罗尔中值定理.ppt

一、罗尔中值定理,引理(费马):,设,y,=,f,(,x,),在开区间(,a,b,),内有定义.在,x,0,(,a,b,),处取得最大值(最小值),且,f,(,x,),在,x,0,处可导,则,f,(,x,0,)=0.,证:,因,f,(,x,),在,x,0,处可导.,45 微分中值定理,设,f,(,x,0,),为,f,(,x,),在开区间(,a,b,),内的最大值,即,x,(,a,b,),有,f,(,x,),f,(,x,0,).,故当|,x,|,充分小时,有,x,0,+,x,(,a,b,),从而,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),0,因,x,0,(,a,b,),(1)当,x,0时,由保号性定理,令,x,0,+,(2)当,x,0时,由保号性定理,令,x,0,综合(1),(2)有0,f,(,x,0,),0,故,f,(,x,0,),=0,类似可证,f,(,x,),在,x,0,取最小值的情形.,注1.,因,f,(,x,0,)表示曲线,y,=,f,(,x,),上点,M,(,x,0,f,(,x,0,),处切线斜率.,而,f,(,x,0,)=0表示该点处切线斜率为0.,因此,引理在几何上表示:若,y,=,f,(,x,)在(,a,b,),内部某点,x,0,处取最大(小)值,且在,x,0,可导,则在,M,(,x,0,f,(,x,0,),处的切线平行于,x,轴.,如图,b,M,a,x,0,y,x,0,M,x,0,y,=,f,(,x,),注2.,若,f,(,x,),在区间,a,b,的端点,a,(,或,b,),处取得最大(小)值.不能保证,f,(,a,)(,或,f,(,b,)=0.,即,在端点,M,(,a,f,(,a,),或,M,(,b,f,(,b,),处切线不一定平行于,x,轴.,如图.,0,a,b,x,y,y,=,f,(,x,),定理1.,(罗尔中值定理).若,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续,在(,a,b,),内可导,且,f,(,a,)=,f,(,b,).,则在(,a,b,),内至少存在一点,使得,f,.,证:,因,f,(,x,),在,a,b,上连续,从而可取得最大值,M,=,f,(,x,0,),和最小值,m,=,f,(,x,1,).,其中,x,0,x,1,a,b,(1)若,m,=,M,因,m,f,(,x,),M,.,即,M,f,(,x,),M,所以,f,(,x,)=,M.,有,f,x,故,(,a,b,)有,f,.,(2)若,m,b,还是,a,b,.,但,介于,a,b,之间.,注2.,若,y,=,f,(,x,),在,a,b,上满足拉格朗日定理条件.,x,(,a,b,),y,=,f,(,x,+,x,),f,(,x,)=,f,x,=,f,x,+,x,),x,其中|,x,|充分小,介于,x,和,x,之间.,0,1.,使得,=,x,+,x,如图,x,a,b,x,+,x,x,注3.,定理的条件,f,(,x,),在,a,b,上连续,在(,a,b,),内可导 不能减弱.,推论1.,若,f,(,x,),在(,a,b,),内的导数恒为0,即,x,(,a,b,).,有,f,x,=0.,则,f,(,x,),在(,a,b,),内是一个常数.即,x,(,a,b,),f,(,x,)=,C,(,常数).,证:,取定,x,0,(,a,b,).,只须证明,x,(,a,b,),有,f,(,x,)=,f,(,x,0,),即可.,因,f,(,x,),在(,a,b,),内可导,从而在(,a,b,),内连续.,故,f,(,x,),在,x,0,x,(,a,b,)(,或,x,x,0,(,a,b,),上满足拉格朗日定理的条件.,f,(,x,),f,(,x,0,)=,f,(,x,x,0,)=0,介于,x,和,x,0,之间.,即,x,(,a,b,),有,f,(,x,)=,f,(,x,0,),例2.,证:,记,f,(,x,)=arcsin,x,+arccos,x,.,在(1,1)内可导.且,从而在,(1,1)内,f,(,x,)=,C.,(,常数).,取,x,=0,得,故 当,1,x,0,时,证:,改写原式,利用公式,证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数,f,(,x,).,所以,记,f,(,t,)=ln(1+,t,),知,f,(,t,),在0,x,上满足拉格朗日中值定理的条件.,且,因,故,三、柯西中值定理,定理3.,若,f,(,x,),g,(,x,),都在,a,b,上连续,在(,a,b,),内可导,且,g,(,x,),0.,则至少存在一点,(,a,b,),使得,分析:若分别对,f,(,x,),g,(,x,)用拉格朗日中值定理,可得上式左端,但,1,2,不一定相同,故,不能用这一方法.,只须证,即,证:,知,(,x,),在,a,b,上连续,在(,a,b,),内可导.,且,从而,(,b,),(,a,)=0.,由罗尔中值定理,(,a,b,),使,(,),=0,例5.,设,f,(,x,),在(,+,)内可导.,f,(0)=0.,证明,(,+,),使得 2,f,(,),f,(,)=3,2,f,2,(1),证:,这一类问题,往往可考虑用中值定理解决.,变形.,注意到,左端,从而,待证式为,故,记,F,(,x,)=,f,2,(,x,),g,(,x,)=,x,3,在0,1上连续,在(0,1)内可导.,由柯西中值定理,(0,1),使得,若修改例5为:,f,(0)=0,f,(1)=0,证明,(,+,),使得,f,(,),f,(,)=0.则可用罗尔定理证.,四、泰勒中值定理,在近似计算和理论分析中,对于复杂函数,f,(,x,).,常希望用一个多项式,P,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+,a,n,x,n,来近似表示,f,(,x,).,比如,当|,x,|,很小时,e,x,1+,x,sin,x,.,都是用一次函数表示函数,f,(,x,),的例子.,缺陷:,(1)精度不高,误差仅为,o,(,x,),(2)没有误差估计式.,从几何上看,缺陷(1)是由于我们在,x,=0,附近用直线代替曲线,精度当然不高.,能否改用二次曲线,三次曲线,代替?精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?,y=e,x,1,y=,1,+x,看图.,1,x,0,y,我们要解决的问题是:设,f,(,x,),在,x,=,x,0,的某邻域内有直到,n,+1,阶导数.,(1)试求一个关于,x,x,0,的,n,次多项式,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,a,n,(,x,x,0,),n,使,P,n,(,x,)能在,x,0,的附近近似表示,f,(,x,).,即,f,(,x,)和,P,n,(,x,)在,x,=,x,0,处的函数值以及,k,阶(,k,n,),导数值都相等.,即,f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,n,),(,x,0,)=,P,(,n,),n,(,x,0,).,(2)误差,f,(,x,),P,n,(,x,)的表达式.,首先解决问题(1),即设,f,(,x,),在,x,=,x,0,的某邻域U(,x,0,)内有直到,n,+1,阶导数.,求,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,a,n,(,x,x,0,),n,.,满足,f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,x,0,)=,P,n,(,x,0,),f,(,n,),(,x,0,)=,P,(,n,),n,(,x,0,).,将,x,=,x,0,代入,P,n,(,x,),得,P,n,(,x,0,)=,a,0,=,f,(,x,0,),对,P,n,(,x,)求导,再将,x,0,代入,得,P,n,(,x,0,)=,a,1,=,f,(,x,0,),对,P,n,(,x,)求二次导,将,x,0,代入,得,P,n,(,x,0,)=2!,a,2,=,f,(,x,0,),P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,a,n,(,x,x,0,),n,同理,一般,得,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,x,0,)+,a,2,(,x,x,0,),2,+,a,n,(,x,x,0,),n,得,定理4.,(泰勒中值定理)如果,f,(,x,),在含,x,0,的某个区间(,a,b,),内有直到,n,+1,阶的导数，则对,x,(,a,b,)，,有,其中,是介于,x,0,与,x,之间的一个值.,只须证明,或,证:,由于,f,(,x,),和,P,n,(,x,),在(,a,b,),内有直到,n,+1,阶导数,从而,R,n,(,x,),在(,a,b,),内有直到,n,+1,阶导数.,注意到,有,1,介于,x,0,与,x,之间.,对函数,R,n,(,x,),和(,n,+1)(,x,x,0,),n,在,x,0,1,或,1,x,0,上用柯西中值定理.,有,2,介于,x,0,与,1,之间.,继续下去,经,n,次后,有,其中,=,n,+1,介于,x,0,与,n,之间,从而介于,x,0,与,x,之间.,注1.,公式,称为,f,(,x,),按(,x,x,0,),的幂,展开到,n,阶的泰勒公式.,称为拉格朗日型余项.,也可写成,注2.,当,n,0,时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式,注3.,若,且,可是,误差,R,n,(,x,),是(,x,x,0,),n,的高阶无穷小(当,x,x,0,时).,即,R,n,(,x,)=0(,x,x,0,),n,).,称为皮亚诺余项.,注4.,若在泰勒中值定理中取,x,0,=0.,则公式为,其中,介于,x,与,0,之间,0,1.,称为马克劳林公式.,例6.,写出,f,(,x,)=,e,x,展开到,n,阶的马克劳林公式.,解：,f,(,n,),(,x,)=,e,x,f,(,n,),(0)=1,故,特别,取,x,=1,有,误差,例7.,求,f,(,x,)=sin,x,在,x,0,=0,的展开式,解：,sin0=0,故,0，,n,=2,k,时,(,1),k,，,n,=2,k,1,时,将sin,x,在,x,0,=0,展开到,n,=2,m,阶.,得,其中,同理,其中,例8.,求,解：,展开,相减,从而,