弹性波动力学学习手册样本.doc

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本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容, 并提供相应的计算练习实例以及相应练习。
第一章 仿射正交张量
§1.1 指标记号及两个符号
一、 指标记号
1、 凡使用指标的记号系统为指标记号, 如单位基向量: ei, 空间内任一点坐标: xi, 今后会遇到的应变张量、 应力张量 等。
2、 求和约定
例: 空间内任一点P的向径可表示为:
( 1)
在( 1) 式中可发现是对指标i从1至3的取值范围内求和。能够将其简写为:
( 2)
这即是求和约定, 亦即在数学表示式内同一项中, 有某个指标重复出现一次且仅一次( 如( 2) 式中的指标i) , 就表示对该指标在其取值范围内取一切值, 并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。
需要说明的是: 由于该指标仅表示在其取值范围内求和, 因此用其它拉丁字母代替亦可, 可是不能与后文提到的自由指标相重复。
例1:
该例中, 同一项中指标j有重复且只重复一次, 因此为哑标。
另一指标i不参与求和约定, 称其为自由指标。
该式展开为:
i=1时,
i=2时,
i=3时,
自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数, 哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。
例1中, 由于只有一个自由指标i, 因此实际上它代表有个表示式; 右端项只有一个哑标j, 因此该项展开后是项的和。
例2:
例3:
需要说明的是: 教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、 2、 3, 而用希腊字母书写的指标取值范围是1、 2( 如例3中的指标a) 。

针对指标记号的练习题:
练习1: 写出 ( 个方程, 每个方程右端有个累加项)
练习2: ( 个方程, 个累加项)

二、 两个符号
1、 Kronecker符号
写成阵列的形式即为:
Kronecker符号的特点:
( 1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例4: 向量和, 有:
注意: 可作为求和约定中”同一项”的分隔符
注意: 点乘(包括叉乘符号)符号不能作为”同一项”的分隔符, 因此此例中将向量的下标换成了j。

2、 排列符号( 置换符号) :
1
2
3

因此, , 其余21个值为0.
还有:
例5:
则有:
例6: 向量和, 有:

则
针对两个符号的练习题:
练习3: 已知, 和为常数, 试将此式开展:

§1.2 坐标变换
旧系: , 单位基向量:
新系: , 单位基向量:
坐标变换系数:
新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律:
新旧坐标系下的空间点坐标变换规律:
向量, 在旧系下的分量, 新系下的分量为, 其坐标变换规律为:

向量的解析定义: 若有3个量, 它们在和的分量分别为和, 当两个坐标系之间的变换系数为时, 与之间按式变换, 则这3个量有序整体形成一个向量, 此3个量为向量的分量。

§1.3 张量的定义
一、 张量的定义
1、 0阶张量( 标量) : 个分量, 在旧系下为, 新系下, 当进行坐标变换时满足。
2、 一阶张量( 向量) : 个有序分量, 满足
3、 二阶张量: 个有序分量, 满足

记, 写成阵列形式为:
4、 n阶张量, 同上

练习4: 试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量( P8,例1.3-1) 。
练习5: P27,题1-5
练习6: P27,题1-6

二、 张量的表示方法
并向量表示法( 实体表示法) :

§1.4 张量的代数运算
1、 张量的相等
2、 张量相加减
3、 张量乘积
r阶张量A,s阶张量B。它们的乘积 C=AB为( r+s) 阶
张量乘积的运算性质:
( 1) 服从分配律:
( 2) 服从结合律:
( 3) 不满足交换律:
4、 张量的缩并
在r( ) 阶张量, 令其任何两个指标相同, 并对重复指标施行求和约定。
例7: 缩并一次减少2阶
5、 张量的内积
r( ) 阶张量A和s( ) 阶张量B的乘积中, 对分别属于A和B的指标进行一次缩并, 称如此所得的张量为张量A与B的内积, 记为, 约定: 对张量A的最后一个指标和张量B的第一个指标进行。
例8: 知, 向量。求内积和

§1.5 商法则
设一组数的集合, 若它满足对于任意一个q阶张量S(如q=2, 任意阶张量分量为)的内积均为一个p阶张量U( 如p=3, 三阶张量) , 即在任意坐标系内以下等式均成立: ( 对l, m应用了求和约定) , 则这组数的集合必为一个阶张量。

§1.6 几种特殊张量
对称二阶张量:
反对称二阶张量:
引入
球张量及偏张量:
各向同性张量: 张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。

§1.7 二阶张量的特征值和特征向量

§1.8 张量分析简介
标量: ; 向量: ;
1、 对时间的导数:
2、 张量场的梯度:
3、 张量场的散度:
4、 张量场的旋度:
5、 散度定理:

练习7: 题1-9

第二章 弹性波动力学绪论
一、 弹性波动力学的任务: 应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。
二、 弹性动力学的基本假设: 1、 物体是连续的; 2、 物体是线性弹性的; 3、 物体是均匀的; 4、 物体是各向同性的; 5、 物体的位移和应变都是微小的。6、 物体无初应力。

第三章 运动和变形
§3.1 弹性体运动和变形的表述
一、 基本概念: 位形、 参考位形、 变形、 运动
二、 运动和变形的数学表述:
同一质点、 不同时刻的向径: 或
位移:

例1: 例3.1-1
练习1: 题3-2
练习2: 题3-3

§3.2质点的速度和加速度

§3.3应变张量
公式推导: 从两点间的距离改变出发来推导:

定义 格林应变张量

例2: 例3.3-1
练习3: 题3-4

§3.4小变形情形的应变张量和转动张量
一、 小变形情形下的应变张量:
二、 小变形位移的分解:

令转动张量:
( 刚体平移+刚体转动+变形位移)

例3: 例3.4-1
例4: 例3.4-2
练习4: 题3-7
练习5: 题3-8

§3.5小变形情形下, 过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化
一、 正应变( 线应变、 相对伸缩)

例5: 例3.5-1
练习6: 题3-6
练习7: 题3-11

二、 过一点的两个线元之间夹角的变化
初始两线元夹角余弦
变形后两线元夹角余弦
例6: 例3.5-2
练习8: 题3-10

§3.6小变形应变张量的几何解释
一、 的几何解释: 质点P处原来沿ox1轴方向上的线元每单位长度的长度变化, 即点P处沿ox1轴方向的正应变。( 、 同理) ——正应变分量
二、 的几何解释: 变形中点P处原来沿ox1轴和ox2轴方向的两线元之间角度( 原为 ) 改变量的一半。( 、 同理) ——剪应变分量
三、 的几何解释: 变形中点P处每单位体积的体积改变。
—— 该公式的推导

§3.7主应变, 应变不变量
若过点P的某个方向的线元, 在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩, 则称此线元的方向为该点应变的主方向, 称该方向的相对伸缩( 正应变) 为主应变。

§3.8相容性条件

§3.9应变球张量及应变偏张量

张量为应变球张量, 表明某一点处体元的形状不改变, 只是体积发生变化; 为应变偏张量, 描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加。

第四章 应力分析
§4.1体力及面力
体( 积) 力: 连续分布作用于弹性体每个体元上的外力
( 表) 面力: 连续分布作用于弹性体表面上的力

§4.2应力向量
用假想截面将弹性体一分为二, 两部分经过截面相互有内力作用, 可视为面力分布作用于整个截面上。截面上取包含P点的面元, 面元的外法向向量为n
应力向量

当x和t固定, 而使n取一切可能值时, 就得出时刻t过向径为x的点所有各个面元上的应力向量, 它们的总体就是该点在该时刻的应力状态; 当x改变时, 就给出弹性体内各个点的应力状态, 即为应力场。
一般来讲, 应力向量与面元的外法向方向不平行, 于是有:

——面元上的正应力, ——剪应力分量

例1: 例4.2-1

§4.3应力张量
一、 应力向量的分解: 指标涵义, 正负的规定
二、 Cauchy应力公式: 给定一点的应力状态, 就完全确定了该点的应力状态。
例2: 例4.3-1
例3: 例4.3-2
练习1: 题4-5

§4.4运动微分方程 边界条件

一、 运动微分方程:
平衡微分方程:
练习2: 题4-18
练习3: 题4-19
二、 应力张量的对称性:
三、 应力边界条件:
例4: 例4.4-2

简便方法: 比较边界上的应力与面力方向

l
h
x1
p
p
q
x2
o
B
A
C

练习4: 题4-20
练习5: 题4-21
练习6: 题4-22

§4.5 主应力 应力不变量

主平面、 主方向: 若面元上的应力向量t与面元的法向方向n平行, 则此面元为该点的主平面, 该平面法向方向为该点的主方向。

主应力: 该主平面上, 应力向量的剪应力分量为零, 则主平面上的正应力分量既为该点的主应力。

§4.6 主应力的一些性质

§4.7 应力球张量及应力偏张量

为应力球张量, 为应力偏张量

第五章 应力与应变关系
§5.1 功和应变能
忽略热与温度影响的热力学第一定律:
Green公式

§5.2 各向同性线性弹性体的广义Hooke定律
一、 ——广义Hooked定律
二、 各向同性线性弹性体的广义Hooked定律

练习1: 题5-3
练习2: 题5-4
练习3: 题5-5
练习4: 题5-6
三、 各向同性线性弹性体的应变能密度函数

四、 物理常数与、 之间的关系式

五、 各弹性常数可能的取值范围

六、 使用球张量及偏张量表出广义Hooke定律

第六章 线性弹性动力学问题的提出
§6.1 线弹性动力学的基本方程、 边界条件和初始条件
基本方程: 几何方程、 物理方程、 运动微分方程
定解条件: 边界条件+初始条件
线性弹性动力学问题的基本求解路线: 已知弹性体的自身性质、 所受外力、 边界条件、 初始条件, 而求弹性体内的位移场、 应变场及应力场。

§6.2 线弹性动力学问题的提法
一、
二、 Navier方程:
例1: 例6.7-1
练习1: 题6-1
练习2: 题6-2
练习3: 题6-3

§6.5 二维运动问题
平面运动+反平面运动
§6.6 能量密度及能通量密度向量

例2: 例6.6-1
练习4: 题6-9
练习5: 题6-10

第七章 线性弹性动力学中的基本波及表示
§7.1 无界线性弹性体中的波传播
( )

§7.2 无界线性弹性体中的平面波
一、 ——在空间沿n方向以速度c传播的平面波
波阵面为
二、 平面位移波:
d为位移方向
( 1) , 纵波 ( 2) , 横波
相关参数的物理意义。
三、 平面简谐波:
非均匀平面简谐波:
等振幅面:
等位相面:

§7.3 二维运动问题的波动方程

第八章 平面简谐波在界面处的反射和折射
§8.1 具有自由界面的弹性半空间中的平面简谐波
一、 边界条件
二、 会辨别平面波的类型、 波的传播方向、 反射系数的计算( P波、 SV波、 SH波) 、 视速度
三、 Rayleigh面波的特点
练习1: 题8-1
练习2: 题8-2
练习3: 题8-3