空间点线面位置关系(一)PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,空间点、线、平面之间的位置关系,1,1.,平面的基本知识,(1),平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是,最基本的概念,，即为不加定义的原始概念,.,(2),平面的基本特征是,无限延展性,.,平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的,.,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果,.,思考,:,能不能说一个平面长,4,米,宽,2,米？为什么,?,不能,.,2,画法,立体几何中通常用,平行四边形来,表示平面，有时也用,圆或三角形等图形,来表示平面,.,画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成,45,，且横边长等于邻边长的,2,倍,.,水平放置,垂直放置,为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用,虚线,画出来,.,(3),平面的画法及表示,1.,平面的基本知识,3,画出两个竖直放置的相交平面,.,练习,4,表示方法：,A,B,C,D,把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，,如,平面 ，平面,.,用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，,如,平面,ABCD,.,用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如,平面,AC,或者,平面,BD,.,(3),平面的画法及表示,1.,平面的基本知识,5,(1),点、线、面的表示,点,(,元素,):,大写字母,A,、,B,、,C,、,D,直线,(,点的集合,):,小写英文字母 或者两个大写英文字母,平面,(,点的集合,):,用希腊字母表示 ；,用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示,.,(2),点、线、面之间的位置关系的表示,用集合中的关系符号,元素与集合关系：,集合与集合关系：,2.,点、直线、平面的位置关系,6,A,B,a,点,A,在直线,a,上，记作,点,B,不在直线,a,上，记作,点,A,在平面,上，记作,点,B,不在平面,上，记作,A,B,(1),点与直线的位置关系：,(2),点与平面的位置关系：,2.,点、直线、平面的位置关系,7,(3),直线与平面的位置关系：,按公共点个数分三类,直线,a,与平面,有且只有一个公共点,，称直线,a,与平面,相交,.,记为：,直线,a,与平面,没有公共点,，称直线,a,与平面,平行,.,记为：,a,A,a,a,直线,a,与平面,有无数个公共点,，称直线,a,在平面,内，或称平面,通过直线,a,.,记为：,公理,1,注,1,：情况和统称为直线,a,在平面,外，记作,2.,点、直线、平面的位置关系,8,(4),平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类,a,当两个不同平面,与平面,有公共点,时，它们的公共点组成直线,a,，称平面,与平面,相交,.,记作：,当平面,与平面,没有公共点,时，称平面,与平面,平行,.,记作：,公理,3,注,2,：当平面,上的所有点都在平面,上时，称平面,与平面,重合,.,公理,2,（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合,),2.,点、直线、平面的位置关系,9,小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,B,a,a,A,b,a,A,A,B,练习,a,平面,与平面,重合,10,桌面,A,B,观察下列问题，你能得到什么结论？,直尺落在桌面上（直线,AB,在平面,内）,3.,平面的基本性质,11,图形语言：,A,B,(1),公理,1,：,若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内,.,符号语言：,该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面,.,3.,平面的基本性质,12,C,B,A,观察下列问题，你能得到什么结论？,自行车需要一个支脚架就可以保持平衡,.,3.,平面的基本性质,13,A,B,C,(3),公理,2,：,经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面,.,图形语言：,符号语言：,定义的说明：,过不在一条直线上的四点，不一定有平面,.,故要充分重视“,不在一条直线上的三点,”这一条件；,“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；,确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词,.,3.,平面的基本性质,14,推论,2,经过两条相交直线，有且只有一个平面,.,推论,3,经过两条平行直线，有且只有一个平面,.,b,a,a,b,推论,1,经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面,.,A,B,C,a,注,3,：,公理,2,及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，,是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据,.,A,B,C,公理,2,：,经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面,.,练习,3.,平面的基本性质,15,思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？,不会！因为平面是无限延展的,.,因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上,.,3.,平面的基本性质,16,P,(2),公理,3,：,若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线,.,图形语言：,符号语言：,该公理反映了平面与平面的位置关系：,i,),该公理是用以判定两个平面相交的依据：,只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线,.,(,找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可,),ii,),该公理可用以判定点在直线上：,点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上,.,3.,平面的基本性质,17,4.,点线共面问题,18,例,2,已知三角形,ABC,的三条边,AB,、,BC,、,AC,与平面,分别交于,P,、,Q,、,R.,求证：,P,、,Q,、,R,共线,.,B,A,Q,R,C,P,证明：,同理,Q,、,R,也为公共点，,所以,P,、,Q,、,R,共线,.,要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点,.,5.,证明三点共线、三线共点的问题,19,例,3,空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,和,CB,上的点，,G,，,H,分别是,CD,和,AD,上的点，且,EH,与,FG,相交于,K.,求证：,EH,，,BD,，,FG,三条直线相交于同一点,.,分析：,已知,EHFG=K,，要证,EH,，,BD,，,FG,共点,.,即要证明,B,，,D,，,K,三点共线,.,而,BD,是面,ABD,和面,CBD,的交线,.,所以,往证,K,面,ABD,面,CBD,.,而显然，由,EH,面,ABD,，,KEH,，可得,K,面,ABD.,同理，由,FG,面,CBD,，,KFG,，可得,K,面,CBD.,5.,证明三点共线、三线共点的问题,20,21,6.,知识小结,1,）公理,1,2,3,及其用途,3,）多点共线问题,4,）多线共点问题,2,）点线共面问题,22,