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本科学年论文

LLG方程在计算小椭球样品磁化率的应用

学院、系 物理科学与技术学院
专业名称 物理基地
年 级 2009级
学 号 00908080
学生姓名 李健梅
指导教师 周文平

2011年 9 月 19日
LLG方程在计算小椭球样品磁化率的应用

摘要：本文利用方程分别在外加稳恒磁场方向与小椭球样品主轴平行，及不一致的情况下，对小椭球的磁化率做出计算和理论阐述。最后将其推广到球、圆薄片、细圆柱，并且对这几种形状的样品的圆频率做了简要说明[1]。
关键词：LLG方程 磁化率 小椭球样品 磁化强度

0引言
铁磁物质在稳恒磁场的作用下，其磁化强度与稳恒磁场的关系为：，其中磁化率是一个实数；铁磁物质在交变磁场的作用下，其交变磁化强度与交变磁场的关系为：，其中磁化率是一个复数（）；铁磁物质在稳恒磁场和交变磁场的共同作用下，其交变磁化强度与交变磁场的关系一般为：其中是一个张量。铁磁物质的磁化率具有张量形式的性质，为铁磁物质的旋磁性，有阻尼时小椭球样品在外加磁场和微波磁场的同时作用下，内（外）张量磁化率是表征微波磁化强度和样品中的内（外）微波磁场（）关系的物理量。即：
（1）
由于样品中的内场受样品形状的影响，所以，和是不同的，因而和的表达式不同。
1897年，L.Larmor提出电子在稳恒磁场中受到力矩的作用将产生类似陀螺的进动过程。无阻尼的条件下，磁化强度M在稳恒磁场中的进动过程：

（2）
是电子的旋磁比，。
有阻尼条件下，需要加入一阻尼项，Landau－Lifshitz、 Gilbert的形式分别是，。可以证明在小损耗及小进动角的情况下，两种形式的阻尼项是等价的，不妨采用Gilbert形式，因此有：
（3）
（3）式即为方程，其中是阻尼系数。
1外加稳恒磁场方向与小椭球样品主轴平行的情况
1.1外张量磁化率的计算
选取笛卡尔直角坐标系的坐标轴如图1，与小椭球样品的主轴相一致，并且使得外加稳恒磁场与轴方向相一致。

图1
同时设外加的微波磁场为，，，，为退磁因子[2]。此时有：
（4）

（5）

将（4）、（5）式代入方程（3），于是得到：

(6)
设、，则有。（6）式略去二阶无穷小量，并写成分量的形式，有：
（7）
由式，（为饱和磁化强度）。设：
（8）
由（8）式整理（7）式，得：
（9）
由克拉默法则解（9）式得：
（10）
由式（1）及式（10），得到外张量磁化率：
（11）
其中， （12）
1.2内张量磁化率的计算
坐标系的选取与图1相同，则此时有：
(13)
(14)
同时也满足、，则。于是将（13）、（14）与LLG方程（3）联立，有：
(15)
与1.1所做的假设相同，整理并写成分量形式得到：
(16)
其中 。由克拉默法则解得（16）的解为：
(17)
由上式及（1）得到内张量磁化率：
（18）
其中： （19）
2外加稳恒磁场方向与小椭球样品主轴不一致的情况
若坐标与小椭球样品的主轴不一致，建立如图2所示的（的坐标轴与小椭球样品主轴一致）坐标系：

图2
退磁场与磁场强度的关系： （20）
为形状退磁因子张量，其表达式：
（21）
此时，在建立的直角坐标系中，
（22）
(23)
令 (24)
为总的退磁场，为稳恒内磁场，在坐标系中使得z轴向与和平行。假设足够大，则可以近似地认为。
联立（22）、（23）及LLG方程（3）式得到：

（25）

其中： （26）
设 ,而且，因此有：
（27）
因为 ，，化简并整理（27）式，有：
（28）
解（28）得
（29）
由式得到：
（30）
其中： （31）

3结论
由于在实验室不可能采用无限大的样品，只能通过使用某种具体形状的有限样品[3]。而采用对小椭球做研究，基于：(1) 对小椭球而言不仅可以进行理论计算，而且在实际中也经常被采用；(2) 对于球、圆薄片、细圆柱等又是小椭球的特殊或极限情况[4]；(3) 采用小样品，是为了尽量减少样品对周围磁场分布的影响，一般要求样品尺寸比电磁波的波长小得多。
下面只就外加稳恒磁场方向与小椭球样品主轴平行时，外张量磁化率的计算情况做分析。此时圆频率，其中 ，。
ⅰ) 对于球形样品，，
ⅱ) 对于圆片状样品， 垂直于圆片表面时，选取如图3（1）所示的坐标系，此时满足，，； 平行于圆片时，选取3（2）的坐标系，此时有，，，。

图3（1） 图3（2）
iii) 对于细长圆棒样品，沿着圆棒方向时，选取4（1）所示的坐标系，此时有，，，；垂直于圆棒时，选取4（2）所示的坐标系，此时有，，，。

图4（1） 图4（2）

参考文献：
[1] 廖绍彬 .铁磁学.北京市:科学出版社,1988年3 月:89-170页.
[2] 郭子政,吴晓薇.颗粒膜量子磁盘热稳定性的损伤扩散研究.磁性材料与器件,2009年10月:4-7页.
[3] 韦丹.材料的电磁光基础.北京市：科学出版,2009年1月1日.
[4] 樱井良文.现代工程磁学.机械工业出版社,1987年2月.
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