在学习分数的加减法的内容时,经常在一些参考书上见到这样 ….doc

意外的收获
上海市建平实验学校 数学组 王绍美
题记：虽有嘉肴，弗食不知其旨也；虽有至道，弗学不知其善也。是故学然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自强也。故曰：教学相长也。
———选自《礼记·学记》
在学习分数的加减法的内容时，见到这样一道填空题：
“以9为分母的所有最简真分数之和是 ”。
以9为分母的最简真分数有 这六个分数的和是。这不是一道难题，而且计算也不是很复杂。
后又见一题求以8为分母的所有最简真分数之和，于是依样画葫芦，得出和为2。我的心里一动，怎么会这么巧？和都是整数。备课时我又举了一个例子求出了以6为分母的所有最简真分数的和，结果也是2。于是在课上讲评时我提出了我的疑问：“同学们看出这一类问题有什么规律吗？”学生被我问得有些发愣，我又提示道：几次求出的和都是整数，是否以某个自然数为分母的所有最简真分数之和都是整数呢？这个整数和到底与这个自然数之间有什么联系呢？比如说，我们再举一例：以15为分母，请大家求出所有最简真分数的和。同学们有的在埋头计算，有的在凝神思索，我同时也在黑板上板演：

后答案出来，和为4。
此时有一名平时表现很平常的女同学举手回答道：“老师，我发现好像这个整数和似乎等于最简真分数的个数除以2。”这是我在备课中没有发现的。备课时我只满足于求证各真分数的和为一个整数，却未发现这个和与真分数的个数还存在某种联系。回头去验证刚才的几个自然数时，发现确实符合这样的一个特征。
如：以9为分母的最简真分数有6个，则和为3；
以8为分母的最简真分数有4个，则和为2。
以6和15为分母的最简真分数的个数也存在上述特征。为了准确，我又举了两个较大的数43（质数）与56（合数）。
以43为分母的最简真分数个数是42个，即分子是从1到42的自然数，显然符合。
让我们再来看看合数56：
以56为分母的最简真分数有： 还未写完，已有学生要求发言：“老师，我们可以前后一起开始写，如：
我为学生的表现惊呆了，夸张的表情惹得学生大笑。问题似乎解决了，同学们也开心极了。于是大家一起总结出：“以一个自然数为分母的最简真分数都是成对出现的，有多少对，所有最简真分数的和就是多少。
谁曾想，又有一个学生举手：“老师，以2为分母的就不成立。”
“叮铃铃……”下课的铃声响了。同学们意犹未尽，向我嚷嚷要申请“专利”。我也沉浸在学生带给我的，教学带给我的快乐之中。
【教学反思】：
若是没有对这道小小的填空题加以深思，估计也不会有这些感想。正是因为多想一步，竟然使我和我的学生体验了一回当数学家的感觉。现有如下假设：
以a（a为大于2的自然数）为分母的最简真分数是成对出现的，其和必为整数；最简真分数有多少对，和就是多少。
这个假设经我和我的学生用一些具体的数据验证时显然是成立的，但遗憾的是我还无法用严格的数学推理将其证明。课堂上与学生能有如此的发现着实让我兴奋异常。有可能这就是我和我的学生们共同提出的“哥德巴赫猜想”。
本来这节课我只要求学生能发现以某个自然数为分母的最简真分数之和是一个整数即可，没曾想与学生共同合作有此意外收获。这节课让我体会到：学生才是课堂生命活力的原动力。由此我对新基础教育理念“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力；把班级还给学生，让班级充满成长气息；把创造还给教师，让教育充满智慧挑战……”有了更深的理解。这节课还让我体会出熟悉的地方也有风景，关键是要有一双发现的眼睛。要敢于对大家耳熟能详的知识加以质疑，同时大胆的作出架设和猜想。
如果将课堂比喻成舞台，教师是导演，学生才是舞台上真正的主角；师生在此舞台上共同成长。