正弦定理的证明.doc

正弦定理的证明
（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则
同理可得
从而
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（方法二）利用向量证明
如图，在ABC中，过点作一个单位向量，使。

当为钝角或直角时，同理可证上述结论。
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k
使，，；
（2）等价于，，
下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。
（方法三）利用复数证明
如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点．

根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出

（方法四）利用ABC的外接圆证明Ⅰ
如图，是ABC的外接圆，设半径为，分别连结、、，过点作垂足为。
证明：

（方法五）利用ABC的外接圆证明Ⅱ
如图，是ABC的外接圆，设半径为，连结并延长，交 于点，连结。
证明：

（方法六）利用ABC的高线证明
如图，在ABC中，过点作，垂足为
证明：

（方法七）利用两角和的正弦公式证明
如图，在ABC中，过点作，垂足为

- 4 -