一复数与复平面.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,暨南大学复变函数教学课件,Department of Mathematics,Jinan Univ.2012,暨南大学数学系,高凌云,二,0,一二年二月至二,0,一二年七月,复变函数起源简介,数学从产生、有发展到现在,已成为分支众多的学科了,复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数,而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数,复变函数论主要就研究复数域上的解析函数,因此通常也称复变函数论为解析函数论,简称函数论。,我们知道,在解实系数一元二次方程,ax2+bx+c=0(a0),时,如果判别式,b2-4ac0),的所有点的集合,z,|,z,|,M,且满足,zM,包括无穷远点自身在内,3,、复球面与无穷大,:,在点坐标是,(,x,y,u,),的三维空间中，把,xOy,面看作是,z,平面。考虑球面,S,：,取定球面上一点,N,(0,0,1),称为球极。,我们可以建立一个复平面,C,到,S-,N,之间的一个,1-1,对应（球极射影）：,球极射影,:,我们称上面的映射为球极射影：,1,、,(,x,y,0),(,x,y,u,),(0,0,1),三点共线,2,、,x:y:-1=x,:y,:u,-1;,无穷远点,:,对应于球极射影为,N,，,我们引入一个新的非正常复数 称为无穷远点，,称 为扩充复平面，记为 。,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,Department of Mathematics,1,初步概念,2,区域与约当曲线,第二节 复平面上的拓扑,1,基本概念,:,a,的,r,邻域定义,:,以,a,为圆心,r,为半径的圆盘,U,(,a,r,),定义为：,以,a,为圆心，,r,为半径的闭圆盘定义为：,极限点、内点、边界点,:,中有无穷个点，则称,a,为,E,的极限点；,则称,a,为,E,的内点；,中既有属于,E,的点，又有不属于,E,的点，则称,a,为的,E,边界点；集,E,的全部边界点所组成的,集合称为,E,的边界，记为,闭包、孤立点、开集、闭集,:,称为,D,的闭包，记为,若对存在一个,r0,，使得,则称,a,为的,E,孤立点（是边界点但不是聚点）；,开集：所有点为内点的集合；,闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；,1,、任何集合的闭包一定是闭集；,2,、如果存在,r0,，使得，,则称,E,是有界集，否则称,E,是无界集；,3,、复平面上的有界闭集称为紧集。,例,1,、圆盘,U,(,a,r,),是有界开集；闭圆盘是有界闭集；,例,2,、集合,z|z-a|=r,是以为,a,心，,r,为半径的圆周，它是圆盘,U,(,a,r,),和闭圆盘的边界。,例,3,、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。,例,4,、集合,E=,z|0|z-a|r,是去掉圆心的圆盘。圆心,a,边界点，它是,E,边界的孤立点，是集合,E,的聚点。,2,区域、曲线,:,复平面,C,上的集合,D,，如果满足：,（,1,）,D,是开集；,（,2,）,D,中任意两点可以用有限条相衔接的线,段所构成的折线连起来，而使这条折,线上的所有点完全属于,D,。,则称,D,是一个区域。,结合前面的定义，可以定义有有界区域、无界,区域。,连通性,:,性质（,2,）我们称为连通性，即区域是连通的,开集。,区域,D,内及其边界上全部点所组成的集称为,闭区域。,曲线,:,设已给,如果,Re,z,(,t,),和,Im,z,(,t,),都是闭区间,a,b,上连续函数，则称这些点组成集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点,t,及,s,，但不同时是端点，我们有,:,即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上,述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线,。若还有,z(a)=z(b),，则称为一条,简单连续闭曲,线,，或,若尔当闭曲线,。,约当（,Jordan,）定理,:,约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。,光滑曲线,:,光滑曲线：如果,Re,z,(,t,),和,Im,z,(,t,),都在闭区,间,a,b,上连续，且有连续的导函数，在,a,b,上，其导函数恒不为零，则称此曲线,为一条,光滑曲线,；类似地，可以定义分段,光滑曲线。,区域的连通性,:,设,D,是一个区域，在复平面,C,上，如果,D,内,任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点,都属于,D,，则称,D,是单连通区域,;,否则称,D,是多连通区域。,例,1:,集合,为半平面，它是一个单连通无界区域，其边,界为直线：,例,2,、集合,为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：,例,3,、集合,为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：,例,4,、集合,:,为一个圆环，它是一个多连通有界区域,其边界为圆：,例,5,求下列方程所表示的曲线,:,解,化简后得,例,2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域,?,是一条平行于实轴的直线,不是区域,.,单连通域,.,是多连通域,.,不是区域,.,单连通域,.,由公式有：,由三个是内角容易得到：,THANK YOU,SUCCESS,2025/4/7 周一,89,可编辑,