微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用样本.doc

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§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用

教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法.
教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.
教学重点: 利用导数研究函数的凸性
教学难点: 利用凸性证明相关命题
教学方法: 系统讲授法＋演示例题
教学过程:
引言
上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.
什么叫函数的凸性呢? 我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说: 从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方; 若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.

如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢?
设函数在区间上是凸的( 向下凸) ,任意,( ) .
曲线上任意两点,之间的图象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在点的函数值,弦的方程
.
对任意有,整理得
.
令,则有,且,易得,上式可写成
.
一、 凸函数定义以及与连续性的关系
(一) 凸( 凹) 函数的定义
定义1 设函数f为定义在区间I上的函数,若对I上任意两点、 和任意实数总有,则称f为I上的凸函数.反之,如果总有,则称f为I上的凹函数.
注 易证: 若一f为区间I上的凸函数,则f为区间I上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.
定义2 设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.
必须指出; 若()是曲线y=f( x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
(二) 凸函数的特征
引理 f为I上的凸函数对于I上任意三点总有:
(3)
严格凸函数上式严格不等式成立.
证 记,则及, 由的凸性知
          (4)      从而有

即   
整理即得式.
,记,则,
由必要性的推导步骤可逆,从式便得式.故为凸函数.
同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即,,有

严格凸函数上式严格不等式成立.
定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．
证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)　当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足:
．
如图所示,再在中任取两点.　应用引理得到

．
令
                             ,
则
, ．　
　　显然,上述 L与中的点无关,　故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．
　　由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．　
如果f是I上的可导函数,则进一步有:
二、 凸函数与导数的关系
定理1( 可导函数为凸函数的等价命题) 设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价: ( 1) f为I上的凸函数; ( 2) 为I上的增函数; ( 3) 对I上的任意两点总有
证 (i)(ii)　,并取,使

据定理3.12,有

由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到
．
因此是上的递增函数．
　　(ii)(iii)　由微分中值定理和递增,便可证得

当时,也有相同结论．
(iii)(i)　,并记,则有
,
由(iii)可得

.
注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常见上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．可是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．

如果f在I上二阶可导,则进一步有:
定理2( 凸函数与二阶导数的关系) 设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸( 凹) 函数( ) ,.为严格凸1) ; 2) 不在上的任一子区间上恒为零.
此定理说明: 为严格凸,则曲线中不含有直线段( ) .对于凹函数情形,也有类似的定理( 因为凸,则凹) .
可导函数有如下相互等价的论断:
1) 为上凹函数.
2) ,有.即割线斜率递减.
3) 为上递减函数.
4) ,有,.当在上二阶可导时,下述论断与1) ,2) ,3) ,4) 相等价.
5) 在上.
对严格凹的情形可类似得出等价论断.
二、 拐点
定义2 设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.( 即为曲线凹凸部分的分界点)
必须指出; 若()是曲线y=f( x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.
定理3( 拐点必要条件) 若f在二阶可导,则()为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件是.
综上知: ()的拐点,则要么( 1) ; 要么( 2) f在点不可导.
定理4 设f在点可导,在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则()为曲线y＝f(x)的拐点.
例1 讨论函数的凸性与拐点.
解 ,因而当时,; 当时,,从而函数为上的凸函数,在上为凹函数.而在原点连续,故原点为曲线的拐点
例2 若在内可导、 凸( 凹) 函数,则为的极小( 大) 值点.即为的稳定点.
证 ) 费马定理.
      ) 因凸,故有.因,故总有.即为的极小值点.
例3 设在开区间上为凸( 凹) 函数,证明在开区间内任一点都存在左、 右导数.
证 只证凸函数在存在右导数,其它情形同理可证.
令,记,,则( 取充分小使) ,
由式得:

记  
则有即为单调递增函数.取且,则,
从而递增有下界,从而存在,即存在.
注 对区间端点,左、 右导数可能存在,也可能为.由第五章§1习题10知( 若在的左、 右导数都存在,则在连续) ,若在为开区间内的凸( 凹) 函数,则为内的连续函数.( 但不一定可导,如)
三、 詹森(Jensen)不等式
定理 (詹森(Jensen)不等式) 设为上的凸函数,,且,则有
( 6)
成立.若为严格凸函数,不全相等,则上式严格不等式成立.
证 用归纳法: 时命题由凸函数定义显然成立.假设时命题成立,即
,,
则有   . 要证时命题成立.设,

( 由归纳法可知,当,时,
因为 ,故
 )

结论成立.
注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),因此詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．
对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 能够证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.
例4 证明: 对 有不等式 .
例5 设,则

当且仅当所有全相等时等号成立.
证 所有全相等时,等号显然成立.只须证不全等时,有严格不等号成立即可.
取,则在上严格凸,由例4知

即   
因严格增,故有

又不全等不全等,故

因此     
例6 在⊿中, 求证 .
解 考虑函数在
区间内凹, 由Jensen不等式, 有
.
.
例7 已知. 求证
.
解 考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有

.
.
例8 已知 求证 . ( 留为作业 )
解 函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有

.
作业 P153 3⑶,5,8⑴; P158—159 17,18,19.