北师大九年级数学_第二章_一元二次方程知识点.doc

小苏老师
（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程
知识点一：认识一元一次方程
（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）
（二） 一元二次方程的一般形式：把（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
其中a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
【例题】
1、一元二次方程3x 2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、一元二次方程（x+1）(3x－2)=10的一般形式是 。
3、当m= 时，关于x的方程是一元二次方程。
4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.

知识点二：求解一元一次方程
（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题】
例1、关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
（二）解一元二次方程的方法：
1.配方法 <即将其变为的形式>
配方法解一元二次方程的基本步骤：
①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成1；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成的形式；
⑥两边开方求其根。
【例题】
例2 一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17
B．（x+4）2=15
C．（x-4）2=17
D．（x-4）2=15
例3 用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0，下列变形正确的是（　　）
A．（x-6）2=-4+36
B．（x-6）2=4+36
C．（x-3）2=-4+9
D．（x-3）2=4+9

例4 x2-6x-4=0； x2-4x=1； x2-2x-2=0

2.公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）
【例题】
例5若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1
B．a≤4
C．a≤1
D．a≥1
例6 已知一元二次方程2x2-5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
例7 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
【例题】
例8 一元二次方程x2-2x=0的解是（　　）
A．0
B．2
C．0，-2
D．0，2
例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是
例10 x2-3x+2=0； x2+2x=3； （x-1）2+2x（x-1）=0
知识点三：一元二次方程的根与系数的关系
1.根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：.
2.一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2） 不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值。
（3） 对比记忆以下公式：
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根
【例题】
例11 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

例12 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

知识点四：应用一元一次方程
在利用方程来解应用题时，主要分为两步：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；
②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
【例题】
例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．x（x-11）=180
B．2x+2（x-11）=180
C．x（x+11）=180
D．2x+2（x+11）=180
例14 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？