求极限的几类方法研究学士学位论文.doc

求极限的几类方法研究

Research on Several Kinds of Methods for the Limit Solving

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摘 要

求极限的方法是高等数学的基础,也在解决生活中的问题上发挥越来越重要的作用.文章结合极限的基本思想,归纳与总结求极限的几种重要方法：两个重要极限,洛必达法则,泰勒公式等,并结合具体例子进行介绍.

The methods of limit solving are the basis of advanced mathematics, and also playing a more and more important role in solving the problem of life. The page combines the basic idea of the limit as will as introduces some methods of limit solving such as by using two important limits, L 'Hospital Rule, the Taylor formula and so on, some concrete examples will also be presented.

关键词：极限；方法；洛必达法则；泰勒公式；定积分

Keywords: limit; method; L' Hospital Rule; Taylor Formula; definite integral

目 录

1 引言…………………………………………………………………………………………… 4
2 极限的定义…………………………………………………………………………………… 4
3 极限的定理…………………………………………………………………………………… 4
4 求极限的方法………………………………………………………………………………… 5
4.1 用极限定义求极限……………………………………………………………………… 5
4.2 用极限四则运算求极限………………………………………………………………… 6
4.3 用函数连续性求极限…………………………………………………………………… 7
4.4 运用两个重要极限求极限……………………………………………………………… 7
4.5 用等价无穷小求极限…………………………………………………………………… 8
4.6 用夹逼定理求极限……………………………………………………………………… 8
4.7 用洛必达法则求极限…………………………………………………………………… 9
4.8 用泰勒公式求极限………………………………………………………………………10
4.9 用定积分求极限…………………………………………………………………………11
4.10 用拉格朗日中值定理求极限…………………………………………………………13
4.11 用积分中值定理求极限………………………………………………………………13
4.12 用级数收敛必要条件求极限…………………………………………………………14
4.13 用变量替换求极限……………………………………………………………………15
5 关于二元函数的极限…………………………………………………………………………16
6 总结……………………………………………………………………………………………17
参考文献………………………………………………………………………………………… 18
致谢……………………………………………………………………………………………… 18

1 引言

求极限的方法是数学分析很重要的一部分内容,也是学生学习高等数学的基础,是不可或缺的基本功,但求极限的方法纷繁复杂,种类繁多,给很多同学造成了很大的困难,错误的方法不仅计算量大,而且可能求不出结果,浪费精力.而且随着社会发展,人们越来越意识到求极限在各个领域如经济学,天文学,力学,化学,社会科学,工程学正发挥越来越大的作用.很多人意识到学习极限的重要性,因此我认为有必要将几种常用的求极限方法进行归纳.

2 极限的定义

2.1 数列极限的定义
数称为数列的极限, ,,当时,都有成立. 就称数是数列的极限,记作,或.
2.2 函数极限的定义
用应用函数的观点来考察数列,后者只是前者的一种特殊情况：
,
即数列是定义域为全体自然数集合的函数,数列的极限,是考场当自变量,函数值的变化趋势.
对于一般函数,如果它定义在上,除了如同数列一样,可以考察当自变量时,函数的变化趋势外,还可以考察当自变量在函数的定义域内取值（为一实数）时,函数值的变化趋势,即函数的极限.
定义1 ,总存在着一个正数,当时, 成立, 则称常数
为函数当时的极限,记为.
定义2 ,总存在着一个正数,当时, 成立, 则称常数
为函数当时的极限,记为.
定义3 ,总存在着一个正数,当,成立,则称常数为函数当时的极限,记为.
定义 4 若在某种趋势下以为极限,则称函数为该趋势下的无穷小量.

3 极限的定理
应用函数极限的定理
定理 1 （极限的四则运算）若及存在,
则 （1）
（2）
（3）（此时需）
推论 若存在,为常数,则.
定理 2 （夹逼定理）若,且存在（或）,当 (或;)时, 成立,则.
注： 前面指出数列极限为函数极限的一个特例,所以它们的定理也大致相同.

4 求极限的方法

4.1 用极限定义求极限
用极限定义求极限适用于一般证明题,只需根据要求求出符合要求的N即可,但有时遇到特殊情况,需要分类讨论.
例1 证明 .
证明 ,确定不等式
由不等式左边项可知当时,
又因为,
所以当时, ,只要使,即,不等式成立,得证.
例2 证明, .
证明 （1）当时,有, ,要使不等式

成立,解得,取,于是
,,,有,得证.
（2）当时,,,变为常数数列,得证.
（3）当时,另,故,有 得,,,有
,即,,得证.
综上所述结论成立.
4.2 利用极限四则运算求极限
极限的运算法则在前面已经提到,为了更好运用它,通常需要对函数进行转化,拆分,化简,因此应该对一些常用变形,化简方法有一定了解.
例3 求极限.
解

例4 求极限.
解

4.3 利用函数连续性求极限
求连续函数在其定义域的一点的极限,由连续定义有

于是求连续函数在连续点的极限就化为函数在点的函数值.
例5 求极限 .
解 原式

4.4 利用两个重要极限求极限
两个重要极限为：,.
运用这两个极限仍然要对原函数进行化简,替换,使其变成这两个重要极限的形式,而且这两个极限有很多变化的形式,具体问题要灵活运用.
幂指函数定理 设函数,,若
（1） 若是全不为的常数,则.
推论:若,则.
（2） 若,或,,则.
（3） 若,, 则.
例6 求极限.
解 令
因 , 故
例7 求极限.
解 因为 ,
所以
例8 求极限.
解 原式

4.5 用等价无穷小求极限
定义 若,与为无穷小量,且,则称与为等价无穷小（当）,记为.
在计算极限的过程中,每个无穷小量均可用其等价无穷小量来代替,通常我们总是用幂函数形式的无穷小量来代替与它等价的,较复杂的无穷小量.为此,必须熟记几个常用的等价无穷小.以下为常用的几个：（当）

例9 求极限.
解
例10 求极限.
解

4.6 用夹逼定理求极限
夹逼定理已在前面给出,这种方法适用于一般证明题与个别计算题.
例 11 证明.
解 证明 考虑
当时,
当-1＜＜0时,,即
因为 ,由夹逼定理得 ,得证.
例12 求极限.
解 因为 ,所以 ,
因此
4.7 运用洛必达法则求极限
定义 若,则称为型不定式（若,则称为型不定式）.
法则 1 若 （1）为型不定式；
（2）存在,使得,且在上；
（3）存在,则也存在,且.
（当为型不定式时,条件2改为,,且在上；当时也可作类似改动）
法则 2 若（1）为型不定式；
（2）,使得当时,,可导且对于 中的一切,；
（3）存在,则也存在,且.
（对于时的型不定式,可效仿法则1做相应改动）
运用洛必达法则应注意：
（1）首先判定所求极限是否为不定式.
（2）若是需判明类型,当其为或型不定式,且满足法则1或法则2时可使用洛必达法
则,若不属于这两种类型,必须进行转化,视具体情况定.
例13 求极限.
解 令,由于,运用洛必达法则有
原式
例14 求极限.
解 原式

4.8 运用泰勒公式求极限
泰勒公式能将一些函数化为最简单的多项式,又由于其展开式的唯一性,也可借助已知
函数的展开式,求出一些复合函数的展开式,因此泰勒公式为我们提供了非常方便的工具.
泰勒公式的证明不再详细赘述,以下给出几个常用初等函数在的展开式：

例15 求极限.
解 ,由泰勒展开公式得

故
得
例16 求极限.
解 由泰勒展开式有
于是原式
4.9 利用定积分求极限
定积分概念 设函数在闭区间有定义,在内任意插入个分点：
, 令,使 此分法记为,将分成个小区间:,
第个小区间的长记为, 在第个小区间
上任取一点（）,作和
成为函数在区间的积分和. 显然 ,此积分和与分法有关,也与有关. 令
定义 设函数在闭区间有定义,任给分法与,有积分和

若当时,存在有限极限,设

数与分法无关,也与无关.
成立
则称在可积,为在的定积分,记为：

函数的在可积的必要条件是在有界.
例17 求极限.
解 令 ,取对数得

于是有
故原极限
例18 求极限.
解 则,即,取
故
4.10 用拉格朗日中值定理求极限
拉格朗日中值定理 若函数满足下列条件在闭区间连续;在开区
间可导,则在开区间内至少存在一点,使.
巧妙运用拉格朗日中值定理往往对求一些复杂的极限有意想不到的帮助.
例19 求极限.
解 对运用拉格朗日中值定理得

例20 求极限.
解 ,对运用拉格朗日中值定理得
（介于与之间）
4.11 运用积分中值定理求极限
积分第一中值定理: 若函数在区间可积,函数在可积,且不变号,则在上至少存在一点,使 .
积分第二中值定理：设函数在可积.
(1) 若函数在单调减少,且,则存在,使得

（2）若函数在单调增加, 且,则存在,使得

（3）若函数在,则存在,使得

例21 求极限.
解 根据积分第一中值定理, ,有,又故 .
例22 求极限.
解 取,根据积分第二中值定理,,使得又及,故.
4．12 利用级数收敛必要条件求极限
级数收敛必要条件：若级数收敛,则,即收敛级数的一般项必趋于.
为了计算方便,建议一般用达朗贝尔判别法：
对于正项级数,（为确定的数,）,则收敛.
遇到特别情况也可采用柯西判别法：
对于正项级数,（为确定的常数）,则收敛.
例23 求极限.
解 由达朗贝尔判别法得级数收敛,故.
例24 求极限.
解 ,,
由达朗贝尔判别法得级数收敛,故
4.13 利用变量替换求极限
变量替换往往能把复杂的极限化为简单的极限,大大减少工作量,因此在做题中要有意识地去利用变量替换.
例25 求极限.
解 设,当时,
例26 求极限.
解 设,当时,

.

5 关于二元函数的极限

关于二元函数的极限,其本质相比较一元函数的极限发生了很大变化,由于所学课程限制,仅就从二元函数的极限的定义出发给出几道简单证明题与计算题的解说.
二元函数的极限的定义： 设二元函数在点附近有定义,
,当时恒有,就称是二元函数在点的极限,记为:或.
例27 证明 .
解 限定（取）,有

,要使不等式成立,取
,于是,,
,且,有,
即,得证.
例28 证明函数在原点不存在极限.
解 当沿着轴或轴无限趋近于原点时,极限都是,即

当沿着抛物线无限趋近于原点时,有
故函数在原点不存在极限.
例29 求极限.
解 当时,有
取,当且 时, 有 ,故由极限定义知.
例30 求极限.
解 当时,有
,取,当且 时,有.故由极限定义知.

6 总结

本文是在前人研究的基础上总结出来的常用的几种求极限的方法.当然,仅仅掌握以上方法是远远不够的,一道题目往往需要几种方法并用,而且解法也并非单一.在做题目是要仔细审题,灵活运用各种方法,融会贯通.本文难免有疏漏之处,在二元极限方面也没有深入探讨,如有读者指出,必定虚心接受.

参考文献

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[2]刘宁,傅沛仁等主编.数学分析讲义[M].第五版.北京:高等教育出版社,2008.
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[8]B.Ⅱ.吉米多维奇.数学分析习题集集解[M].北京:高等教育出版社,1980:6.
[9]刘三阳.用拉格朗日中值定理求极限[D].西安:西安电子科技大学,1998.
[10]林新和.高等数学中求极限几种常见方法[J].呼伦贝尔学院学报.2005,13(6):16.

致谢
本课题的研究是在张师的指导下完成的.张老师启发了我的思想,在我不清楚的地方为我点名道路,并为我提供大量宝贵意见,并不厌其烦地纠正我的错误,在此要再次感谢老师.另外也谢谢我的同班同学对我的鼓舞与支持.

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