勾股定理易错题分析.doc

6
每个学生都应该用的
□勾股定理易错题分析

勾股定理易错题分析
勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。
【例1】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．
错解 由勾股定理，得c===5
诊断　 这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．
当∠B为直角时，c===
【例2】已知RT△ABC中，∠B=RT∠,a=,c=,求b.
错解　 由勾股定理，得
B===
诊断　 这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．
正确解答　 ∵∠B=Rt∠，
由勾股定理知a2＋c2=b2．
∴b===
【例3】若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．
错解　 设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．
x===10
即第三边长为10cm．
诊断　 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边．
正确解法 　设第三边长为xcm．
若第三边长为斜边，由勾股定理，得
x===10(cm)
若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得
x===(cm)
因此，第三边的长度是10cm或者cm.
【例4】如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中线，且AM=BC=AD.又RT△ABC的周长是(6+2)cm.求AD．

错解　 ∵△ABC是直角三角形，
∴AC:AB:BC=3:4:5
∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．
∴AC=(6+2)=
AB=(6+2)=
BC=(6+2)=
又∵=
∴AD==
=
=(3+)(cm)
诊断　 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．
正确解法∵AM=
∴MD==
又∵MC=MA，∴CD=MD．
∵点C与点M关于AD成轴对称．
∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．
∴∠B=30°,AC=BC,AB=BC
∴AC+AB+BC=BC+BC+BC=6+.
∴BC=4．
∵BC=AD, ∴AD==(cm)
【例5】在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC是不是直角三角形．
错解　 依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．
∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，
∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．
诊断　 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．
正确解法　 由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．
∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．
b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．
∴△ABC是直角三角形．
【例6】已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE．

错证　 如图．
∵AE⊥BC于E，
∴AB2=BE2＋AE2，
AC2=EC2＋AE2．
∴AB2－AC2=BE2－EC2
=(BE＋EC)·(BE－EC)
=BC·(BE－EC)．
∵BD=DC， ∴BE=BC－EC=2DC－EC．
∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．
诊断　 题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。
，
正确证明由读者自己完成．
【例7】已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，
b=-1,c=(n是大于2的偶数)。求证:△ABC是直角三角形。
错证1　 ∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时 a=4，b=3，c=5．
∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，
∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．
由勾股定理知△ABC是直角三角形．
正解 ∵a2+b2=n2+(-1)2=n2+-+1=++1
c2=()2=()2=++1
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。
诊断　 证明1错在以特殊取代一般．

“超级学习笔记”