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二次根式的竞赛题及经典答疑（3）

二次根式的竞赛题及经典答疑（3）

一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）
7．（4分）如果，那么a的取值范围是（　　）

A．
a≥﹣1
B．
a≤1
C．
1≥a≥0
D．
﹣1≤a≤0

二、解答题（共10小题，满分0分）
1．计算：
（1）（x2\sqrt{\frac{b}{a}}﹣\frac{xy}{a}\sqrt{ab}+）÷x2y2；
（2）4（x＞y＞0）．

2．化简（﹣）÷+

3．化简

4．已知a=．

5．先化简，再求值．
[]÷，其中a=3，b=4．

6．化简下列各式：
（1）（b＜0）；（2）（y＞0）；
（3）；（4）；
（5）（1＜x＜3）．

8．将（a﹣1）中的根号外面的因式移到给号里面．

9．已知a+b=﹣8，ab=12．求的值．

10．（2004•烟台）已知：，求的值．

11．已知x为实数时，化简+．

二次根式的竞赛题及经典答疑（3）
参考答案与试题解析

一、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）
7．（4分）如果，那么a的取值范围是（　　）

A．
a≥﹣1
B．
a≤1
C．
1≥a≥0
D．
﹣1≤a≤0

考点：
二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
分析：
根据二次根式的意义和性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
解答：
解：∵=，
又∵，
∴a≤0且a+1≥0
解得﹣1≤a≤0．
故选D．
点评：
二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

二、解答题（共10小题，满分0分）
1．计算：
（1）（x2\sqrt{\frac{b}{a}}﹣\frac{xy}{a}\sqrt{ab}+）÷x2y2；
（2）4（x＞y＞0）．

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）有两种途径：一是将括号中的每一项分别除以除式，再把所得的商相加；二是先把括号内的式子作加减运算，然后再做除法．第（2）用立方和与立方差公式将第三个二次根式的分子、分母展开，再做二次根式的乘法运算．
解答：
解：（1）解法一：
原式=x2•﹣+
=﹣+=．
解法二：
原式=（﹣+）÷
=•
=．
（2）原式=（4××3）
=6
=．
点评：
以上两题较为复杂，运算时注意运用二次根式的性质，注意运算方法．

2．化简（﹣）÷+

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
对含有除法运算的二次根式，一般是先进行分母有理化．但此题若将除式转化为乘以，再用乘法分配律，就可以进行约分，计算会简单些．
解答：
解：原式=，
=，
=﹣1，
=1﹣1，
=0．
点评：
此题考查二次根式的混合运算，用乘法分配律可使运算简便．

3．化简

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先把的分子分解因式，然后再进行化简计算．
解答：
解：
=﹣
=﹣
=0．
点评：
本题考查了二次根式的化简求值，难度适中，关键是先把的分子分解因式，然后再进行化简计算．

4．已知a=．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
本题根据题中条件可得，式子a+﹣正是完全平方式，再与相乘便可用平方差公式化简．
解答：
解：原式=，
=，
=，
把a=，b=+1代入，
原式===1．
点评：
本题考查二次根式的化简求值，根据题中的条件，找出各项之间的关系，然后计算时注意符号即可．

5．先化简，再求值．
[]÷，其中a=3，b=4．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据本题特点，有两种解题途径：一是先分母有理化，再通分，做加法；另一种是先通分，再做加法，最后变除法为乘法．实际上第二种方法较为简便．然后代入计算即可．
解答：
解：原式=[﹣]×，
=×，
=﹣×，
=﹣=﹣，
当a=3，b=4时，
原式=﹣=﹣2．
点评：
本题考查二次根式的化简求值，对原式进行通分化简即可，计算时注意正负号即可．

6．化简下列各式：
（1）（b＜0）；（2）（y＞0）；
（3）；（4）；
（5）（1＜x＜3）．

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
本题为简单的二次根式开方问题，根据各题中所给出的范围，然后进行开方即可，注意正负号．
（1）题中条件b＜0，而250a3b≥0，所以a≤0，然后进行开方即可．
（2）y＞0，343x4y3≥0，x4开方后为x2，直接进行开方即可．
（3）π的取值大于3，则3﹣π＜0，求出结果即可．
（4）=，x≥，可求的结果．
（5）根据取值范围1＜x＜3，然后进行开方即可．
解答：
解：（1）∵b＜0，250a3b≥0，
∴a3≤0，即a≤0，因此==5|a|=﹣5a
（2）∵y＞0，∴==7=7
（3）∵π＞3，则3﹣π＜0
∴=π﹣3
（4）∵，则1﹣3x≤0
∴==|1﹣3x|=3x﹣1
（5）∵1＜x＜3 则有x﹣3＜0，1﹣x＜0
∴+=|x﹣3|+|1﹣x|=3﹣x+x﹣1=2
点评：
本题考查简单的二次根式开方问题，计算时注意题中暗含的条件，注意正负号．

8．将（a﹣1）中的根号外面的因式移到给号里面．

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据根号里面的数必须大于等于0，可以求出a﹣1的符号，然后再把根号外面的因式移到给号里面．
解答：
解：∵＞0，则1﹣a＞0
∴（a﹣1）=﹣（1﹣a）=﹣．
点评：
点评此题根据二次根式被开方数的非负性挖掘出隐含条件1﹣a＞0，这是问题的关键．

9．已知a+b=﹣8，ab=12．求的值．

考点：
二次根式的加减法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
把所求代数式平方，化为原式的形式，用整体代入法求值，再开平方，注意结果为非负数．
解答：
解：∵（+）2=++2
=
=
=；
∴原式==．
点评：
解答此题的关键是熟知用平方法解题，整体代入的思想．

10．（2004•烟台）已知：，求的值．

考点：
二次根式的化简求值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
首先化简a=2﹣，然后根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，最后代入计算．
解答：
解：∵a==2﹣＜1，
∴原式==a﹣3+
=2﹣﹣3+2+=1．
点评：
此题中注意：当a＜1时，有=1﹣a．

11．已知x为实数时，化简+．

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
要化简二次根式+，首先把被开方数因式分解，然后用公式=|a|进行化简；条件中x是实数，化简时必须对x进行分类讨论才能去掉绝对值符号．
解答：
解：+=+=|x﹣1|+|x|，
当x≤0时，x﹣1＜0，
原式=1﹣x+（﹣x）=1﹣2x；
当0＜x≤1时，x﹣1≤0，
原式=1﹣x+x=1；
当x＞1时，x﹣1＞0，
原式=x﹣1+x=2x﹣1．
点评：
本题先令每一绝对值内的代数式的值为零，求出所对应的“零值点”，即令x﹣1=0，x=0，得x=1，x=0，再在数轴上标出这些点，将数轴分成三个区间，分别是x≤0，0＜x≤1，x＞1，最后按区间范围去掉绝对值符号，从而使二次根式得以化简．这种方叫“零值点区分法”．

参与本试卷答题和审题的老师有：mrlin；zhangCF；leidan；yuanyuan；733599；kuaile；HLing；lf2-9；张超。；CJX；jingjing（排名不分先后）
菁优网
2014年5月20日