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第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨

一、反证法的应用：
典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例1：（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若＞2，且，求的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。
∴，从而=4。
（2）证明：取，设满足。
由得，∴、异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。
故1ÎX。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则、异号，从而、之中恰有一个为－1。
若=－1，则，矛盾；
若=－1，则，矛盾.
∴=1。
（3）猜测，i=1, 2, …, 。
记，=2, 3, …, 。
先证明：若具有性质P，则也具有性质P。
任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。
当且时，、≥1。
∵具有性质P，∴有，、Î，使得。
从而和中有一个是－1，不妨设=－1，
假设Î且Ï，则。
由，得，与Î矛盾。
∴Î，从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。
当=2时，结论显然成立。
假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
则当时，若有性质P，则
也有性质P，所以。
取，并设满足，即。
由此可得与中有且只有一个为－1。
若，则，所以，这不可能；
∴，，又，所以。
综上所述，，i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。
（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。
例2：（2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；
记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1）对如下数表A，求的值；
1
1
－0.8
0.1
－0.3
－1
（2）设数表A∈S（2,3）形如
1
1
c
a
b
－1
求的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。
【答案】解：（1）由题意可知，
∴。
（2）先用反证法证明：
若，则，
∴（无解）。
同理可知。
∴。
由题设所有数和为0，即，
∴，解得，与题设矛盾。
∴。
易知当时，存在。
∴的最大值为1。
（3）的最大值为。
首先构造满足的：
，
。
经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
，，
。
下面证明是最大值。
若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。
设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。
考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。
因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。
因此的最大值为。
【考点】逻辑推理，反证法的应用。
【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。
（2）用反证法证明。
（3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
例3：（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．
【答案】解：（1）∵，∴。
∴ 。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
（2）∵，∴。
∴。（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，。∴，∴。
又∵，∴是公比是的等比数列。
若，则，于是。
又由即，得。
∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。
【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
二、数学归纳法的应用：
例1：（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.
（1）若＞2，且，求的值；（4分）
（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）
（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）
【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。
∴，从而=4。
（2）证明：取，设满足。
由得，∴、异号。
∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。
故1ÎX。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则、异号，从而、之中恰有一个为－1。
若=－1，则，矛盾；
若=－1，则，矛盾.
∴=1。
（3）猜测，i=1, 2, …, 。
记，=2, 3, …, 。
先证明：若具有性质P，则也具有性质P。
任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。
当且时，、≥1。
∵具有性质P，∴有，、Î，使得。
从而和中有一个是－1，不妨设=－1，
假设Î且Ï，则。
由，得，与Î矛盾。
∴Î，从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。
当=2时，结论显然成立。
假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；
则当时，若有性质P，则
也有性质P，所以。
取，并设满足，即。
由此可得与中有且只有一个为－1。
若，则，所以，这不可能；
∴，，又，所以。
综上所述，，i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。
【解析】（1）根据题设直接求解。
（2）用反证法给予证明。
（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。
例2：（2012年全国大纲卷理12分）函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。
【答案】解：（1）∵，∴点在函数的图像上。
∴由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。
∴直线的直线方程为。
令，可求得，解得。
∴。
下面用数学归纳法证明：
当时，，满足，
假设时，成立，则当时，，
由得，，即，∴。
∴也成立。
综上可知对任意正整数恒成立。
下面证明：
∵，
∴由得，。∴。
∴即。
综上可知恒成立。
（2）由得到该数列的一个特征方程即，
解得或。
∴① ，②。
两式相除可得。
而
∴数列是以为首项以为公比的等比数列。
∴。
【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。
【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明，运用差值法证明，从而得证。
（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。
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