将a的值代入进行计算即可；
（3）将a、b的值代入，然后依据拆项裂项法即可．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，非零数b的任何次幂都等于它本身1，
∴a=﹣1、b=1．
（2）将a=﹣1代入得：原式=（﹣1）2016+（﹣1）2017=1﹣1=0；
（3）将a、b的值代入得：
原式=﹣1×（++…+）
=﹣1××（1﹣+﹣+…+﹣）
=﹣1××
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，利用拆项裂项法求解是解题的关键．
2．（2016春•武隆县期末）计算：
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号和绝对值的先算括号和绝对值里面的，计算过程中注意正负符号的变化．
【解答】解：原式=
【点评】本题考查的是有理数的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
3．（2016秋•江西期中）计算：（﹣+1）•+﹣|（﹣1）3|÷．
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式=×+﹣×=﹣=0．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2016秋•东至县期中）已知|x+1|+（y﹣2）2=0，求（2x2y﹣2xy2）﹣[（3x2y2+3x2y）+（3x2y2﹣3xy2）]的值．
【考点】整式的加减—化简求值；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【分析】根据|x+1|+（y﹣2）2=0，得出x，y的值，化简后将x，y代入即可．
【解答】解：解|x+1|+（y﹣2）2=0得x=﹣1，y=2，
∴原式=﹣x2y+xy2﹣6x2y2=﹣30．
【点评】本题主要考查了绝对值、二次方程的性质、以及化简，比较简单．
5．（2016•富顺县校级模拟）解方程（组）、不等式（组）：
④3x+2y=5y+12x=﹣3
【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程．菁优网版权所有
【分析】①方程去括号，去分母，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
②方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
③方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
④方程变形后，利用加减消元法求出解即可；
⑤方程组整理后，求出解即可．
【解答】解：①去括号得：x﹣（x﹣1）+=（x﹣1），
去分母得：6x﹣3（x﹣1）+6=8（x﹣1），
去括号得：6x﹣3x+3+6=8x﹣8，
移项合并得：5x=17，
解得：x=3.4；
②方程组整理得：15+x﹣20﹣30x=0.75，
移项合并得：29x=﹣5.75，
解得：x=﹣；
③方程组整理得：，
②﹣①得：3y=﹣5，即y=﹣，
把y=﹣代入②得：x=，
则方程组的解为；
④整理得：，
①×4﹣②得：3y=﹣9，即y=﹣3，
把y=﹣3代入①得：x=1，
则方程组的解为；
③﹣①得：y+z=14④，
②+④×3得：7y=42，即y=6，
把y=6代入④得：z=8，
把y=6代入①得：x=4，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2016春•新华区期中）计算：（2a2b）3•b2﹣7（ab2）2•a4b．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方及积的乘方．菁优网版权所有
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得单项式乘单项式，根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：原式=8a6b3•b2﹣7a2b4•a4b
=8a6b5﹣7a6b5
=a6b5．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
7．（2016春•建湖县校级月考）简便计算：
（1）0.125 2012×（﹣8）2013
（2）（3）12×（）11×（﹣2）3．
【考点】幂的乘方及积的乘方．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则求出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：（1）原式=（）2012×（﹣8）2013
=（×﹣8）2012×（﹣8）
=﹣8；
（2）原式=（）12×（）11×（﹣2）3
=（×）11××（﹣8）
=﹣25．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
8．（2016•三明）先化简，再求值：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2，其中a=，b=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将a及b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（a﹣b）2+b（3a﹣b）﹣a2
=a2﹣2ab+b2+3ab﹣b2﹣a2
=ab，
当a=，b= 时，原式=×=2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2016•大庆）已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【考点】提公因式法及公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（2016春•玄武区期末）分解因式：x4﹣2x2y2+y4．
【考点】因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
【分析】首先利用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x4﹣2x2y2+y4
=（x2﹣y2）2
=（x﹣y）2（x+y）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11．（2016春•石景山区期末）分解因式：
（1）x2﹣16x．
（2）（x2﹣x）2﹣12（x2﹣x）+36．
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．菁优网版权所有
【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式及十字相乘法分解即可．
【解答】解：（1）原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4）；
（2）原式=（x2﹣x﹣6）2=（x+2）2（x﹣3）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，提公因式法，以及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2016春•丰县期中）计算（﹣）﹣3﹣（）﹣1+（π﹣5）0×（﹣22）
【考点】负整数指数幂；零指数幂．菁优网版权所有
【分析】先依据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、有理数的乘方法则计算，然后再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：原式=﹣27﹣2+1×（﹣4）
=﹣27﹣2﹣4
=﹣33．
【点评】本题主要考查的是负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．（2015秋•南京校级期末）计算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
【考点】负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】首先应用平方差公式，可得（x﹣2﹣y﹣2）=（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1），据此推得（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）=；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）
=（x﹣1+y﹣1）÷[（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1）]
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
14．（2016•福州）化简：a﹣b﹣．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．
【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）
=a﹣b﹣a﹣b
=﹣2b．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2016•毕节市）已知
（1）化简A；
（2）若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【分析】（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数x的值，代入计算即可求出A的值．
【解答】解：（1）A=（x﹣3）•﹣1=﹣1==；
（2），
由①得：x＜1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜1，即整数x=0，
则A=﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2016•营口）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=2+．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】首先通分计算小括号里的算式，然后把除法转化成乘法进行约分计算，最后再把x=2+代入计算即可．
【解答】解：（﹣1）÷
=x﹣2
当x=2+时，
原式=2+﹣2=．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．（2016•绵阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[﹣]•
当a=+1时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富及提高有一定帮助．
18．（2013•自流井区校级二模）．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【分析】首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．
【解答】解：，
∴1﹣（x﹣2）=﹣（1﹣x），
∴x=2，
当x=2时，方程的分母为0，∴x=2不是方程的解，
∴原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，其中（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19．（2011•广州校级二模）解方程：．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：解法一：去分母得（x﹣1）2+3x2=4x（x﹣1）
即x2﹣2x+1+3x2=4x2﹣4x
整理得2x=﹣1，所以
经检验是原方程的解．
解法二：设，
则原方程化为
得y2﹣4y+3=0
解得y1=1，y2=3
当y1=1时，，无解；
当y1=3时，，得．
经检验是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，注意，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．本题也可以运用换元法解方程．
20．（2016•宁夏）化简求值：（），其中a=2+．
【考点】实数的运算．菁优网版权所有
【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项化简得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=[+]•+=•+==，
当a=2+时，原式=+1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2016•南安市模拟）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】分别进行负整数指数幂、绝对值的化简、二次根式的除法、零指数幂的运算，然后合并求解．
【解答】解：原式=9﹣5+2﹣1
=5．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了负整数指数幂、绝对值的化简、二次根式的除法、零指数幂等知识，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
22．（2016•海曙区一模）计算：|1﹣|﹣+（﹣1）2016+（）﹣3．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】此题涉及绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：|1﹣|﹣+（﹣1）2016+（）﹣3
=﹣1﹣2+1+8
=8﹣
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根、绝对值等的运算．
23．（2012•蚌埠模拟）解不等式：≤．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】先去分母、去括号得到30﹣4+6x≤5+5x，然后移项合并即可．
【解答】解：去分母得30﹣2（2﹣3x）≤5（1+x），
去括号得30﹣4+6x≤5+5x，
移项得6x﹣5x≤5+4﹣30，
合并得x≤﹣21．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：有分母，先去分母、去括号，再移项，把含未知数的项移到不等式左边，接着合并同类项，然后把未知数的系数化为1即得到不等式组的解集．
24．（2014春•如皋市校级月考）解不等式≤+1．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】利用不等式的基本性质，先去分母；再去括号；然后移项、合并同类项，系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得4+3x≤2（1+2x）+6，
去括号，得4+3x≤2+4x+6，
移项、合并同类项，得﹣x≤4，
系数化为1，得x≥﹣4．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：
①在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
②在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
③在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
25．（2016春•召陵区期中）当2＜m＜3时，化简﹣3|m﹣4|．
【考点】二次根式的性质及化简．菁优网版权所有
【分析】直接利用m的取值范围，进而化简二次根式以及绝对值进而得出答案．
【解答】解：∵2＜m＜3，
∴﹣3|m﹣4|，
=﹣3（4﹣m），
=•（3﹣m）﹣12+3m，
=﹣3﹣12+3m，
=3m﹣15．
【点评】此题主要考查了二次根式以及绝对值的化简，正确掌握相关性质是解题关键．
二．选择题（共1小题）
26．（2016秋•钦州校级月考）计算3÷×．
【考点】二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【分析】先进行二次根式的化简，再结合二次根式的乘除法运算法则进行求解即可．
【解答】解：原式=3×3÷××
=9÷××
=45×
=20．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及二次根式乘除法的运算法则．
三．解答题（共4小题）
27．（2016秋•浦东新区月考）化简求值：已知x=，求代数式﹣的值．
【考点】分母有理化；分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先通过分母有理化求得x的值；然后将其代入化简后的代数式进行求值．
【解答】解：x==﹣1，
则﹣======3+2．
【点评】本题考查了分母有理化，分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
28．（2016•朝阳区校级模拟）计算：．
【考点】二次根式的加减法；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】首先利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简进而求出答案．
【解答】解：原式=++2﹣+1
=﹣2﹣3+2﹣+1
=﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
29．（2016•海淀区校级模拟）已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】由条件利用非负数的性质可先求得a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：
∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0
∴a=2，b=1，
∴==7+．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，利用非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．
30．（2016春•常熟市期末）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】先化简，然后根据混合运算的法则，先算乘除，再算减法，有括号先算括号里面的．
【解答】解：
=﹣4÷4
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：及“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数及一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
5．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
6．幂的乘方及积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数及乘方的指数相乘，这里注意及同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
7．单项式乘单项式
运算性质：单项式及单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
8．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
9．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数及原多项式的项数相同．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法及公式法的综合运用
提公因式法及公式法的综合运用．
12．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子及这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
13．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式及数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
14．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
15．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00≠1．
16．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2=（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
17．二次根式的性质及化简
（1）二次根式的基本性质：①a≥0； a≥0（双重非负性）．②（a）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b ab=ab
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：及分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
18．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a•b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a•b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a•b=a•b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（﹣4）×（﹣9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
19．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或及原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
20．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
21．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①及有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要及加减运算区分，避免互相干扰．
23．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
24．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
25．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
26．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法及解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号及等号合写形式．
27．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
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