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自动化车床管理的最优解决方案

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自动化车床管理的最优解决方案
摘要
本文解决的是自动化车床管理中检查间隔和刀具更换策略的最优化问题, 我们对题目中所给数据用Excel进行了统计分析, 并经过卡方拟合检验法进一步验证出现故障时生产的零件数服从正态分布, 为此我们分别对以下三个问题建立概率模型来求解。
对于问题一: 该问题属于优化问题中的概率数理统计问题, 经过Excel对表格中的数据进行数据统计分析, 我们发现故障发生时所完成的零件数符合正态分布, 因此我们建立连续型随机事件模型并用MATLAB解出每个零件损失费用最小值为 , 即换刀次数为359件, 检查间隔为18件时为最优策略。
对于问题二: 分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线, 因此能够建立一个随机模型。在一个换刀周期内要么每次抽到合格品, 要么换刀之前抽到次品。每次抽到合格品又能够分两种情况, 即工序正常时抽到98%的合格品和工序故障时抽到40%的合格品; 换刀前抽到次品又可分为两种情况, 即工序故障时抽到60%不合格品和工序正常时抽到2%不合格品。我们把工序正常时抽到2%不合格品整合到前三种情况中, 最后经过MATLAB求得最优解, 即损失费用 。当换刀次数为287件, 检查间隔为72件时获得最好的效益。
对于问题三: 在第二问的基础上, 我们将检查策略改为: 若抽到正品则认为机器正常, 抽到次品则连续抽查两次, 能够减小每个零件损失的期望值。
最后, 分别对模型一, 模型二对样本均值与样本方差以及概率方面进行灵敏度分析, 并比较了这些量的改变对每个零件损失期望值的影响。

关键词: 正态分布 概率模型 数理统计 灵敏度分析
1．问题的重述
1.1自动化车床管理的现状
当前中国机床产业仅仅在规模方面具有相对比较优势, 与机床制造强国相比, 在结构、 水平、 研发和服务能力等方面都还存在明显的差距。但有些行业如铁路、 航空、 能源等行业对机床依然有较大需求, 特别是汽车制造行业开始回升。随着制造业市场需求的变化、 产品升级需求的释放、 ”振兴规划”和”重大专项”政策的出台, 产品结构在不断优化, 机床行业将出现结构性复苏机会。
1.2本文需要解决的问题
一道工序用自动化车床连续加工某种零件, 由于刀具损坏等原因该工序会出现故障, 其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员经过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录, 故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下:
故障时产出的零件损失费用 f=200元/件;
进行检查的费用 t=10元/次;
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费);
未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。
1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品, 正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔( 生产多少零件检查一次) 和刀具更换策略。
2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品, 有2%为不合格品; 而工序故障时产出的零件有40%为合格品, 60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
3) 在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。
附:100次刀具故障记录(完成的零件数)
459
362
624
542
509
584
433
748
815
505
612
452
434
982
640
742
565
706
593
680
926
653
164
487
734
608
428
1153
593
844
527
552
513
781
474
388
824
538
862
659
775
859
755
649
697
515
628
954
771
609
402
960
885
610
292
837
473
677
358
638
699
634
555
570
84
416
606
1062
484
120
447
654
564
339
280
246
687
539
790
581
621
724
531
512
577
496
468
499
544
645
764
558
378
765
666
763
217
715
310
851
2.模型的假设与符号说明
2.2模型的假设
假设一: 工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任何一零件时出现故障的机会均相等。
假设二: 由于刀具损坏故障比率较大, 则忽略其它故障对计算结果的影响。
假设三: 更换刀具和发现故障进行调节使恢复正常使用, 这两者都看做一个周期, 之后又是另外一个周期的开始。
假设四: 题中所给的数据都是经过实验论证, 正确合理而且没有错误。
假设五: 对于某一个刀具的寿命能够近似用该点的概率密度表示。
假设六: 因误判而停机只有误判停机损失费, 它的一个周期没有结束。
2.2符号说明
符号
符号说明

故障时产出的零件损失费用

进行检查的费用

发现故障进行调节使恢复正常的平均费用

未发现故障时更换一把新刀的费用

工序正常而误认有故障停机产生的损失费用

刀具损坏故障的概率密度函数

第种情况该事件发生的概率

每个零件损失费用的期望值

一个周期内损失费用的期望总和

第种情况损失费用的期望和

一个周期内生产合格零件的期望值

第种情况生产合格零件的期望值

第种情况损失的费用

第种情况生产的合格零件数

每生产个零件换一次刀具即换刀周期

每生产个零件检查一次

换刀前出现故障时生产的合格零件数

一次换刀周期的检查次数

工序出现故障时产出不合格品的概率

工序正常时产出合格品的概率

3.数据的分析与假设检验
经过对100次刀具故障记录的完成零件数观察研究及用Excel处理验证, 能够估计刀具故障分布函数, 其服从正态分布, 根据记录数据求出了, 则有发现这100次刀具故障时完成的零件数近似服从的正态分布。

我们就大胆的假设这100次刀具故障数据近似服从正态分布, 再用卡方拟合检验法来进一步验证。我们用来作为检验统计量。
我们假设刀具使用寿命近似服从的正态分布,
: 表示总体的分布函数是;
: 表示总体的分布函数不是;
若, 则成立, 即假设成立; 若, 则成立, 即假设不成立; 分析题中所给数据能够知道: 的最小值为84, 最大值为1153, 我们能够把这110个数据从83.5到1153.5分成10组, 每组间隔, 用Excel画出频数直方图如上。
数出落在每个小区间的数据频数, 算出, , , 得到如下表所示:
卡方分布检验正态分布表格
组限
频数
频率

83.5-190.5
3
0.03
0.0145
5.75
8.52
190.5-297.5
4
0.04
0.0430
297.5-404.5
7
0.07
0.0969
9.69
5.06
404.5-511.5
16
0.16
0.1641
16.41
15.6
511.5-618.5
25
0.25
0.2131
21.31
29.33
618.5-725.5
20
0.20
0.1998
19.98
20.02
725.5-832.5
13
0.13
0.1433
14.33
11.79
832.5-939.5
7
0.07
0.0783
7.83
6.26
939.5-1046.5
3
0.03
0.0308
4.7
5.32
1046.5-1153.5
2
0.02
0.0162

100
1
1
100
101. 9
其中
计算得: ＝1. 9
一般我们取, 则11.071
故有＜, 因此在水平0.05下我们接受, 即总体X的正态分布函数。
由此我们得出刀具寿命X服从正态分布。

4.问题的分析
经过对车床故障数据的数理统计我们发现车床出现故障时所产生的零件数符合正态分布函数, 车床的故障来自于95%刀具故障和来自于5%其它故障这两方面因素所致, 另外对于另外5%的其它故障由于概率较小, 能够当做小概率事件, 暂时忽略。
本文求解损失效益最小情况下, 安排合理的检查间隔与换刀策略。分析得知车床出现故障时所产生的零件数符合正态分布函数, 因此能够建立一个随机模型来解决损失最小的优化问题。最后使在一个换刀周期内, 损失费用的总期望值与生产合格产品的总期望值比值最小。
在一个确定的换刀周期内, 分析易得这个周期内只会出现两种情况: 要么每次抽到合格产品要么在换刀之前抽到次品。求出两种情况下损失的费用再分别求出两事件发生的概率, 即为损失费用的总期望值。同理能够求出一个周期内生产合格产品的总期望值。
对于问题一: 分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线, 因此能够建立一个随机模型。在一个刀具更换周期内, 题中假定工序故障时产出的零件均为不合格品, 正常时产出的零件均为合格品。那么只有两种情况换刀前机器正常或换刀之前机器故障。易计算这情况下的每个零件损失期望值的表示式, 最后在MATLAB中编程求出符合题意的最优解。
对于问题二: 分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线, 因此能够也建立一个随机模型。但题中假设该工序正常时产出的零件不全是合格品, 有2%为不合格品, 而工序故障时产出的零件有40%为合格品, 60%为不合格品。总体求解思路不变, 在一个换刀周期内要么每次抽到合格品, 要么换刀之前抽到次品。各种情况方框图表示为:

由于单独考虑第4种情况会比较复杂, 但分析得前三种情况包含第4种情况的一小部分, 因此能够把第4种分别放在前三种情况中考虑, 最后在MATLAB中编程求出符合题意的解。
对于问题三: 同理能够建立一个随机模型, 在问题二的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。在第二问求解时, 我们抽查零件时都是等间距的。分析得刀具故障数据近似服从正态分布, 也就是说在开始的一段时间内零件出现故障的概率较小, 随后加大。因此等间距检测就出现弊端, 因此我们考虑不等间距检测, 依据刀具故障数据正态分布函数, 开始检测间距大一些, 之后检测间距小一些。或每次检测连续检查两次, 能够大大减小抽到次品和误判而停机的概率。
5.问题一的解答
5.1随机模型的建立
5.1.1确定目标函数:
经过对问题一的分析我们确立了目标函数
每个零件的损失费用的期望值为一个周期内损失费用的期望总和与生产合格零件的期望值之比, 越小则获得的效益越高, 的最小值表示式为:

对于损失费用的期望总和为换刀前不出现故障的损失费用期望和和换刀前出现故障的损失费用期望和之和。而损失费用的期望为损失费用与此事件发生概率的乘积:

同理得到换刀前生产合格零件的期望值的表示式为:

第一种情况即换刀之前没有出现故障的损失费用期望值, 为检查费用和换刀费用之和再乘以该事件发生的概率, 表示式为:

因此
第二种情况即换刀之前出现故障的损失费用期望值, 为检查费、 故障维修费和零件损失费三者之和再乘以该事件发生的概率, 其表示式为:

事件概率为第个零件恰好为坏的概率为:

因此:
同理, 生产合格零件的期望值的表示式为:

5.1.2综上所述得到问题一的最优化模型:

5.2模型的求解
根据MATLAB程序求得: ( 见附录问题一)
每个零件损失费用最小值为

即当检查间隔为18件, 刀具的额定寿命为359件时可使损失费用最小。
5.3结果的分析
根据题意, 工序正常时产出的都为合格品, 故障时产出的都为不合格品, 我们考虑了换刀前出现故障和换刀前不出现故障这两种情况, 并分别用MATLAB编程求解, 最后我们得到模型最优解, 即检查间隔为18件, 刀具的额定寿命为359件时损失费用最小。由于刀具的额定寿命为359, 经过6SQ分析得出它的期望值为600,359/600=59.8%,有效的避免后面刀具故障发生的高峰期, 比较符合实际情况。

6.问题二的解答
6.1随机模型的建立
6.1.1确定目标函数
经过对问题二的分析我们确立了目标函数:

( 1) 第一种情况下损失费用的期望值, 为检查费用、 换刀费、 零件损失费及误判损失费之和再与此事件发生概率的乘积。

因此:
( 2) 第二种情况下损失费的期望值, 为检查费、 故障维修费、 零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。

因此
( 3) 第三种情况下损失费用的期望值, 为检查费、 故障维修费、 误判停机费及零件损失费之和再与此事件发生概率的乘积。
损失费用

因此
同理生产合格产品的损失费用期望和为:

6.1.2综上所述得到问题二的最优化模型:

6.2模型的求解
根据MATLAB程序求得: ( 见附录问题二)
每个零件损失费用最小值为

即当检查间隔为72件, 刀具的额定寿命为287件时可使损失费用最小。
6.3结果的分析
根据题意我们得知要么每次都抽到正品, 要么换刀前就抽到了次品, 同时抽查零件是不等间距的, 经过对该问的问题分析, 我们建立随机模型并用MATLAB求得最优解, 即检查间隔为72件, 刀具的额定寿命为287件时损失费用最小。相比于第一问换刀周期缩短, 检测间隔加大。主要由于检查过程中故障率加大有关, 若换刀周期加大则抽出次品和误判停机的概率将加大, 总的失费用期望值增大, 合格产品期望值减小, 因此换刀周期减小。检测间隔价格增大, 则检测费用减小, 误判而停机的费用, 零件损失费用的期望值都先对减小, 因此加大检查间隔。

7.问题三的解答
7.1随机模型的建立
7.1.1确定目标函数
经过对问题三的分析我们确立了目标函数:

( 1) 第一种情况下损失费用的期望值, 为检查费用、 换刀费、 零件损失费及误判损失费之和再与此事件发生概率的乘积。

因此:
( 2) 第二种情况下损失费的期望值, 为检查费、 故障维修费、 零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。

因此
( 3) 第三种情况下损失费用的期望值, 为检查费、 故障维修费、 误判停机费及零件损失费之和再与此事件发生概率的乘积。
损失费用

因此
同理生产合格产品的损失费用期望和为:

7.1.2综上所述得到问题三的最优化模型:

8. 灵敏度的分析
8.1样本均值与样本方差对结果的影响
我们用正态分布来描述刀具出现故障的分布, 其均值方差的不确定性, 对结果会造成误差。现在用模型一对结果进行灵敏度分析, 得下表

570
590
600
600
600
600

196.6291
196.6291
196.6291
197
199
207

339
341
359
359
359
356

17
19
18
18
18
17

4.9758
4.7281
4.6096
4.6149
4.6438
4.7571

7.94%
2.57%
0.00%
0.11%
0.74%
15.22%
其中用代表相对误差, 其中。
经过上表能够看出, 即使样本均值与样本方差与实际的有一定的差距, 对结果影响依然不大。因此我们采用文中所给方法是合理的。

8.2保持不变, 改变的值从0.01到0.03变化, 考察其对结果的影响

0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026

0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6

299
299
305
294
294
299
299
299
299

50
50
51
59
59
60
60
60
60

7.224
7.693
8.164
8.634
9.099
9.565
10.033
10.503
10.975

由上表能够看出, 随着的改变, 最优检查间隔变化不大, 但每个零件的平均费用变动较大, 说明工序正常时生产不合格品的概率越小, 其平均费用越小, 且其对检查间隔基本没有影响。
8.3保持不变, 改变的值从0.1到0.9变化, 考察其对结果的影响

0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

330
329
324
314
304
299
294
299
299

67
66
65
63
61
60
59
50
50

8.524
9.866
11.464
13.421
15.953
9.565
9.621
9.643
9.6412
由此表能够看出, 随着减少, 每个零件的损失期望值基本维持在一定范围内保持不变, 而最佳检查间隔的相对减小, 说明刀具发生故障时, 无论其生产不合格品的概率有多小, 对每个零件的平均费用影响不大, 但会引起检查间隔的减小, 由上述三项分析能够得出如下结论:
工序出现故障的概率服从正态分布, 如果要将每个零件的平均费用控制在尽量小, 应考虑改进加工工序使其提高在正常情况下生产合格品的概率。

9.模型的评价、 改进及推广
9.1模型的评价
9.1.1模型的优点
(1)本文建模思想易于理解, 模型操作性强。
(2)将每个零件的平均损失费用作为目标函数, 建立了评估体系, 既有利于求出模型的最优解, 又比较符合实际生产中企业取舍方案的标准。
( 3) 将所求的目标函数分解为几大部分, 条理清晰。
( 4) 对某一个刀具的寿命的概率近似用概率密度函数表示, 减小了计算的复杂度。
9.1.2模型的缺点
(1)没有对和的范围作估计, 导致和将因范围的扩大而递增。
(2)数据处理得不够精确, 未用泊松分布而是利用的正态分布拟合已知数据, 存在一定的误差。
(3)把其它原因引起的5%的故障没有考虑在内, 计算结果的概率有误差。
(4)用概率密度函数近似代替概率也存在一些误差。
9.2模型的改进
对于问题二, 由于工序正常时产出的零件仍有2%为不合格品, 而工序故障时产生的零件有40%为合格品, 这样工作人员在经过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的检查方式必然会导致两种误判: ( 1) 正常工序时因检查到不合格品而误认为出现故障; ( 2) 工序发生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常。这两种情况都将造成很大损失, 我们建议采取不等间距的检查方式, 分为以下几种情况:
(1)连续两次检查都为正品时, 我们认为工序正常, 继续生产。
(2)连续两次检查都为次品时, 我们认为工序发生故障, 进行维修使其恢复正常后再生产。
(3)连续两次检查中, 一次为正品, 另一次为次品时, 继续第三次检查, 再进行判断。
这样虽然会相应的增加检查费用, 但大大降低了因误检而造成的损失, 从而使系统工序获得更高的效益。
9.3模型的推广
本文建立的模型针正确是单道工序加工单一零件的问题, 但能够扩展到多道工序和多个零件的复杂车床管理系统。在多道工序中, 我们能够经过统计分析各道工序发生故障的概率, 有效的控制故障发生的次数, 并把多个零件看做一个整体, 综合利用以上模型求出最优的检查间隔和换刀间隔。

10.参考文献
[1]盛骤, 《概率论与数理统计( 第二版)》, 浙江大学, 高等教育出版社。
[2]韩中庚, 《数学建模方法及其应用( 第二版) 》, 高等教育出版社, 。
[3]曹弋, 《MATLAB教程及实训》, 机械工业出版社, 。

11.附录
11.1对于问题一用MATLAB编程:
clear,clc
min=10000
for b=200:400
for a=10:30;
p2=0;
i=1:b;
p1=normcdf(b,600,196.6291);
p3=sum(normpdf(i,600,196.6291).*(i-1),2);
m=[1:b];
p2=sum( (200.*(a.*(floor(m./a)+1)-m)+3000+10*(floor(m./a)+1)).*normpdf(m,600,196.6291) );
minp=((1000+floor(b/a)*10)*(1-p1)+p2)/(p3+(1-p1)*b);
if minp<min
min=minp;zyb=b;zya=a;
min
end
end
b
end
min
11.2对于问题二用MATLAB编程:
clear
clc
min=20;
for m=1:1:1000
for n=1:1:400
i=1:m;
En1=(1-sum(normpdf(i,600,196.6291),2)) * m*0.98 ;
w1= (1-sum(normpdf(i,600,196.6291),2)) .* (10.*floor(m/n)+1000+floor(m/n)*0.02*1500+m*0.02*200);
En2=sum( 0.4.^floor((m-i)./n).*normpdf(i,600,196.6291) .* (0.98.*i+(m-i).*0.4) ,2);
w2= sum( 0.4.^floor((m-i)./n).*normpdf(i,600,196.6291) .* ((m-i-(m-i)./n).*0.6.*200+(i-1).*0.02.*200+3000+floor(m/n)*10+floor(i/n).*0.02.*1500) ,2);
w3=0;En3=0;
for B=1:1:floor(m/n)
i=1:B*n;
w3=w3+ sum(0.4.^floor((B*n-i)./n).*0.6.*normpdf(i,600,196.6291) .* ((B*n-i-(B*n-i)./n).*0.6.*200+(i-1).*0.02.*200+3000+10*B+floor(i/n).*0.02.*1500) ,2);
En3=En3+sum(0.4.^floor((B*n-i)./n).*0.6.*normpdf(i,600,196.6291) .* (i.*0.98+(n*B-i)*0.4) ,2);
end
minp=(w1+w2+w3)/(En1+En2+En3);
if minp<min
min=minp,zym=m;zyn=n;
end
end
m
end