2022年浙教版重点高中自主招生数学模拟试题.doc

-浙教版重点高中自主招生数学模仿试卷
一．选用题（共8小题，满分40分，每题5分）
1．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．
2．如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A正好与△ABC内心I重叠，若∠DIB+∠EIC=195°，则∠BAC大小是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新抛物线n，它顶点为C1，与x轴另一种交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足关系式为（　　）

A．ab=﹣2 B．ab=﹣3 C．ab=﹣4 D．ab=﹣5
4．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共耗费183元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们单价分别为10元、8元、5元．那么也许不同订餐方案有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若有关x，y方程组有实数解，则实数k取值范畴是（　　）
A．k＞4 B．k＜4 C．k≥4 D．k≤4
6．如图，⊙O1与⊙O2半径均为5，⊙O1两条弦长分别为6和8，⊙O2两条弦长均为7，则图中阴影某些面积大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法拟定
7．7条长度均为整数厘米线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中任意3条都不能构成三角形．若a1=1厘米，a7=21厘米，则a6能取值是（　　）
A．18厘米 B．13厘米 C．8厘米 D．5厘米
8．徐工集团某机械制造厂制造某种产品，本来每件产品成本是100元，由于提高生产技术，因此持续两次减少成本，两次减少后成本是81元．则平均每次减少成本百分率是（　　）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%　
二．填空题（共8小题，满分40分，每题5分）
9．解方程：．x=　 　．
10．某人要买房，随着楼层升高，上下楼耗费精力增多，因而不满意度升高，当住在第n层楼时，上下楼导致不满意度为n，但高处空气清新，噪音较小，因而随楼层升高，环境不满意限度减少，设住在第n层楼时，环境不满意限度为，则此人应选　 　楼．
11．已知有理数a，b满足ab＜0，|a|＞|b|，2（a+b）=|b﹣a|，则值为　 　．
12．如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y=（x＞0）图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…yn=　 　．

13．数学课上，小刚动手制作了一种圆锥，她量圆锥母线与高夹角为30°，母线长为8 cm，则它侧面积应是　 　cm2（精确到0.1 cm2）．
14．如图，长方形ABCD中，BC=2，DC=1，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠某些面积是　 　．

15．数据a，4，2，5，3平均数为b，且a和b是方程x2﹣4x+3=0两个根，则这组数据原则差是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点抛物线上．过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF长度最短时，点P坐标为　 　．

三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（7分）设x1，x2是有关x一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0两实根，当a为什么值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？
18．（7分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）通过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线体现式；
（2）求∠ACB度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D坐标．

19．（7分）某公司为了鼓励员工参与技术革新，设计了技术革新奖，这个奖项分设一、二、三等，按获奖级别颁发一定数额奖金，每年评比一次，下表是近三年技术革新获奖人数及奖金总额状况．

获一等奖人
数（名）
获二等奖人
数（名）
获三等奖人
数（名）
奖金总额（万
元）
1999年
10
20
30
41

12
20
28
42

14
25
40
54
那么技术革新一、二、三等奖奖金数额分别是多少万元？
20．（9分）为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选用一位医生和一名护士指引某乡镇避免H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）体现所有也许浮现成果．
（2）求正好选中医生甲和护士A概率．
21．（10分）如图1，等腰直角三角形ABC腰长是2，∠ABC=90度．以AB为直径作半圆O，M是BC上一动点（不运动至B、C两点），过点M引半圆为O切线，切点是P，过点A作AB垂线AN，交切线MP于点N，AC与ON、MN分别交于点E、F．
（1）证明：△MON是直角三角形；
（2）当BM=时，求值（成果不取近似值）；
（3）当BM=时（图2），判断△AEO与△CMF与否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请阐明理由．

参照答案与试题解析

一．选用题（共8小题，满分40分，每题5分）
1．解：∵DE∥BC，
∴==2，
∴CE：CA=1：3，==，
∵AF：FC=1：2，
∴AF：AC=1：3，
∴AF=EF=EC，
∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，
∴DE=m，DG=m﹣m=m，
∴DG：GE=m：m=1：3，
故选：B．

2．解：∵I是△ABC内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠BCA，
∵∠DIB+∠EIC=195°，
∴∠DIE+∠BIC=165°，
由折叠过程知∠BAC=∠DIE，
∴∠BAC+∠BIC=165°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，
∴∠IBC+∠ICB=90°﹣∠BAC，
又∵∠BIC+（∠IBC+∠ICB）=180°，
∠BIC+（90°﹣∠BAC）=180°，
∴∠BIC=90°+∠BAC，
∴∠BAC+90°+∠BAC=165°，
∴∠BAC=50°
故选：B．

3．解：令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±，∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB=2，BC==．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必要满足AB=BC，
∴2=．∴4×（﹣）=b2﹣，
∴ab=﹣3．
∴a，b应满足关系式ab=﹣3．
故选：B．
4．解：设甲盒饭、乙盒饭分别有x盒、y盒，则丙盒饭有（22﹣x﹣y）盒．
根据题意，得
10x+8y+5（22﹣x﹣y）=183，
整顿，得5x+3y=73，．
又 0＜x＜22，0＜y＜22，0＜22﹣x﹣y＜22，
则3.5＜x＜14.6，且x、y为整数，
则x=5，8，11，或14．
故选：D．
5．解：∵xy=k，x+y=4，
∴根据根与系数关系可以构造一种有关m新方程，设x，y为方程m2﹣4m+k=0实数根．
△=b2﹣4ac=16﹣4k≥0
解不等式16﹣4k≥0得k≤4．
故选：D．
6．解：通过旋转，拼接得到下面图形．

∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，S△ABC=24，
右边图中，DE=EF=7，作O2M⊥DE，连接O2E交DF于H．
∵sin∠EDH=sin∠MO2E，
∴=，
∴EH=4.9，DF=2DH≈10，
∴S△DEF≈＞S△ABC，
∴S2＞S1，
故选：B．
7．解：若a1=1厘米，则后边一种一定不不不小于或等于前边两个和，则一定有：a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，a6=13，a7=21，
故选：B．
8．解：设平均每次减少成本百分率为x，根据题意得100（1﹣x）（1﹣x）=81，
解得x=0.1或1.9（不合题意，舍去）
即x=10%
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分，每题5分）
9．解：设=u≥0，则x=u2，代入原式得：u2+u++u=3，
∴=﹣u，两边平方整顿得：8u2+10u﹣7=0，
解得：u=或u=﹣（舍去），
∴x=u2=．
故答案为：．
10．解：不满意度：n+≥2=4≈5.666．仅当n=2≈3时获得，故选三楼．
故答案为：3．
11．解：∵有理数a，b满足ab＜0，
∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
①当a＞0，b＜0时，
∵|a|＞|b|，
∴b﹣a＜0，
∵2（a+b）=|b﹣a|，
∴2a+2b=a﹣b，
a=﹣3b；
=﹣3；
②当a＜0，b＞0时，
∵|a|＞|b|，
∴b﹣a＞0，
∵2（a+b）=|b﹣a|，
∴2a+2b=b﹣a，
3a=﹣b，
此时不符合|a|＞|b|，舍去，
故答案为：﹣3．
12．解：如图，过点P1作P1M⊥x轴，
∵△OP1A1是等腰直角三角形，
∴P1M=OM=MA1，
设P1坐标是（a，a），
把（a，a）代入解析式y=（x＞0）中，得a=3，
∴A1坐标是（6，0），
又∵△P2A1A2是等腰直角三角形，
设P2纵坐标是b，则P2横坐标是6+b，
把（6+b，b）代入函数解析式得b=，
解得b=3﹣3，
∴A2横坐标是6+2b=6+6﹣6=6，
同理可以得到A3横坐标是6，
An横坐标是6，
根据等腰三角形性质得到y1+y2+…yn等于An点横坐标一半，
∴y1+y2+…yn=．
故答案为：．

13．解：母线与高夹角为30°，母线长为8 cm，则底面半径=8×sin30°=4，
∴底面周长=8π，∴圆锥侧面面积=×8π×8=32π≈100.5cm2．

15．解：∵数据a，4，2，5，3平均数为b，其中a，b是方程x2﹣4x+3=0两个根，
∴，
解得；
∴这组数据原则差是=；
故答案为：．
16．解：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
根据等腰三角形性质，D是AC中点时，OD⊥AC．
又∵DF∥OC，
∴DF=OC=2，
∴点P纵坐标是2．
则﹣x2+3x+4=2，
解得：x=，
∴当EF最短时，点P坐标是：（，2）或（，2）．
故答案为：（，2）或（，2）．

三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：∵△=（2a）2﹣4（a2+4a﹣2）≥0，∴
又∵x1+x2=﹣2a，x1x2=a2+4a﹣2．
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=2（a﹣2）2﹣4．
设y=2（a﹣2）2﹣4，根据二次函数性质．
∵
∴当时，x12+x22值最小．
此时，即最小值为．
18．解：（1）当x=0，y=3，
∴C（0，3）．
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣）．
将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，
∴抛物线解析式为y=﹣2x2+x+3．
（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．

∵OC=3，AO=1，
∴tan∠CAO=3．
∴直线AC解析式为y=3x+3．
∵AC⊥BM，
∴BM一次项系数为﹣．
设BM解析式为y=﹣x+b，将点B坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．
∴BM解析式为y=﹣x+．
将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．
∴MC=BM═=．
∴△MCB为等腰直角三角形．
∴∠ACB=45°．
（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．

∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD＞45°．
又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，
∴∠CAO=∠ECD．
∴CF=AF．
设点F坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．
∴F（4，0）．
设CF解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．
∴CF解析式为y=﹣x+3．
将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．
将x=代入y=﹣x+3得：y=．
∴D（，）．
19．解：设一二、三等奖奖金额分别为x万元，y万元和z万元．
可得，
解这个方程组得．
20．解：（1）用列表法体现所有也许成果如下：

（2）P（正好选中医生甲和护士A）=，
∴正好选中医生甲和护士A概率是．
21．（1）证明：连接OP；
∵MB和MP是圆切线，∴MP=MB；
又∵OP=OB，OM=OM，
∴Rt△MOP≌Rt△MOB；
∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，
∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；
∴△NOM是直角三角形．

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，
∴AO=OB=1，CM=BC﹣BM=2﹣；
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO；
∴Rt△OBM∽Rt△NAO，
∴OB：AN=BM：AO，得AN=；
∵AN⊥AB，CB⊥AB，
∴AN∥BC；
∴CF：AF=CM：AN=（2﹣）：=2﹣3；

（3）解：∵BM=，OB=1，
∴tan∠MOB=MB：OB=，即∠MOB=30°；
∴∠FMC=∠OMB=60°；
∴∠CMF=180°﹣2∠OMB=60°，∠EOA=180°﹣∠NOM﹣∠MOB=60°；
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF．