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巧算枫叶面积
〖数学广角〗
星期天，丁丁、小胖、圆圆一起去森林公园游玩，他们看到树林里的草地上有很多树叶，他们会提出什么问题进行研究呢？

〖智慧密码〗

“一片树叶的面积有多大呢？”

今天我们一起来研究：树叶的面积
小胖想：

这片树叶的面积是多少呢？
同学们，你们可以帮助他们吗？

丁丁：我们必须用一个标准的方格来测量。

这张方格纸每个小正方形的面积是1平方厘米。

也就是说，我们可以通过“数一数树叶占了多少个这样的面积单位”来求这个树叶的面积。

数的时候，你发现了什么？都是整格吗？那应该怎么办？

试试用格点法解决吧。

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；
②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：

格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1

试一试：用格点法你知道树叶的面积是多少了吗？

〖牛刀小试〗
第一题：求下面各图形的面积。

【解析】：
图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；
图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；
图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；
以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9+8÷2-1=12。
这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。

第二题：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

【解析】：
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。
喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0+8÷2-1=3；
小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11；
小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。
躯干面积：0+12÷2-1=5；
尾巴面积：0+4÷2-1=1；
总面积：5+1=6。
像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。

〖俱乐部〗
皮克定理的证明：
将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1
所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
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