总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤-指出其异同点.doc

总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点
航天航空学院1334班 艾松 学号：4113006012

名称
材料力学
弹性力学
有限元
英文名称
Mechanics of materials
Theory of elasticity
FEA，Finite Element Analysis
定义
材料力学(Mechanics of materials)是研究工程结构中材料的强度和构件承载力、刚度、稳定的学科。研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学和理论力学、结构力学并称三大力学。
弹性力学（Theory of elasticity，也称弹性理论）研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础。
有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
研究对象
材料力学基本上只研究杆状构件。
弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
连续体、离散体、混合系统/结构，包括杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性体。
研究内容
在人们运用材料进行建筑、工业生产的过程中，需要对材料的实际承受能力和内部变化进行研究，这就催生了材料力学。运用材料力学知识可以分析材料的强度、刚度和稳定性。材料力学还用于机械设计使材料在相同的强度下可以减少材料用量，优化结构设计，以达到降低成本、减轻重量等目的。
在材料力学中，将研究对象被看作均匀、连续且具有各向同性的线性弹性物体。但在实际研究中不可能会有符合这些条件的材料，所以须要各种理论和实际方法对材料进行实验比较。
材料力学研究内容包括两大部分：一部分是材料的力学性能（或称机械性能）的研究，而且也是固体力学其他分支的计算中必不可缺少的依据；另一部分是对杆件进行力学分析。杆件按受力和变形可分为拉杆、压杆(见柱和拱)、受弯曲（有时还应考虑剪切）的梁和受扭转的轴等几大类。杆中的内力有轴力、剪力、弯矩和扭矩。杆的变形可分为伸长、缩短、挠曲和扭转。
弹性力学研究和所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。
在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。
虽然弹性力学和材料力学都研究杆状构件，但前者所获得的结果是比较精确的。
杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。
解决问题的思路和步骤（基本方程）
根据胡克定律(Hooke's law)，在弹性限度内，材料的应力和应变成线性关系。
在处理具体的杆件问题时，根据材料性质和变形情况的不同，可将问题分为三类：
①线弹性问题。在杆变形很小，而且材料服从胡克定律的前提下,对杆列出的所有方程都是线性方程,相应的问题就称为线性问题。对这类问题可使用叠加原理，即为求杆件在多种外力共同作用下的变形(或内力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或内力)，然后将这些变形（或内力）叠加，从而得到最终结果。
②几何非线性问题。若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进行分析。这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。在这类问题中，材料内的变形和内力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。
在许多工程结构中，杆件往往在复杂载荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。例如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏,在高温恒载条件下因蠕变而破坏,或受高速动载荷的冲击而破坏等。这些破坏是使机械和工程结构丧失工作能力的主要原因。所以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变性能和冲击性能。
材料力学基本公式（解决问题方法）：
一、应力和强度条件
拉压：
剪切：
挤压：
圆轴扭转：
平面弯曲：
①
②

③
斜弯曲：
拉（压）弯组合：

圆轴弯扭组合：
① 第三强度理论

② 第四强度理论

二、变形及刚度条件
拉压：
扭转：

弯曲：(1)积分法：

(2)叠加法：
…=+…
=…

三、应力状态和强度理论
二向应力状态斜截面应力：

二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：

二向应力状态的极值剪应力：

三向应力状态的主应力：

最大剪应力：
二向应力状态的广义胡克定律：
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）

（2）、表达形式之二（用应变表示应力）

三向应力状态的广义胡克定律：

强度理论
（1）

（2）

平面应力状态下的应变分析
（1）

（2）

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15 个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。
直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：

平衡微分方程（1）

几何方程（2）

物理方程（3）
(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx、εy、εz、γyz、γxz、γxy为应变分量；(3)式中的E和v分别表示杨氏弹性模量和泊松比。
在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为：

边界条件（4）
（4）式中的 、、表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，l、m、n表示物体表面外法线的三个方向余弦。
如物体表面位移、、已知，则边界条件表示为
u=、v=、w=　 （5）
因此，弹性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏微分方程的问题。
主要解方程(1)、(2)、(3)中有15个变量，15个方程，在给定了边界条件后，从理论上讲应能求解。但由(2)、(3)式可见，应变分量、应力分量和位移分量之间不是彼此独立的，因此求解弹性力学问题通常有两条途径。其一、是以位移作为基本变量，归结为在给定的边界条件下求解以位移表示的平衡微分方程，这个方程可以从(1)、(2)、(3)式中消去应变分量和应力分量而得到。其二、是以应力作为基本变量，应力分量除了要满足平衡微分方程和静力边界条件外，为保证物体变形的连续性，对应的应变分量还须满足相容方程：

相容方程（6）
这组方程由几何方程消去位移分量而得到。对于不少具体问题，上述方程还可以简化。
在弹性力学中，为克服求解偏微分方程(或方程组)的困难，通常采用试凑法，即根据物体形状的几何特性和受载情况，去试凑位移分量或应力分量；由弹性力学解的唯一性定理，只要所试凑的量满足全部方程和全部边界条件，即为问题的精确解。
从数学观点来看，弹性力学方程的定解问题可变为求泛函的极值问题。例如，对于用位移作为基本变量求解的问题，又可以归结为求解变分方程：
δП1=0　（7）
П1是物体的总势能，它是一切满足位移边界条件的位移的泛函。对于稳定平衡状态，精确的位移将使总势能П1取最小值的称为最小势能原理。又如对于用应力作为基本变量求解的问题，可归结为求解变分方程：
δП2=0　（8）
П2为物体的总余能，它是一切满足平衡微分方程和静力边界条件的应力分量的泛函。精确的应力分量将使总余能 П2取最小值的称为最小余能原理。(7)式等价于用位移表示的平衡微分方程和静力边界条件，而(8)式则等价于用应力表示的相容方程。在求问题的近似解时，上述泛函的极值问题又进而变为函数的极值问题，最后归结为求解线性非齐次代数方程组。
还有所谓的广义变分原理，其中最一般的是广义势能原理和广义余能原理，它们等价于弹性力学的全部基本方程和边界条件。但和总势能П1和总余能П2不同，广义势能和广义余能作为应力分量、应变分量和位移分量的泛函，对于精确解，也只取非极值的驻值。
有限元方法（FEM）的理论基础是变分原理和加权余量法。 仍然遵从平衡方程、几何方程、本构方程、协调方程，其解满足应力边界条件、位移边界条件。
其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值和所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。 采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量和权函数正交化原理，建立和微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。 
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

基本假设
1、连续性假设——组成固体的物质内毫无空隙地充满了固体的体积：
2、均匀性假设－－在固体内任何部分力学性能完全一样：
3、各向同性假设——材料沿各个不同方向力学性能均相同：
4、小变形假设——变形远小于构件尺寸，便于用变形前的尺寸和几何形状进行计算研究。
1．假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
2．假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变和引起该应变的那个应力分量成比例。
3．假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。
4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。
5．假定位移和形变是微小的。
1．连续性假设。

15 / 15