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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,自动控制原理,南通大学电气工程学院,第2章 控制系统的数学模型,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,复习及提问,反馈控制(,Feedback control,),控制系统性能指标（基本要求）,开环控制与闭环控制优缺点,1/36,拉普拉斯变换及其反变换,控制系统微分方程建立,非线性微分方程线性化,第二章 控制系统数学模型,本讲知识点：,2/36,基本要求,1.了解建立系统动态微分方程普通方法。,2.熟悉拉氏变换基本法则及经典函数拉氏变,换形式。,3.掌握用拉氏变换求解微分方程方法。,3/36,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统数学模型。,系统数学模型是描述系统,输入、输出变量,以及,内部各变量之间关系,数学表示式。,建立数学模型方法分为解析法和试验法,控制系统数学模型,4/36,解析法：,依据系统及元件各变量之间所遵照物理、化学定律列写出变量间数学表示式，并试验验证。,试验法：,对系统或元件输入一定形式信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），依据系统或元件输出响应，经过数据处理而辨识出系统数学模型,。,5/36,总结：,解析方法适合用于简单、经典、常见系统，而试验方法适合用于复杂、非常见系统。实际上经常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,6/36,线性常系数微分方程,（时间域描述）,传递函数（Transfer function）,（算子域描述）,结构图,（图形化描述）,7/36,2.0 拉普拉斯变换,Laplace transform,2.0.1 拉氏变换定义,（1）阶跃函数,像,原像,2.0.2 常见函数拉氏变换,（2）指数函数,8/36,其它惯用函数laplace变换,见p.28表2-3,9/36,2.0.3 拉氏变换几个主要定理,（2）微分定理,（1）线性性质,证实：,零初始条件下有：,10/36,例 求,解.,11/36,（3）积分定理,零初始条件下有：,深入有：,12/36,2.0.4 拉氏反变换,部分分式法,则,其中：,s,i,为,F,(,s,)极点。,a,i,为,F,(,s,)对应于极点,s,i,留数。,13/36,1、,A,(,s,)=0全部为单根,，,s,1,s,2,s,n,例,已知 ，,求拉氏反变换,解：,极点为：,s,1=-2，,s,2=-3，,对应极点留数为：,f(t),为：,14/36,2、,A,(,s,)=0 有重根,设,s,1,为单根，,s,2,为,m,重根，,m,+1=,n,，,F,(,s,)能够展开为,单根系数,C,1,计算如前。由留数定理计算重根各系数以下,15/36,拉氏反变换为,例,求 拉氏反变换,f,(,t,)。,解：,F,(,s,)分解,单根项系数：,s,1,=0，,s,2,=-3,16/36,重根项系数：,s,3=-1,得到：,f,(,t,)为：,17/36,2.1 控制系统时域数学模型,本节着重研究描述线性、定常、集总参量控制系统微分方程建立和求解方法,电学系统,力学系统,基本步骤：,S1.分析各元件工作原理，明确输入、输出量,S2.建立输入、输出量动态联络,S3.消去中间变量,S4.标准化微分方程,2.1.1 控制系统微分方程建立,18/36,一、电学系统,i,元件约束,：线性元件,V,I,关系,19/36,一、电学系统,ii 网络约束,基尔霍夫两个定律,节点电流定律,回路电压定律,在这两个网络基本方程约束下，能够确,定电网络中独立变量个数，并写出电网,络微分方程。,20/36,例21,考虑由电阻,R,与电容,C,组成一阶滤波电路，写出以,u,i,为输入，,u,o,为输出微分方程。,代入，得,i(t),s3.消去中间变量,i(t),s2.KVL:,s1.输入量、输出量,解：,s4.标准化微分方程,21/36,例22,考虑两级,RC,网络滤波电路，写出以,u,i,为输入，,u,o,为输出微分方程。,s2.,Kirchhoff laws:,s1.输入量、输出量,解：,对L1有:,对L2有:,又，,注1：,i,1、,i,2,、,u,i,、,u,o,、,u,c1,均为关于时间,t,关系,注2：,u,c2,=,u,o,22/36,设时间常数为,方程能够写为:,s3.消去中间变量,i,1,(t)、i,2,(t)、u,1,(t),s4.标准化微分方程,该方程为二阶微分方程！,23/36,二、力学系统,运动规律为牛顿定律,机械平移运动,例2-3 设弹簧质量阻尼器系统如图所表示，试列出以力,F,i,为输入，以质量单元位移x为输出运动方程。,s1.输入量、输出量,解：,s2.Newtons Second Law,其中，协力为,24/36,机械平移系统运动方程也是二阶微分方程。,外力:,弹性阻力:,粘滞阻力:,s3.消去中间变量,s4.标准化微分方程,25/36,线性常系数微分方程形如：,为输出信号各阶导数,为常系数,为输出信号各阶导数，,为常系数,式中，,26/36,2.1.2 线性系统基本特征,叠加原理,叠加原理含有两重含义，即,可叠加性,和,均匀性（或叫齐次性）。,例：设线性微分方程式为,若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。,27/36,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生响应等于各个外作用单独作用于系统产生响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是,叠加原理,。,若 时，为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。,28/36,2.1.3 线性定常微分方程求解方法,29/36,拉氏变换法求解微分方程步骤以下：,s1、方程两边作拉氏变换；,s2、代入初始条件和输入信号；,s3、写出输出量拉氏变换；,s4、,作拉氏反变换求出系统输出时间解。,线性定常微分方程求解步骤,30/36,例,RC滤波电路如图所表示，输入电压信号,Ui,(t)=5,V,，电容初始电压,Uc,(0)分别为0,V,和1,V,时，分别求时间解,Uc,(t)。,s1、方程两边作拉氏变换,s2、代入初始条件和输入信号,解：微分方程为,31/36,s3、写出输出量拉氏变换；,s4、拉氏反变换,（1）,Uc,(0)=0,V,时,（2）,Uc,(0)=1,V,时,32/36,2.1.4 非线性微分方程线性化,在实际工程中，组成系统元件都含有不一样程度非线性。,33/36,于是，建立动态方程就是非线性微分方程，对其求解有很多困难，所以，对非线性问题做线性化处理确有必要。,对弱非线性线性化,如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特征。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）一样忽略其影响，也近似为放大特征，如图中虚线所表示,。,平衡位置附近小偏差线性化,输入和输出关系含有以下列图所表示非线性特征。,34/36,在,平衡点,A,（,x,0,，,y,0,）处，当系统受到干扰，,y,只在,A,附近改变，则可对,A,处输出输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用,A,处切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。,35/36,可得 ，简记为 。,若非线性函数由两个自变量，如,z,f,（,x,y,），则在平衡点处可展成（忽略高次项）,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所表示为,强非线性,，只能采取第八章非线性理论来分析。对于线性系统，可采取叠加原理来分析系统。,36/36,
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