小学数学基本思想的理解与把握(课堂PPT).ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学中的基本思想,东北师范大学,史宁中,2014.9,1,报告目录,一、,数学的基本思想,二、,小学数学中的抽象,三、,小学数学中的推理,四、,小学数学中的模型,2,一、数学的基本思想,1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能,实现教育理念的转变,过去的教育理念：以知识为本,教学大纲,关心问题是,：,应当教那些内容；应当教到什么程度,考核内容是,：,规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求,教学目标是：,基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（,记忆,）,基本技能（证明技能与运算技能）熟练（,训练,）,教学形式是,：,课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）,3,现代的教育理念：以人为本,教育方针：育人为本（纲要）、立德树人（十八大）,课程标准,以学生的发展为本,人的成功依赖：知识技能、把握机遇、,思维方法,不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能,还要培养学生数学的基本素养（素质教育）,感悟数学的基本思想，积累基本活动经验,课程目标：基础知识、基本技能,+,基本思想、基本活动经验,分析问题、解决问题,+,发现问题、提出问题,基本活动经验,：思维经验、,会想问题,；实践经验、,会做事情,4,2.什么是数学的基本思想,数学是研究数量关系和空间形式的科学,研究对象：,数量、图形,研究内容：,数量性质与关系、图形性质与关系,数学的基本思想：,数学的产生与发展必须依赖的思想,学习过数学与没有学习数学的思维差异,抽象、推理、模型,数学教学的责任：,会抽象、会推理,、会一般性地思考,5,通过抽象：现实 数学,把研究对象、以及对象之间的关系形成概念,从现实世界到数学内部，数学具有一般性,通过推理：数学 数学,从假设前提出发，通过推理得到数学的结果,数学内部的发展，数学具有逻辑性,通过模型：数学 现实,解决现实世界中的与数量和图形有关的问题,从数学内部到现实世界，数学具有应用性,得到数学的基本特征：,一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）,6,数学思想：抽象、推理、模型（,不是知识，不靠讲解靠感悟,）,教学要点：创设情境，让学生感悟。,感悟什么？如何感悟？,数是数量的抽象，数量是对现实生活中量的表达。,同时抽象出关系：数量关系的本质是多与少,数关系的本质是大与小。,抽象有两种方法：对应起名（外延）、述说定义（内涵）,对应：三个苹果、三只鸡 3（,去掉物理属性,）,述说：一个一个多起来（后继数）：,1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，,二、小学数学中的抽象,7,小学阶段的数学教育：,开始,用,对应,的方法，,以后,用,述说,方法,比如数的认识,对应：,负数,量相等、意义相反,不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释,述说：如何认识 10000、比 9999 多 1,比如几何概念,对应：称这样的图形为直线段、角,述说：两条射线所形成的图像,8,数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质,（基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题,高等教育出版社，2013年）,读数的关键：十个符号+数位,如何读 2002,符号 0 很重要：1,10,1,9 0 和 10,相反数：a+b=0，b 为相反数，表示为-a,数位与数不同,数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个”,“万”是十个“千”,数：10=9+1,10000=9999+1,9,数的运算,与数的抽象一样，有两种方法表示加法：对应、定义。,定义：,3+1=4？,4=3+1,3+1=4,对应：,哪边多,哪边多？,3+1=4,理解等号的意义：等号两边讲两个故事，,这两个故事量相等,（方程：含有未知数的等式？）,10,点、线、面的抽象,0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。,日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的。,11,角的抽象,角是由两条有公共端点的射线组成的图形。,称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。,几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力,12,抽象的小结,抽象出数学研究的对象：,把外部世界的数量和数量关系、,图形与图形关系引导数学内部。,概念：自然数、负数、点、线、面、体、角,关系,：（代数）,数的大小关系，（几何）两点决定一条直线,法则：加法 减法、乘法、除法,抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛,抽象的东西是理念的存在,郑板桥：,我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。,13,三、小学数学中的推理,推理：,数学内部的发展依赖的是逻辑推理,数学的结论都是命题,数学命题：可供正确或者错误判断的陈述,可供判断,，下面陈述不是数学命题,这个三角形是美的,仅供判断,，下面两个陈述都是数学命题,三角形内角和180度,三角形内角和120度,直接推理：对命题的直接判断,一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程,14,逻辑推理：,命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。,A,P,，,x,A，x,P,。,x,P,，,x,A，A,P,。,前者：,凡人都有死。苏格拉底是人。/苏格拉底有死。,后者：,苏格拉底是人，苏格拉底有死。,柏拉图是人，柏拉图有死。/凡人都有死。,非逻辑推理：,命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。,苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。,两种逻辑推理,演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。,归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。,15,演绎推理,演绎推理需要前提：公理或者假设。,“数与代数”演绎推理的前提,命题1 等式（不等式）关系具有传递性。,a=b(a,b），b=c,(a,b）,a=c(a,c）,命题2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。,a=b(a,b）,a+c=b+c(a+c,b+c）,a-c=b-c(a-c,b-c）,16,演绎推理,加上一个正数比原来的数大。,符号表示：,对于任意的数,a,和正数,b,，有,a+b,a,。,因为,b,为正数，所以,b,0,在上面不等式两边分别加上,a,，由命题,2,得到,a+b,a,结论成立。,利用类似的方法可以证明对称命题：,加上一个负数比原来的数小。,17,演绎推理,减去一个正数等于加上这个正数的相反数,减去一个正数比原来的数小,用数学符号表示这个命题：,a-b=a+(-b),其中,b,0,。因为,“,减法是加法逆运算,”,：,a-b=x a=b+x,由命题,2,，在右边等式的两边分别加上（,-b,）等式不变：,a+(-b)=b+(-b)+x,。,根据相反数的定义：,a+(-b)=x,。由命题,1,：,a-b=x=a+(-b),18,演绎推理,减去一个负数等于加上这个负数的相反数。,减去一个负数等于加上一个正数。,减去一个负数比原来的数大。,用数学符号表示这个命题,a-(-b)=a+b,令,x=a+b,。等式分别两边加上,b,的相反数（,-b,），由命题,2,x+(-b)=a+b+(-b)=a,上面等式的两边同时减去,(-b),，再由命题,2,：,x+(-b),(-b)=a,(-b),因为同样的数相减为,0,：,x=a,(-b),。由命题,1,：,a-(-b)=a+b,19,演绎推理,演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。,论证问题的形式是：,已知 A 求证 B,其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识,发现知识需要下面两个能力：,从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力,因此，需要归纳推理：,从经验过的东西推断未曾经验的东西,20,归纳推理,归纳推理需要前提：经验或者想象,经验：从个别到一般，从具体到符号,加法交换律,3+5=8，5+3=8 3+5=5+3,6+9=15，9+6=15 6+9=9+6,3+(-2)=1，(-2)+3=1 3+(-2)=(-2)+3,a+b=b+a,结论的正确与否需要演绎证明,21,归纳推理,探究成因,混合运算：先算括号、先乘除后加减,为什么？举例说明,(3+2),6=56=30,3+2,6=3+12=18,上：,一队同学，每排3名女生2名男生，共6排，问有多少同学。,下：操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排，问现,在操场上有多少同学。,现在同学数=原来同学数+后来同学数,=3+2,6,混合运算讲两个以上的故事。,除分数等于乘这个分数的,倒数,22,归纳推理,类比的方法：几何,一个点把直线分为两个部分。如何表达？,一条直线把平面分为两个部分。如何表达？两条直线呢？,一个平面把空间分为两个部分。如何表达？两个平面呢？,数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论。,因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理，,因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。,23,四、小学数学中的模型,抽象：把现实世界的数量与关系、图形与关系引到数学,推理：基于概念得到命题，数学自身得到发展,模型：把数学的结果一般性地应用于现实世界，回归现实,模型：是沟通数学与现实世界的桥梁,用数学的语言讲述现实世界的故事,力是什么？,F=ma,重力是什么？,s=gt,2,/2,24,课标中主要要求两个模型,总量模型（加法模型）：总量=部分+部分,部分=总量,部分,顺序模型：现在=过去+变化,路程模型（乘法模型）：路程=速度 时间,速度=路程/时间,植树模型、工程模型,25,如果在我国的中小学数学教育中,一方面保持,“,数学双基教学,”,合理的内核，一方面又添加了,“,基本思想,”,和,“,基本活动经验,”,，必将会出现既有,“,演绎能力,”,又有,“,归纳能力,”,的培养模式。,就必将会出现,“,外国没有的我们有，外国有的我们也有,”,的局,面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于,世界。,26,谢谢！,27,改造于九章算术方程篇第八题。,在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：,第一次 卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱；,第二次 卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当；,第三次 买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。,如何用数学的方法表达？,28,文字形式,牛 羊 猪 合计,第一次 收入24 收入25 支出39 收入10,第二次 收入36 支出45 收入90 0,第三次 支出60 收入30 收入24 支出6,数字形式,牛 羊 猪 合计,第一次 24 25 -39 10,第二次 36 -45 90 0,第三次 -60 30 24 -6,负数与自然数：,数量相等（绝对值）、意义相反。,29,除以一个分数等于乘这个分数的倒数。为什么？,有鹅4只，是鸭子的三分之一，问有几只鸭子？,教学目的：,4 1/3=4 3=12,为什么用除法：,有鹅4只，是鸭子的2倍，问有几只鸭子？,为什么乘倒数：,破题，解释什么是1/3,1只鹅对应3只鸭子，2只鹅对应6只鸭子，3只鹅对应9只鸭子，,所以：4只鹅对应12只鸭子。,30,