《概率论与数理统计》习题及答案第一章.doc

《概率论与数理统计》习题及答案

第　一　章

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. ‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. ‘两次点数之和为10’，‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，‘球的最小号码为1’；
（4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，‘通过汽车不足5台’，‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）其中‘出现点’，
。
（2）

}；
；
。
（3）

（4）
，其中‘’表示空盒；
。
（5）。
2．设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件：
（1）仅发生；
（2）中至少有两个发生；
（3）中不多于两个发生；
（4）中恰有两个发生；
（5）中至多有一个发生。
解 （1）
（2）或；
（3）或；
（4）；
（5）或；
3．一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）；（2）；（3）；（4）。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解 （1）设‘5只全是好的’，则
；
（2）设‘5只中有两只坏的’，则
.
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解 （1）设‘最小号码为5’，则
；
（2）设‘最大号码为5’，则
.
7．（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解 （1）设‘他们的生日都不相同’，则
；
（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
；
或
.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解 设‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
.
9．将等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
解1 设‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为，而中的基本事件只有一个，故
；
解2 七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元素有个…，第种元素有个，将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
，
对于本题有
.
10．从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：‘三个数字中不含0和5’，‘三个数字中不含0或5’，‘三个数字中含0但不含5’.
解 .
，
或
，
.
11．将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件‘每堆各成一双’的概率.
解 双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共‘每堆各成一双’共有种情况，故

12．设事件与互不相容，，求与
解
因为不相容，所以，于是

13．若且，求.
解
由得

14．设事件及的概率分别为，求及
解

.
15．设，且仅发生一个的概率为0.5，求都发生的概率。
解1 由题意有

，
所以
.
解2 仅发生一个可表示为，故

所以
.
16．设，求与.
解 ，
所以
，
故
；
.
所以

17．设，试证明
[证] 因为，所以

故
. 证毕.
18．对任意三事件，试证
.
[证]
. 证毕.
19．设是三个事件，且，，求至少有一个发生的概率。
解
因为 ，所以，于是

20．随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解：半圆域如图
0yx
yx
a

x
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义

21．把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1 设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.
a
S
发生
A
a/2
不等式确定的子域，所以
a
a/2
0

解2 设三段长分别为，则且
，不等式确定了三维空间上的有界平面域.
x
z
y
A
发生

不等式确定的子域，所以
.
22．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
1y
y
1y
0.9
0.1
0y
A
S
y
解 ，不等式确定平面域.
‘’则发生的
充要条件为不
等式确定了的子域，故

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.
解 设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，
设为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角，则
ay
ay
，不等式确定了平面上

xy
0y
A
S

的一个区域.
发生，不等式确定的子域
故

·7·