如何求单位分数和的最简真分数.doc

如何求单位分数和的最简真分数？
————数学探究课教学案例
徐教院附中 何京尧

背景
如何联系学生实际情况进行数学探究课的教学，本人将于本学期作这一节课的尝试。
本节课的教学目标是：
1.解答求单位分数和的最简真分数问题，理解有关概念。
2 .指导学生尝试解决数学问题，从而对数学产生兴趣。
3.从解题的探索中，学会思维的方法：从特殊到一般，再从一般加以逻辑推理，猜想结果的方法；类比和分类讨论等数学思想。
教学重点是： 学会尝试、探索、推理和归纳的思维方法。
估计的教学难点是： 探索如何有效解决这个问题的方法。
教学方法是：引导、讨论、归纳和探索。
实践
教学过程：
这是一道有趣的分数加法综合题。
“分子为1的真分数叫做单位分数，我们注意到某些真分数可以写成两个单位分数的和，例如：。
（1）把写成两个单位分数的和，请写出两种不同的答案。
（2）最简真分数，对某些x的值，它可以写成两个单位分数的和，例如当x=20时，。
请再找出三个不同的x值，使得可以写成两个单位分数的和，并写出式子。
我们就从这道题开始吧。
分析：（1）从例题“”可以看到这个真分数的“分子恰好是两个单位分数的分母之和，分母是两个单位分数的分母之积。”
相类似，由观察所得的这个真分数的特征，易于得到“”
。可得一个答案。
那么，另一个答案怎么考虑？我们知道：根据分数相加的法则，真分数的分子7应是两数之和。7=1+6=2+5=3+4，这三种情况。而分母12应是两数之积：12=1×12=2×6=3×4三种情况。这里“3+4和3×4恰好是我们的一个答案”。那么从分子之和为7考虑是否还有两种情况：
①由分子7=1+6，分母为12。若化简其中为真分数单位，可得另一答案。
②由分子7=2+5，分母为12，应有化简其中为分子是1的单位分数，而已经是最简分数，无法化为分子为1的单位分数，不能得到符合题意的答案。从分子相加为7，分子相乘为12两者的角度考虑，写成的两个单位分数的和。只有和两个答案。
方法
分析：（2）将最简真分数写成两个单位分数的和。从（1）的答案中启示我们，可以从分子9=1+8=2+7=3+6=4+5这四种情况考虑，用穷举的方式归纳解出。
解：（1）满足分子相加1+8的分数之和：
（不合题意，舍去.）
（是一个答案）
（不是答案）
（是一个答案）
（是一个答案）
（不是答案）
（是一个答案）
）（是一个答案）
（不是答案）
······
总结：当n≥1为自然数，∵1×8=8，∴取x=8n ，8n不是3的倍数时，即可。
这样的单位分数和式有无数多个。
（2）满足分子相加2+7的分数之积。
n=1 ， （是一个答案）
n=2 ， （是一个答案）
n=3 ， （不是答案）
n=4 ， （是一个答案）
······
当x=2×7n=14n时 (n≥1为自然数) ，且3不能整除14n为此时解，这样的单位分数和式有无数多个。
（3）满足分子相加3+6的单位分数之和。
因为分母取x=3×6n=18n为9的倍数，不能构成最简真分数，故此种情况无解。，
（4）满足分子相加4+5的单位分数之和。
类似地有：当x=4×5n=20n时 (n≥1为自然数) ，且3不能整除20n为此时解，这样的单位分数和式有无数多个。
结论
从这道综合题，我们能否得到这么一个结论。
一般地，最简真分数（m为奇数），可以写成两个单位分数之和的条件是：当 ,时，
。
如果有那位同学能给以证明，那就太好了！
启示
本堂课的问题虽然看似简单，但要深入下去，却是相当困难的，它牵扯到数学的整数理论——“数学王冠上的明珠”。可是本节课编排，从学生已学过的“分数加减法”基础知识入手，从兴趣出发，启发引导，步步深入，探索研究，不断归纳总结，会得到非常漂亮的结论。
它给我们的启示是：看似非常艰深和复杂的问题，只要老师了解学生的实际情况，师生共同努力，教师善于启发引导、适当讨论、归纳和探索，都会解决的。这里结果并不重要，重要的是：在师生互动过程中，学生学到了如何分析问题和如何探索解决问题的思维方法，即初步学习到如何尝试、探索、推理和归纳的思维方法，这对于学生的长远发展是最宝贵的。