模块十一 概率与统计.docx

模块十一 概率与统计
² 考纲解读
Ø 高考大纲

考试内容
要求层次
A
B
C

随机事件及其概率
随机事件的概率
P

随机事件的运算

P

两个互斥事件的概率加法公式

P
古典概型与几何概型
古典概型

P

几何概型

P

二项分布与正态分布
事件的独立性
P

N次独立重复试验与二项分布

P

正态分布
P

离散型随机变量及其分布列、均值与方差
取有限值的离散型随机变量及其分布列

P
超几何分布
P

条件概率
P

取有限值的离散型随机变量的均值、方差

P

统计
简单随机抽样

P

分层抽样和系统抽样
P

频率分布表，直方图、折线图、茎叶图

P

样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）

P

用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征

P
线性回归方程

P

Ø 分析解读
（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义
（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能事件的概率
（3）会用互斥事件的概率公式计算一些事件的概率
（4）掌握在古典概型下，能应用任何事件的概率公式解决实际问题
（5）通过实例，理解几何概型及其概率计算公式，并会运用公式求解一些简单的有关概率的问题
（6）了解条件和两个时间相互独立的概率，掌握求条件概率的步骤，会求条件概率
（7）掌握独立事件的概率求法，能用二项分布解决实际问题
（8）了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质
（9）会用简单的离散型随机变量的分布列，理解超几何分布
（10）理解数学期望与方差的概念，熟练掌握期望与方差的求解方法
（11）掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用抽样方法从总体中抽取样本，体会三种抽样方法的区别与联系及具体的操作步骤
（12）会用样本的频率分布估计总体，样本的数字特征估计总体的基本数字特征
（13）了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
² 知识导航

² 考点剖析
Ø 考点一 随机事件及其概率
1.基本概念
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
2. 概率的基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
（4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
Ø 考点二 古典概型
1、古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
2、古典概型的解题步骤
①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
Ø 考点三 几何概型
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
2、几何概型的特点
1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
Ø 考点四 二项分布
1、二项分布的概念
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发
生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.
2、二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
Ø 考点五 正态分布
1.密度曲线与密度函数
对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. 正态分布与正态曲线
如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
Ø 考点六 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
2.离散型随机变量分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

…
P

…

…
有性质①； ②.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
Ø 考点七 期望与方差
1. 期望的含义
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…
P

…

…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.
（1）随机变量的数学期望：
①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
（2）单点分布：其分布列为：.
ξ
0
1
P
q
p
（3）两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）
（4）二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
（5）几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
3.方差、标准差的定义
当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布： 其分布列为
⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5. 期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）.
Ø 考点八 抽样方法与总体分布估计
1.抽样方法
（1）简单随机抽样（纯随机抽样）
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
简单随机抽样常用的方法： 抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。
（2）系统抽样（等距抽样或机械抽样）
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
（3）分层抽样（类型抽样）
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
分层的比例问题： ①按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 ②不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
2. 总体分布估计
（1）、本均值：
（2）、样本标准差：
（3）、用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
（4）．①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.
Ø 考点九 变量间的相关关系
1、概念:（1）回归直线方程（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。

² 真题演练
1. 【2010北京,11,5分】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知.若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为________.

Ø 举一反三
1.1【2012山东,4,5分】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为
（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15

1.2 【2012天津,9,5分】某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.

1.3【2012江苏,2,5分】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．

2. 【2012北京,17,13分】近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。
（注：，其中为数据的平均数）

Ø 举一反三
2.1【2009福建,8,5分】已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458569 683
431 257 393 027 556 488730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

2.2【2012安徽,5,5分】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，

则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

2.3【2010山东,6,5分】样本中共有五个个体，其值分别为，若该样本的平均值为1，则样本方差为
（A） （B） （C） （D）2

3. 【2011北京,17,13分】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差，其中为，，…… 的平均数）

Ø 举一反三
3.1【2012陕西,6,5分】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

3.2【2009福建,12,5分】某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字a= .

3.3【2010天津,11,4分】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 .

23

4. 【2010北京,17,13分】某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

0
1
2
3
P

a
b

（I） 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（II） 求的值；
（III） 求数学期望.

Ø 举一反三
4.1【2012浙江,19,14分】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．

4.2【2012江西,18,12分】如图，从，，，，，这个点中随机选取个点，将这个点及原点两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量（如果选取的个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积）。
（1）求的概率；
（2）求的分布列及数学期望。

4.3【2012江苏,22,10分】设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．
（1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．

5. 【2009北京,17,13分】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

Ø 举一反三
5.1 【2012四川,17,12分】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望.

5.2【2012山东,19,12分】现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX

5.3【2012全国,19,12分】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．

6. 【2008北京,17,13分】甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．

Ø 举一反三
6.1【2012重庆,17,13分】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

6.2【2012天津,16,13分】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：
（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

6.3【2012福建,16,13分】受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
         甲
      乙
首次出现故障时间x（年）
0＜x＜1
1＜x≤2
x＞2
0＜x≤2
x＞2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
20.9

将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．

² 轻松驿站
概率论的起源及公理化
概率论起源于博奕问题．15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题．1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答．他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens，1629―1695）的兴趣．惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作．这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生．一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于p，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有　P{|m/n-p|<ε}>1-η(η为任意小的正数)，其中m为n次试验中事件A出现的次数．伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位．

　　伯努利之后，棣莫弗（A.De.Moivre，1667―1754）、蒲丰（G.L.L.Buffon，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献．其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律．特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期．正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比．

　　19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例．切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理，他的成果后来被他的学生马尔可夫等发扬光大．

　　19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要．同时，科学家们发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处．1899年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论”：

　　在半径为r的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率．

　　根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同答案．

　　（1）如图Ⅰ,考虑与某确定方向平行的弦，则弦心距小于r2的弦长大于圆内接正三角形边长，大于圆内接正三角形边长的弦的中点的轨迹的长度为r，是直径的一半，所求概率为1/2；

　　（2）如图Ⅱ,考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求概率为1/3；

　　（3）如图Ⅲ,随机的意义理解为：弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比，因为长度大于圆内接正三角形边长的弦的中点落在半径为r2的同心圆内，因此所求概率为1/4．

　　这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种试验有时由问题本身所明确规定，有时则不然.这些悖论的矛头直指概率概念本身，特别地，拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评．此时，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更严格的考察．

　　俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯?米西斯最早尝试对概率论进行严格化，他们都提出一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的．作为测度论的奠基人，法国数学家博雷尔首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，他的工作激起了数学家们沿这一崭新的方向的一系列探索，其中尤以前苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著．从20世纪20年代中期起，科尔莫戈罗夫就开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是1933年以德文出版的经典著作《概率论基础》.他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比等等，这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征．

　　科尔莫戈罗夫公理化概率论中的第一个基本概念，是所谓的“基本事件集合”?奔偕杞?行某种试验，这种试验在理论上应该允许任意次重复进行，每次试验都有一定的、依赖于机会的结果，所有可能结果的总体形成一个集合（空间）E，就称之为基本事件集合．E的任意子集，即由可能的结果事件组成的任意集合，被称为随机事件．在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于所考虑的每一个随机事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫作该事件的概率．

　　科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来.科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐获得了数学家们的普遍承认．由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着．（来源：数苑）